Ungleichung einer Folge

21.12.2012, 15:32

Asbest

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Ungleichung einer Folge

Meine Frage:
Zu jeder der 2 Folgen soll ein $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gefunden werden, so dass für alle $\begin{eqnarray*} n \geq N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |a_{n} | < \epsilon \end{eqnarray*}$ besteht.

$\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n\in \mathbb N} = \frac{n}{n^3 + n^2 + 2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n\in \mathbb N} = (-1)^n \frac{n}{n^2 + 1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
habe leider absolut keinen Ansatz dafür
soweit ich die Aufgabe verstehe suche ich ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ , das zwar grösser ist als $\begin{eqnarray*} |a_{n} | \end{eqnarray*}$ , aber trotzdem ein $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ enthält, das kleinergleich n ist. Aber ich hab das gefühl dass ich komplett im dunklen tappe

21.12.2012, 15:43

Helferlein

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Nein.
Du sucht ein N, das von dem gewählten $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ abhängt, ab dem alle Folgeglieder um weniger als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ von 0 abweichen.

Beispiel: Für $\begin{eqnarray*} a_n=\frac 1{n+1} \end{eqnarray*}$ wäre $\begin{eqnarray*} N(\epsilon)=\frac1{\epsilon}-1 \end{eqnarray*}$ eine mögliche Wahl, da $\begin{eqnarray*} a_n<\epsilon \Leftrightarrow n+1>\frac 1{\epsilon} \end{eqnarray*}$

21.12.2012, 16:04

Asbest

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okay mal rein verständnix technisch ... ich suche ein $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ für das bei $\begin{eqnarray*} n \geq N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |a_{n} | < \epsilon \end{eqnarray*}$

mit anderen worten quasi: ich suche eine Funktion für ein N von Epsilon, damit die Folgeglieder ab diesem N kleiner sind als das gewählte Epsilon ?

21.12.2012, 16:09

Jello Biafra

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RE: Ungleichung einer Folge
Genau und Du solltest noch beachten, dass es genügt irgendein $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ anzugeben und nicht notwendig das Kleinste.
Du kannst Dir das Ganze also durch Abschätzungen etwas vereinfachen.

21.12.2012, 16:34

Asbest

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auch wenn ich jetzt als dreister ideenklauer dastehe, aber die Funktion:

$\begin{eqnarray*} N(\epsilon) = \frac{1}{\epsilon} -1 \end{eqnarray*}$

wäre doch eine gültige Lösung für:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n}{n^3 + n^2 + 2} \end{eqnarray*}$

oder?

21.12.2012, 16:48

Asbest

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habe jetzt für die erste Folge

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon} - 1 \end{eqnarray*}$

und für die zweite Folge

$\begin{eqnarray*} \frac{100}{\epsilon} \end{eqnarray*}$

gewählt. könnte mir kurz jemand sagen ob das so gültig bzw überhaupt korrekt ist ?

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21.12.2012, 17:49

Helferlein

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Die Werte stimmen, allerdings würde mich interessieren, wie Du auf sie gekommen bist. Ich hätte zumindest andere, zum Teil deutlich näher an der Minimallösung gelegene N berechnet.

21.12.2012, 18:12

Asbest

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naja bei der ersten Folge hab ich einfahc mal auf gut glück dein Beispiel von oben verwendet und es hat funktioniert ...

Bei der 2ten Folge hab ich mir gedacht muss es ja so ähnlich funktionieren ... das (1-n)^n tauscht ja nur vorzeichen, und nachdem es sowieso um den betrag von der Folge geht ist das ja irrelevant.
Und dass ich dann 100 als Zähler verwendet habe war purer zufall.
Sollte ich das nicht tun ?

21.12.2012, 18:18

Helferlein

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Naja, auf gut Glück raten ist nicht wirklich sinnvolle Vorgehen und wird Dir gerade im Hochschulbereich nicht wirklich viel bringen.

Oben hat Dir Jello ja schon den Weg verraten: Die Folgeglieder geeignet abschätzen, um auf einen einfacheren Term zu kommen.

Um bei meinem Beispiel von oben zu bleiben: $\begin{eqnarray*} a_n<\frac 1n \end{eqnarray*}$ also hätte man auch als einfacheren Term $\begin{eqnarray*} N=\frac 1{\epsilon} \end{eqnarray*}$ wählen können.

