Knobelaufgabe: Bundeswettbewerb im Jahr 2012

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Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
Knobelaufgabe: Bundeswettbewerb im Jahr 2012
Hallo,

Ich habe mir mal eine Knobelaufgabe vom letzen Jahr im Bundeswettbewerb herausgesucht, und mich für folgende entschieden:

( Es ist kein Zitat, aber hat den gleichen Sinn ) Anna geht um einen runden Tisch, auf dem n Schalen stehen.
Sie beginnt bei einer beliebigen Schale und legt eine Murmel hinein. Dann geht Sie zur nächsten Schale und legt wieder eine Murmel hinein. Dann zur übernächsten etc.
Sie hört auf, wenn in jeder Schale min. eine Murmel liegt. Für welche n tritt dies ein?

:

Wenn man den einzelnen Schalen Zahlen zuordnet, also die 1. Schale als Zahl 1 betrachtet etc. , dann sind die Schalen in denen eine Murmel liegt stets ein Folgenglied der rekursiv definierten Folge . Wenn wir die Folge funktional darstellen, erhalten wir folgendes Resultat, welches man leicht über vollständige Induktion beweisen kann: .
Also muss jede Schale ( eine Schale ist kleiner gleich n ) m die Form .
Wir stellen die Gleichung auf:




Es muss sein 2n ist eine Zweierpotenz n ist eine Zweierpotenz.

Meine Frage ist Folgende:
Ist die Rechnung richtig?

Danke!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Knobelaufgabe: Bundeswettbewerb im Jahr 2011
Zitat:
Original von Mathemathemathe
( Es ist kein Zitat, aber hat den gleichen Sinn ) Anna geht um einen runden Tisch, auf dem n Schalen stehen.
Sie beginnt bei einer beliebigen Schale und legt eine Murmel hinein. Dann geht Sie zur nächsten Schale und legt wieder eine Murmel hinein. Dann zur übernächsten etc.
Sie hört auf, wenn in jeder Schale min. eine Murmel liegt. Für welche n tritt dies ein?

Hmm. Mir scheint, das hat mit den Aufgaben von 2011 nichts zu tun.

Siehe: http://www.mathe-wettbewerbe.de/bwm/aufgaben

Ich schieb das mal in die Rätselecke.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Knobelaufgabe: Bundeswettbewerb im Jahr 2011
Ja,ja, entschuldigung, es war vom Jahr 2012 . Es sind aber nicht die aktuellen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Knobelaufgabe: Bundeswettbewerb im Jahr 2011
Zitat:
Original von Mathemathemathe
Wenn man den einzelnen Schalen Zahlen zuordnet, also die 1. Schale als Zahl 1 betrachtet etc. , dann sind die Schalen in denen eine Murmel liegt stets ein Folgenglied der rekursiv definierten Folge . Wenn wir die Folge funktional darstellen, erhalten wir folgendes Resultat, welches man leicht über vollständige Induktion beweisen kann: .

Erstmal ist der Index n ungünstig, da schon mit n die Zahl der vorhandenen Schalen bezeichnet wird. Nehmen wir mal k als Index. Dann erscheint mir richtig. Denn dann paßt das auch, daß a_1 = 1 ist. smile

Zitat:
Original von Mathemathemathe
Also muss jede Schale ( eine Schale ist kleiner gleich n ) m die Form .
Wir stellen die Gleichung auf:


Das habe ich komplett nicht verstanden. Ich würde so formulieren: Eine Schale m enthält wenigstens eine Kugel, wenn es einen Index k und eine ganze Zahl j gibt mit:

Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Knobelaufgabe: Bundeswettbewerb im Jahr 2011
Warum verstehst du das nicht? verwirrt

M ist eine Schale. Und sie muss die Form a_k haben. Alsodie eine Gleichung.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Knobelaufgabe: Bundeswettbewerb im Jahr 2011
Angenommen, da stehen 8 Schalen, also m (oder M?) = 8. Wenn Anja beispielsweise zum 10. Mal eine Kugel legt, ist . Und welche Schale soll das nun sein? verwirrt
 
 
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Knobelaufgabe: Bundeswettbewerb im Jahr 2011
Das kommt auf n an. Weil wir so was eine n-er-Uhrenarithmetik haben.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Knobelaufgabe: Bundeswettbewerb im Jahr 2011
Mir fällt gerade auf, dass unsere Meinungen etwa die selben sind, nur, dass bei mir die n-er-Uhrearithmetik und bei dir halt anders "dargestellt" wird.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Knobelaufgabe: Bundeswettbewerb im Jahr 2011
Und wo hast du eine Darstellung, die halbwegs zur Aufgabe paßt? Ich kann da nichts erkennen.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Knobelaufgabe: Bundeswettbewerb im Jahr 2011
Die funktionale Darstellung.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Knobelaufgabe: Bundeswettbewerb im Jahr 2011
Zur Information: Es handelt sich um Aufgabe 2 der zweiten Runde des BWM 2012.

[attach]27397[/attach]

Hier die Lösungsvorschläge dazu:
[attach]27399[/attach]
[attach]27400[/attach]
[attach]27401[/attach]
[attach]27402[/attach]
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RE: Knobelaufgabe: Bundeswettbewerb im Jahr 2011
Zitat:
Original von Mathemathemathe
Die funktionale Darstellung.

Also außer der expliziten Darstellung für die rekursive Folge kann ich keine Gemeinsamkeiten erkennen. Und die Geschichte mit der Uhrenarithmetik ist ja durchaus nicht unbedeutend.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Knobelaufgabe: Bundeswettbewerb im Jahr 2011
Ne, weitere sehe ich auch nicht.

Aber ist denn jetzt die Lösung richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Knobelaufgabe: Bundeswettbewerb im Jahr 2011
Wie ich schon mit meinem Beispiel mit den 8 Schalen versucht habe zu erklären, hat deine "Lösung" absolut nichts mit der Aufgabe zu tun. Abgesehen davon kann ich in deiner Rechnung die Schlußfolgerung "2n ist eine Zweierpotenz" ebenfalls nicht nachvollziehen.

sulo hat ja inzwischen den Beweis gepostet. Das sieht jedenfalls deutlich komplizierter aus als deine Rechnung.
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