Reduzibles Polynom

21.12.2012, 00:48	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
Reduzibles Polynom Guten Abend, ich habe folgende Aussage bewiesen: Sei K ein Körper. Ein Polynom $\begin{eqnarray} f\in K[X] \end{eqnarray}$ vom Grad 2 oder 3 ist genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstelle hat. Nun soll ich für jedes $\begin{eqnarray} n\geq 4 \end{eqnarray}$ ein Beispiel für einen Körper K sowie ein reduzibles Polynom $\begin{eqnarray} f\in K[X] \end{eqnarray}$ vom Grad n ohne Nullstellen angeben. Da jedes Poylnom von Grad 2 bzw. 3 genau dann irreduzibel ist, wenn es keine Nullstelle hat... Habe ich versucht mir anhand solcher Polynome ein allgemeines Polynom vom Grad n zu basteln. Das bereitet mir allerdings gewisse Schwierigkeiten. Also: Sei $\begin{eqnarray} K = \mathbb Q \end{eqnarray}$ . Dann sind die Polynome $\begin{eqnarray} x^2+1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x^3+3 \end{eqnarray}$ irreduzibel. Kann ich mir damit nun geschickt ein solches allgemeines Polynom basteln? Bis jetzt gelingt es mir nämlich nicht. Oder ist der Ansatz völlig daneben? Schönen Gruß, DerJoker
22.12.2012, 09:41	DerJoker	Auf diesen Beitrag antworten »
push
22.12.2012, 09:46	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Für gerades n wäre doch $\begin{eqnarray} \left(x^2+1\right)^{n/2} \end{eqnarray}$ ein solches Polynom, oder etwa nicht?
22.12.2012, 11:04	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte es auch mal mit $\begin{eqnarray} (x^n-a)(x^2+1) \end{eqnarray}$ für geeignetes $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ probieren, um gleich alles in einem Rutsch zu erledigen. Es ist zwar gar nicht so leicht einzusehen, dass $\begin{eqnarray} x^n-a \end{eqnarray}$ irreduzibel ist, wenn man noch keine Theorie zur Verfügung hat, aber das braucht man hier ja gar nicht.

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