Aperiodischer Grenzfall

21.12.2012, 15:42

daniel22

Aperiodischer Grenzfall

Meine Frage:
Hallo.
Muss zu dieser Kriechfunktion den Maxima und den Wendepunkt bestimmen.
$\begin{eqnarray*} y(t)=(3+8t)\cdot e^{-2t} \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich das an?

21.12.2012, 15:49

Kasen75

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Hallo,

du kannst hier, für die erste Ableitung, die Produktregel anwenden.

$\begin{eqnarray*} (3+8t) \end{eqnarray*}$ wäre hier dann der eine Faktor.

Mit freundlichen Grüßen.

21.12.2012, 19:21

daniel22

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Wie leite ich denn diesen Faktor ab?

$\begin{eqnarray*} e^{-2t} \end{eqnarray*}$

21.12.2012, 19:25

Kasen75

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Allgemein leitet man einen solchen Faktor so ab:

$\begin{eqnarray*} \Bigg( e^{g(t)} \Bigg)' = g'(t) \cdot e^{g(t)} \end{eqnarray*}$

21.12.2012, 19:33

daniel22

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Also g abgeleitet ergibt 0?
Versteh ich nicht ganz.
Wie wird das für meine Potenz aussehen?

21.12.2012, 19:35

Kasen75

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g(t) ist bei dir -2t.

Das musst man jetzt nach t ableiten. Das ergibt auf jeden Fall nicht Null.

Oder anders gefragt: Was ist die Ableitung von -2x nach x ?

21.12.2012, 19:39

daniel22

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Bleibt da dann stehen:
-2e ?
-2t abgeleitet erbigt dann: -2
und das e abgeleitet, ergibt sich selber, stimmts?

21.12.2012, 19:46

Kasen75

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Zitat:

-2t abgeleitet ergibt dann: -2

Da stimme ich auf jeden Fall zu.

Zitat:

und das e abgeleitet, ergibt sich selber, stimmts?

Das ist ein bisschen missverständlich ausgedrückt. Wenn man nur e ableitet, dann ergibt das 0. Wenn man dagegen $\begin{eqnarray*} e^t \end{eqnarray*}$ ableitet ergibt das $\begin{eqnarray*} e^t \end{eqnarray*}$ .

Am Besten du schreibst jetzt einfach mal die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^{-2t} \end{eqnarray*}$ hin.

21.12.2012, 19:55

daniel22

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$\begin{eqnarray*} -2\cdot e^{t} \end{eqnarray*}$

21.12.2012, 19:59

Kasen75

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Leider nicht ganz. Wenn du die Formel $\begin{eqnarray*} \Bigg( e^{g(t)} \Bigg)' = g'(t) \cdot e^{g(t)} \end{eqnarray*}$ anschaust, bleibt der Exponent vollständig erhalten.

21.12.2012, 20:03

daniel22

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$\begin{eqnarray*} -2e^{-2t} \end{eqnarray*}$

so?

21.12.2012, 20:08

Kasen75

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Genau. Das wäre jetzt dein v' bei der Produktregel:

$\begin{eqnarray*} \Bigg( u \cdot v \Bigg)'= u' \cdot v + v' \cdot u \end{eqnarray*}$

21.12.2012, 20:19

daniel22

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$\begin{eqnarray*} 8e^{-2t}-2e^{-2t}\cdot (3+8t) \end{eqnarray*}$

Die Ableitung sieht so aus. Dann muss ich das jetzt=0 setzen und nach t auflösen.
Dann bekomme ich mein Hochpunkt. Aber wie forme ich das um?

21.12.2012, 20:30

Kasen75

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Soweit so richtig. Ich würde bei beiden Summanden erstmal $\begin{eqnarray*} e^{-2t} \end{eqnarray*}$

21.12.2012, 20:39

daniel22

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also durch e^(-2t)
dann steht da noch 8-2(3+8t)

21.12.2012, 20:49

Kasen75

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Im Prinzip richtig.

Es steht dann da:

$\begin{eqnarray*} e^{-2t} \cdot \textcolor{blue}{(}8-2(3+8t)\textcolor{blue}{)} \end{eqnarray*}$

Den Term in der blauen Klammer kann man noch vereinfachen.

