Beschränktheit einer Folge

21.12.2012, 12:26

daTobi

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Beschränktheit einer Folge

Meine Frage:
Es sei $\begin{eqnarray*} (a_{n}) n\geq 1 mit a_{n+1} = a_{n} +\frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Meine Frage:
Kann so eine Folge nach oben beschränkt sein?
Wenn ja, wieso?

Meine Ideen:
Meine Idee:
Für n = 1 gilt: $\begin{eqnarray*} a_{n} = a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Hilft mir das weiter?

21.12.2012, 12:38

klarsoweit

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RE: Beschränktheit einer Folge

Zitat:

Original von daTobi
Meine Idee:
Für n = 1 gilt: $\begin{eqnarray*} a_{n} = a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Hilft mir das weiter?

Hmm. Nicht wirklich. Ich würde die Sache eher so betrachten: für n >= 2 wird wenigstens 1/6 zu a_n addiert. Da fragt man sich, wie die Folge beschränkt sein kann. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.12.2012, 13:08

daTobi

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Beschränktheit einer Folge
Danke.

Also gilt: je größer mein n , desto größer wird auch an,
also kann sie nicht beschränkt sein.

Gibt es dafür auch eine mathematische Begründung?

21.12.2012, 13:24

klarsoweit

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RE: Beschränktheit einer Folge

Zitat:

Original von daTobi
Also gilt: je größer mein n , desto größer wird auch an,
also kann sie nicht beschränkt sein.

Das ist keine Begründung. Für $\begin{eqnarray*} a_n := \frac{n-1}{n} \end{eqnarray*}$ wird a_n auch immer größer. Trotzdem ist a_n beschränkt.

Zitat:

Original von daTobi
Gibt es dafür auch eine mathematische Begründung?

Beweise die Ungleichung $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \geq a_2 + \frac{n-1}{6} \end{eqnarray*}$ für n >= 2. smile

smile

21.12.2012, 13:41

daTobi

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RE: Beschränktheit einer Folge
Du meinst

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_{2} + \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

für n = 2, oder?

21.12.2012, 13:47

klarsoweit

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RE: Beschränktheit einer Folge
Die Gleichung stimmt für n=2, aber ich meine genau das, was ich geschrieben habe.

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21.12.2012, 14:13

daTobi

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RE: Beschränktheit einer Folge
Deine Gleichung löst man mit Hilfe vollst. Induktion, oder?

Hab da noch eine Idee:
Annahme, dass $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ konvergent sei.

Für jede konvergente Folge gilt Beschränktheit, also zeige ich, dass die Folge nicht konvergent ist.

Ich würde das so machen:

Es existiert ein Grenzwert a.
Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} a =\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} a_{n} +\frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

=> a = a + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Dann fällt das a raus, also existiert kein Grenzwert
=> keine Konvergenz => keine Beschränktheit

Geht das?

21.12.2012, 14:17

Jello Biafra

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RE: Beschränktheit einer Folge
Es gibt aber auch beschränkte Folgen, die nicht konvergieren.

21.12.2012, 14:28

daTobi

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RE: Beschränktheit einer Folge
Stimmt, $\begin{eqnarray*} -1^{n} \end{eqnarray*}$ zum Beispiel:

Aber hier gilt doch folgender Satz, oder nicht:

Jede konvergente Folge $\begin{eqnarray*} (a_{n} ) n\geq k \end{eqnarray*}$ ist beschränkt, d.h. es gibt ein $\begin{eqnarray*} K \geq 0 \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} | a_{n} | \leq K \forall n \geq k \end{eqnarray*}$

21.12.2012, 14:32

Jello Biafra

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RE: Beschränktheit einer Folge

Zitat:

Original von daTobi
Stimmt, $\begin{eqnarray*} -1^{n} \end{eqnarray*}$ zum Beispiel:

Aber hier gilt doch folgender Satz, oder nicht:

Jede konvergente Folge $\begin{eqnarray*} (a_{n} ) n\geq k \end{eqnarray*}$ ist beschränkt, d.h. es gibt ein $\begin{eqnarray*} K \geq 0 \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} | a_{n} | \leq K \forall n \geq k \end{eqnarray*}$

Der Satz, den Du meinst, setzt außerdem voraus, dass die Folge monoton ist.

21.12.2012, 14:35

daTobi

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RE: Beschränktheit einer Folge
ist mir alles bewusst,

nur gehts bei dieser Aufgabe nur darum zu zeigen, dass sie nicht nach oben beschränkt ist.
Und für meine Folge gilt doch der Satz.
Und wenn ich dann zeige, dass die Folge nicht konvergent ist, müsste das doch gehen oder?

Danke

21.12.2012, 14:39

klarsoweit

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RE: Beschränktheit einer Folge
Wie schon gesagt: aus der Nicht-Konvergenz kannst du nicht die Unbeschränktheit folgern.

Zitat:

Original von daTobi
Deine Gleichung löst man mit Hilfe vollst. Induktion, oder?

Erstmal ist das eine Ungleichung und ja, das geht mit vollst. Induktion.

21.12.2012, 14:46

daTobi

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RE: Beschränktheit einer Folge
okay, versteh ich.

Wenn ich aber dann noch zeige, dass es monoton ist müsste es passen oder.

Weil dann hab ich eine Folge, die monoton, aber nicht konvergent ist.

Daraus folgt doch, dass sie nicht beschränkt sein kann, da mit Beschränktheit auch Konvergenz folgen würde.

21.12.2012, 15:09

klarsoweit

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RE: Beschränktheit einer Folge
Ich weiß jetzt nicht, warum du dir soviel Arbeit machen willst. Wenn du meine Ungleichung bewiesen hast, folgt daraus sofort die Unbeschränktheit.

21.12.2012, 15:13

daTobi

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RE: Beschränktheit einer Folge
Weil ich mit der Induktion nicht klar komme.

21.12.2012, 15:36

daTobi

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RE: Beschränktheit einer Folge
Danke trotzdem für alle Antworten.

21.12.2012, 16:13

Jello Biafra

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RE: Beschränktheit einer Folge
Wenn Du es mit rekursiv (induktiv) definierten Folgen zu tun hast, dann spielt die Vollst. Ind. häufig mit. Es kann also nicht schaden sich mal damit anzufreunden.

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