21.12.2012, 18:31

Asbest

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okay hab jetztmal geschaut welche werte denn die 2. Folge maximal annimmt (0,5 für n = 1).. dann habe ich getestet ob $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ reicht, weil der maximalwert von 0,5 nicht gerade hoch ist und die Folgeglieder vom Wert her recht shcnell absinken, und anscheinend reicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ .

Ist das so als kurze erklärung warum ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ verwendet habe annehmbar ?

21.12.2012, 18:39

Helferlein

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Nein, das reicht nicht mal annähernd als Begründung. Es geht um mathematische Fakten und nicht Vermutungen und Anscheinensbehauptungen.
Du sollst klar und unumstösslich beweisen, dass für dein gewähltes N alle weiteren Folgeglieder betragsmässig kleiner als Epsilon sind und dazu wirst Du um eine Rechnung nicht herumkommen.

Konkreter: Du musst beweisen, dass $\begin{eqnarray*} |a_n|<\epsilon~\forall~n>N(\epsilon) \end{eqnarray*}$

21.12.2012, 19:14

Asbest

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okay darf ich das so angehen:

$\begin{eqnarray*} |a_{n} | < \epsilon \forall n \geq N(\epsilon) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |(-1)^n * \frac{n}{n^2 + 1}| < \epsilon \forall n \geq \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |(-1)^\frac{1}{\epsilon} * \frac{\frac{1}{\epsilon}}{(\frac{1}{\epsilon})^2 + 1}| < \epsilon \end{eqnarray*}$

21.12.2012, 20:09

Asbest

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hab das ganze jetzt so begründet:

das $\begin{eqnarray*} (-1)^\frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ fällt raus da es nur das Vorzeichen ändert .. dann bleibt stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{\epsilon}}{\frac{1}{\epsilon^2}+1} < \epsilon \end{eqnarray*}$

Beträge kann ich ja weglassen, da es sich ausschliesslich um positive Zahlen handelt.

damit ich nicht nur auf n = N prüfen kann addiere ich noch zu jedem n ein $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{\epsilon}+x}{(\frac{1}{\epsilon}+x)^2+1} < \epsilon \end{eqnarray*}$

jetzt forme ich das ganze so um dass auf der linken Seite nurnoch eine Null steht und erhalte:

$\begin{eqnarray*} 0 < x + \epsilon x^2 + \epsilon \end{eqnarray*}$

und nachdem $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ist diese Ungleichung immer gültig.

Ist das so akzeptabel ?

22.12.2012, 11:37

Helferlein

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Ganz ehrlich, wenn ich so etwas als Korrektor vorgesetzt bekommen würde, würde ich die Hände über dem Kopf zusammenschlagen.

Beispielsweise ist $\begin{eqnarray*} (-1)^{\frac1{\epsilon}} \end{eqnarray*}$ nur in wenigen Fällen überhaupt definiert.

Dann behauptest Du "zu jedem n ein x zu addieren". Ich sehe da aber kein n, sondern nur den Term $\begin{eqnarray*} \frac 1{\epsilon} \end{eqnarray*}$ .
Du hast es also nicht zu jedem n, sondern zu deinem $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ addiert.

Anschließend formst Du die Ungleichung um, gehst aber mit keinem Wort darauf ein, ob es sich um eine Implikation oder Äquivalenzumformung handelt (Die Du hier benötigst). Auch wird nicht gesagt, welche Rechnung hinter deiner "Umformung" steckt.

Oben wurde Dir schon ans Herz gelegt Abschätzungen zu verwenden, was Du leider völlig ignoriert hast. Auch meinen ersten Hinweis mit dem Berechnen eines N hast Du nicht wirklich Beachtung geschenkt, sondern einfach drauf los geraten, was N wohl sein könnte.

Das alles sind Punkte, die im Rahmen der Schulmathematik vielleicht durchgehen mögen, auf einer Uni oder FH aber inakzeptabel sind und wertvolle Punkte kosten. Dem Stoff nach dürftest Du im ersten Semester sein, was auch deine Vorgehensweise erklären würde.

