Globale Extremwerte in Intervallen

21.12.2012, 14:13

Manuel99

Globale Extremwerte in Intervallen

Meine Frage:
Hallo an alle.
Ich habe eine Frage bzgl. der globalen Extremwerte in Funktionen bei denen ein konkreter Intervall vorgegeben ist. Ein selbstgewähltes Beispiel von mir wäre folgendes:
Gegeben ist die Funktion f(x) mit $\begin{eqnarray*} x^{3}+2x^{2}+x+1 \end{eqnarray*}$ und der Intervall [-3,3]
Gesucht wären demnach die lokalen und globalen Extremwerte dieser Funktion.

Meine Ideen:
Ich habe inzwischen die ersten beiden Ableitungen ausgerechnet und so zwei Extremstellen ausgemacht und diese als ein lokales Maximum und ein lokales Minimum identifiziert. Soweit soweit gut.

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 3x^{2}+4x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)= 6x+4 \end{eqnarray*}$

Die beiden Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ die ich mit der pq-Formel ausgerechnet habe, ergaben die Extremstellen. Und diese x-Werte wiederum in $\begin{eqnarray*} f''(x) \end{eqnarray*}$ eingesetzt zeigen ja obs ein Maximum oder ein Minimum ist.
Bei -1 ist ein lokales Maximum und bei -1/3 ein lokalex Minimum. Wenn ich diese Werte für die Extremstellen in $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ einsetze, kriege ich die dazugehörigen Extremwerte und habe so den ganzen Punkt. Aber wie sieht es nun mit dem globalen Extremstellen aus?
Meine Vermutungen:
a.) Da der Intervall nur von -3 bis 3 geht nehme ich einmal an, das es mich nicht zu interessieren hat, ob die Funktion außerhalb des Intervalls noch viel höhere oder viel niedrigere Werte annimmt, richtig?
b.) Ich weiss, dass die Funktion für -x gegen -unendlich geht und für +x gegen + unendlich. Zumindest sieht es auf dem Graphen stark danach aus.
c.) Innerhalb meines vorgegebenen Intervalls liegt der jeweils niedrigste und höchste Wert aber genau an den Intervallgrenzen (das ist Zufall, bei ner anderen Funktion könnte das ja bestimmt anders sein). Sind diese Intervallgrenzen damit das globale Maximum oder das globale Minumum?
d.) Oder eine andere Überlegung die ich hatte. Dadurch das ich ja die beiden Lokalen Extrema ausgerechnet hatte, und es keine anderen lokalen Extrema mehr gibt, sind dass dann auch automatisch die globalen extrema bzw. maximum und minimum? Also -1 und -1/3 anstatt -3 und 3 ?
e.) und je nachdem, wie ich das nun für mich geklärt kriege, wie rechne ich das aus bzw. zeige einwandfrei dass etwas ein globales Maximum oder minimum innerhalb eines Intervalls(!) ist?

Vielen Dank für eure Hilfs im Vorraus... ich mache über Weihnachten Mathematik, ich hoffe das ist nich schlimm, das ich euch solche Fragen gerade jetzt in der freien Zeit stelle.

21.12.2012, 14:26

klarsoweit

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RE: Globale Extremwerte in Intervallen

Zitat:

Original von Manuel99
c.) Innerhalb meines vorgegebenen Intervalls liegt der jeweils niedrigste und höchste Wert aber genau an den Intervallgrenzen (das ist Zufall, bei ner anderen Funktion könnte das ja bestimmt anders sein). Sind diese Intervallgrenzen damit das globale Maximum oder das globale Minumum?

In diesem Fall ja. Ein globales Extremum befindet sich entweder an einer Intervallgrenze oder innerhalb des Intervalls. Falls es innerhalb des Intervalls ist es auch ein lokales Extremum. Diese wurden ja schon bestimmt. Also muß man sich nur noch die Intervallgrenzen anschauen und die mit den gefundenen lokalen Extrema abgleichen.

21.12.2012, 14:41

Manuel99

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Wow das ging schnell...

okay, das ist ja super, dann muss ich unter dem Begriff "global" also den gesamten Intervall verstehen, sofern einer vorgegeben ist und nicht etwas noch größeres?

Und es reicht dann in diesem Fall zu zeigen dass:

$\begin{eqnarray*} f(-3) < f(-1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(-\frac{1}{3}) < f(3) \end{eqnarray*}$ ist?

Also $\begin{eqnarray*} -11 < 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{23}{27} < 49 \end{eqnarray*}$

21.12.2012, 15:05

klarsoweit

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Hmm. Eigentlich mußt du für das globale Extremum das max(f(-3), f(-1), f(3)) bestimmen.

Analog dann das globale Minimum.

21.12.2012, 18:44

Manuel99

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Okay.. aber wie berechne ich denn so ein Maximum einer Funktion innerhalb eines Intervalls.. mit der Extremwertberechnung über Nullstellen der Ableitung ja bestimmt nicht. Ich brauch ja irgendwas, wo am Ende in meinem Fall die beiden Ränder des Intervalls bei rauskommen.

24.12.2012, 12:44

klarsoweit

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Nochmal zum Vorgehen: du bestimmst zuerst die lokalen Maxima über die 1. Ableitung. Davon dann die Funktionswerte an den entsprechenden Stellen. Dann noch die Funktionswerte an den Intervallgrenzen. Und von all diesen Werten bestimmst du das Maximum und raus kommt das globale Maximum.

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