Also noch einmal zum besseren Vorgehen: Du kennst die Folgeglieder und solltest versuchen den Betrag nach oben abzuschätzen, d.h. einen Term zu bestimmen, der eine einfachere Struktur hat und stets größere Werte liefert. Für diesen lässt sich dann recht einfach ein N bestimmen, dass zwangsläufig auch für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ genutzt werden kann.
Formal: Bestimme eine Folge $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |a_n|<|b_n|<\epsilon~\forall~n>N \end{eqnarray*}$

Ich geb noch ein weiteres Beispiel an, um Dir die Vorgehensweise zu erklären:
Angenommen, wir haben die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=\frac {n²-1}{n^4+n} \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

Da $\begin{eqnarray*} n²-1<n² \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n^4+n=n(n^3+1)>n^3 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a_n<\frac{n²}{n^3}=\frac 1n \end{eqnarray*}$ und wir können $\begin{eqnarray*} N=[\frac 1{\epsilon}] \end{eqnarray*}$ wählen.
Eine Skizze verdeutlich das Vorgehen evt. noch etwas mehr (blau und lila sind Beispielwerte für $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ):

Wählen wir z.B. $\begin{eqnarray*} \epsilon=0.2 \end{eqnarray*}$ so erhalten wir über die grüne Kurve N=5. Die rote liegt liegt unterhalb der grünen, bleibt also erst recht unterhalb von 0.2

22.12.2012, 12:37

Asbest

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okay danke jetzt denke ich hab ich begriffen um was es geht.

nur das mit der abschätzung und der berechnung eines N verstehe ich noch nicht ganz.
Ist mit Abschätzung gemeint welchen Wert es Maximal annimmt und wie es sich ansonsten verhält ?
Und wie berechne ich ein N wenn ich noch garkeinen Term dafür habe ?

deinem Vorgehen nach bin ich jetzt mal an eine andere Folge:

$\begin{eqnarray*} (a_{n}) = \frac{n}{n^3 + n^2 + 2} \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} n^2 > n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n < n^3 + n^2 + 2 \end{eqnarray*}$

ist $\begin{eqnarray*} (a_{n}) < \frac{n^2}{n} = n \end{eqnarray*}$

und deshalb kann ich $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) = \epsilon \end{eqnarray*}$ wählen.

Jetzt sieht das ganze grafisch natürlich nicht so schick aus wie bei deinem Beispiel, korrekt müsste es aber dennoch sein oder ?

22.12.2012, 15:24

Helferlein

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Mit Abschätzen ist das gemeint, was ich oben gemacht habe: Man schaut sich die Bestandteile des Terms an und überlegt sich, wie man einen einfacheren Term finden kann, der stets größere Werte liefert. Diese können durchaus über dem Maximum liegen, aber sie sollten schon so gewählt sein, dass sie uns weiterhelfen.
Das ist bei deiner Rechnung leider nicht der Fall. Die Abschätzung, die Du getroffen hast, ist zwar korrekt, führt aber leider auf eine divergente Folge, nämlich $\begin{eqnarray*} b_n=n \end{eqnarray*}$ und die können wir logischer Weise nicht nutzen, um ein N zu bestimmen, ab dem alle Folgeglieder kleiner als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ sind.

Versuch mal Zähler und Nenner so zu ersetzen, dass die höchste Potenz im Zähler kleiner als die im Nenner ist.

27.12.2012, 13:47

Asbest

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habe das ganze jetzt noch einmal überarbeitet:

für die erste Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n}{n^3 + n^2 + 2} \end{eqnarray*}$

habe ich verwendet: $\begin{eqnarray*} n^2 > n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n^3 < n^3 + n^2 + 2 \end{eqnarray*}$

und deshalb $\begin{eqnarray*} a_{n} < \frac{n^2}{n^3} = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

demnach ist für N möglich: $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) = \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$

Für die zweite Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} = (-1)^n \frac{n}{n^2 + 1} \end{eqnarray*}$

habe ich verwendet: $\begin{eqnarray*} n + 1 > n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n^2 < n^2 + 1 \end{eqnarray*}$

und deshalb $\begin{eqnarray*} a_{n} < \frac{n + 1}{n^2} \end{eqnarray*}$

demnach ist für N möglich: $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) = \frac{\epsilon + 1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$

Ist das ganze nun korrekt ?

27.12.2012, 17:34

Helferlein

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Deine Lösung zur ersten Aufgabe ist jetzt zwar korrekt, aber lässt doch noch Fragen offen.
Warum schätzt Du das einfache n durch ein komplizierteres n² ab?
Wie bist Du auf dein N gekommen und wieso ist es das richtige?

Gerade der letzte Einwand setzt sich in der zweiten Aufgabe fort: Du ersetzt am Ende einfach alle Terme, die ein n enthalten durch $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und behauptest dann dein N gefunden zu haben. Wo ist der Beweis und vor allem: Ist Dir überhaupt klar, was dieses $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ angibt?
Ich persönlich gehe eher davon aus, dass Du das nicht verstanden hast und dann bringen die ganzen Aufgaben nicht viel. Du lernst zwar die Technik, aber nicht, was dahinter steckt oder warum man es so macht, wie man es macht.

Sollte ich mich irren, lasse ich mich gerne eines besseren belehren und von Dir erklären, was $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ angibt und wie Du zu deinem N gekommen bist.

28.12.2012, 14:26

Asbest

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das n habe ich mit n² abgeschätzt weil ich "sicher gehen" wollte dass die Folge $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ grösser ist als $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ . Was aber auch der fall gewesen wäre hätte ich nur den Nenner verkleinert, stimmt.

Auf das N bin ich gekommen, weil $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ja kleiner als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ist aber dennoch grösser als $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ und somit, wenn ich das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durch ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ersetze das ganze meiner Vorgabe entspricht.

Soweit ich das verstanden habe ist $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ eine Umgebung von einem jeweiligen $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ und jetzt suche ich eine Funktion $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ für die gilt dass alle Folgeglieder von
$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ kleiner sind als ein beliebiges $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Ich würde mir das ganze ja gerne erklären lassen, nur leider ist es Teil einer Pflichtübung.

29.12.2012, 00:03

Helferlein

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Vielleicht noch mal zum prinzipiellen Verständnis:
$\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ist nicht die Umgebung, sondern der Radius der Umgebung um den erwarteten Grenzwert der Folge. Wenn Du auf der x-Achse das n und auf der y-Achse $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ einträgst, kannst Du einen Streifen der Breite $\begin{eqnarray*} 2\epsilon \end{eqnarray*}$ einzeichnen, in dem sich alle weiteren Folgeglieder befinden müssen, um ein gültiges N zu diesem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ zu haben.
Du berechnest es durch Umformen deines einfacheren Terms nach N. Mit Vertauschen hat das nichts zu tun und da $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ im Nomalfall möglichst klein sein wird, während N immer größer wird, ist ein Vertauschen auch nicht wirklich naheliegend.

Inhaltlich stimmt es zwar, dass $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ eine reelle Funktion darstellt, die jeder Streifenbereite ein N zuordnet, ab dem die Folge den Streifen nicht mehr verlässt, aber zum Verständnis der Vorgehensweise hilft das meiner Meinung nach nicht.
Hierzu solltest Du Dir $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ als gegeben vorstellen, meinetwegen auch in Form einer festen Zahl 1 oder 0,1, und dann überlegen bzw. ausrechnen, wie groß man N wählen muss, damit zunächst $\begin{eqnarray*} a_N<\epsilon \end{eqnarray*}$ gilt. Anders ausgedrückt: Wann die Folge das erste mal innerhalb des vorgegebenen Streifen liegt. Je nach Folge ist dies entweder schon das gewünschte N, oder man muss ein größeres wählen, weil der Streifen vielleicht wieder verlassen wird, wie beispielsweise bei $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n^2}{2^n} \end{eqnarray*}$

29.12.2012, 15:10

Asbest

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Zitat:

Du berechnest es durch Umformen deines einfacheren Terms nach N

Welchen Term meinst du damit ?

Ich betrachte also den Verlauf der Folge und lege mir gedanklich irgend ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ fest, das ab einem Gewissen wert von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ grösser ist als der Verlauf der Folge. Anschliessend Suche ich mir ein $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ , das eben für das gewählte $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ab eben diesem Punkt an dem die Kurve der Folge unterhalb des $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ liegt größer als die Kurve der Folge ist.

Habe ich das so richtig verstanden ?

29.12.2012, 17:27

Helferlein

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So ist es

Freude

Mit dem einfacheren Term meine ich den, den Du nach der Abschätzung erhältst.

29.12.2012, 17:47

Asbest

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okay ... dann habe ich zumindest verstanden was mir die Aufgabe sagen will Augenzwinkern

Augenzwinkern

meine Abschätzung ist also jetzt eine Folge $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ die größer als $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ ist.

Wie Forme ich jetzt diese Folge nach N um ?

Darf oder soll dann $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergieren wenn die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert ? (was sie ja in meinen beiden Fällen tut)

Und: am einfachten wäre es doch ein $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ zu wählen dass an jedem Punkt größer ist als $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ oder ?

29.12.2012, 23:45

Helferlein

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Zitat:

Original von Asbest

Wie Forme ich jetzt diese Folge nach N um ?

Gar nicht. Du kannst (Un)gleichungen umformen, aber nicht Folgen.
Es geht um die Ungleichung $\begin{eqnarray*} b_n<\epsilon \end{eqnarray*}$
Wenn Du diese nach n umformen kannst, hast Du das kleinste N gefunden.

Zitat:

Original von Asbest
Darf oder soll dann $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergieren wenn die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert ?

$\begin{eqnarray*} N (\epsilon) \end{eqnarray*}$ ist ein Index, keine eigene Folge. Du kannst es zwar als Funktion von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ auffassen, aber deren Grenzwert ist ganz sicher nicht 0, sondern wird im Regelfall unendlich sein. Je kleiner der Streifen wird, desto größer muss der Index gewählt werden, um im Streifen zu bleiben.

Zitat:

Original von Asbest
Und: am einfachten wäre es doch ein $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ zu wählen dass an jedem Punkt größer ist als $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ oder ?

Auch hier scheinst Du nicht verstanden zu haben, dass N ein Index ist. Diesen mit der Folge zu vergleichen ist absolut sinnlos. Du vergleichst bei einer Funktion ja auch nicht x mit f(x).

31.12.2012, 13:02

Asbest

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Ah okay danke ... ich denke langsam wird das alles für mich ein bisschen klarer.

Um mal zurück zu meiner Aufgabe zu kommen:

meine Folge ist: $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n}{n^3 + n^2 + 2} \end{eqnarray*}$

Abgeschätzt habe ich mit $\begin{eqnarray*} n^2 > n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n^3 < n^3 + n^2 + 2 \end{eqnarray*}$
Ich habe mit diesen Werten abgeschätzt, weil ich möglichst Summen vermeiden wollte, ich aber dennoch im Nenner eine höhere Potenz haben wollte als im Zähler, weil N für grosse $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ja möglichst klein sein soll, und für kleine $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ möglichst groß.

Es folgt also daraus: $\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{n^3} = \frac{1}{n} > a_{n} \end{eqnarray*}$

Da ja $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ grösser als $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ sein soll kann ich also auch schreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} < \epsilon \end{eqnarray*}$

und wenn ich dies nach n umforme:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon} < n \end{eqnarray*}$

Demnach kann ich für $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ verwenden:

$\begin{eqnarray*} N(\epsilon) = \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$

Für meine Zweite Folge gehe ich ähnlich vor.

Ist das so korrekt ?

31.12.2012, 15:27

Helferlein

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Ja, bis auf eine Kleinigkeit ist das richtig.

Zitat:

Original von Asbest

Da ja $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ grösser als $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ sein soll kann ich also auch schreiben: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} < \epsilon \end{eqnarray*}$

Statt "kann ich also auch schreiben" wäre "genügt es zu fordern, dass" besser geeignet. Das andere klingt so, als müsse es zwangsläufig folgern, was ja nicht stimmt. Du wählst ja bewußt eine größere Grenze als nötig, um die Rechnung zu vereinfachen.
Anders ausgedrückt: $\begin{eqnarray*} \frac 1n < \epsilon \Rightarrow a_n < \frac 1n < \epsilon \end{eqnarray*}$
aber nicht: $\begin{eqnarray*} a_n < \epsilon \Rightarrow \frac 1n < \epsilon \end{eqnarray*}$

Darauf zielte auch der Hinweis von Jello oben, dass Du nicht das kleinste N finden musst, sondern nur ein N, dass die Bedingung erfüllt.

31.12.2012, 15:31

Asbest

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Okay danke !

ist das nun mathemtisch schon ausreichend ?

Auf jeden Fall shconmal unendlich vielen Dank für die Hilfe smile

smile

31.12.2012, 15:34

Helferlein

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Ich hätte noch etwas mehr Text durch Ungleichungen ausgedrückt, aber im wesentlichen ist das in Ordnung.

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