21.12.2012, 20:52

daniel22

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Hat geklappt. Kommt von der Zeichnung auch hin.
Muss nur noch den Wendepunkt bestimmen.
Diese Fuktion nocheinmal ableiten.

$\begin{eqnarray*} 8e^{-2t}-2e^{-2t}\cdot (3+8t) \end{eqnarray*}$

21.12.2012, 20:56

daniel22

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Woher hast du das e^(-2t) ?
Das habe ich doch weggekürtzt.
Müsste nur noch 8-2(3+8t)=0 da stehen

21.12.2012, 20:57

Kasen75

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Prinzipiell musst du noch bestimmen ob der Extrempunkt ein Hoch- oder Tiefpunkt ist. Aber auch hier brauchst du die zweite Ableitung.

Wie gesagt, ich hätte diesen Term $\begin{eqnarray*} e^{-2t} \cdot \textcolor{blue}{(}8-2(3+8t)\textcolor{blue}{)} \end{eqnarray*}$ noch weiter vereinfacht. Damit ist dann auch die Ableitung leichter; schätze ich mal.

21.12.2012, 21:04

daniel22

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Woher hast du das e^(-2t) ?
Habe doch die Funktion durch e^(-2t) geteilt. Dann fliegt das doch weg

21.12.2012, 21:12

Kasen75

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Für die Nullstellenberechnung, kannst du $\begin{eqnarray*} e^{2t} \end{eqnarray*}$ ignorieren, da es sowieso nicht Null wird.
Aber im Prinzip haben wir es nur ausgeklammert. Wenn du $\begin{eqnarray*} f''(x) \end{eqnarray*}$ ermitteln willst, dann brauchst du die ganze erste Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ .

21.12.2012, 21:18

daniel22

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So?

$\begin{eqnarray*} e^{-2t}\cdot (8-2(3+8t)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-2t}\cdot (8-6-16t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-2t}\cdot (2-16t) \end{eqnarray*}$

21.12.2012, 21:19

Kasen75

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Perfekt.

Dies kannst du jetzt wieder nach der Produktregel ableiten.

21.12.2012, 21:25

daniel22

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Aber wenn ich jetzt nochmal ableite, dann ist das doch schon die zweite Ableitung?
Muss zuerst für die erste Ableitung = 0 setzten und umstellen.
Die zweite Ableitung brauche ich erst für den Wendepunkt.
Das es ein Hochpunkt ist, weis ich ja. Es gibt ja nur ein Extrempunkt. Wir mussten nämlich eine Skizze der Funktion machen. Brauche dann nicht nachzuprüfen

21.12.2012, 21:38

daniel22

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Wenn ich diese Funktion mit Ln multipliziere, dann bekomme ich:
-2t(2-16t)=0
-4t+32t^2=0
umgestellt und durch 32
t^2-0125t=0
Da bekomme ich zwei Werte raus:
t1=0,1875
t2=-0,0625

Ich weis, dass das erste Richtig sein kann aber wie soll ich das Beweisen?

21.12.2012, 21:42

daniel22

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Der erste Wert in die normale Gleichung eingesetzt ergibt 3,09.
Aber ich habe bei x=0.1 schon einen Wert von 3,11 ausgerechnet.
Irgendwas ist da schiefgelaufen

21.12.2012, 21:45

Kasen75

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Deine Rechnung ist nicht richtig. Die LN-Funktion brauchst du hier nicht. Beachte vor allem das kursiv Geschriebene.

Für die Berechnung des Extrempunktes musst du in der Tat diese Gleichung $\begin{eqnarray*} e^{-2t}\cdot (2-16t)=0 \end{eqnarray*}$ lösen. Ich war irgendwie der Annahme, das du das schon gemacht hast.

$\begin{eqnarray*} e^{-2t} \end{eqnarray*}$ wir für kein t Null. Somit musst du nur berechnen, bei welchem t $\begin{eqnarray*} (2-16t) \end{eqnarray*}$ Null wird.

Die zweite Ableitung ist in derTat für den Wendepunkt wichtig.

21.12.2012, 21:48

daniel22

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Achso, dann lass ich den e-Term an dieser Stelle einfach weg und rechne:
2-16t=0
16t=2
t=0,125
und dieser Wert in die allererste Gleichung eingesetzt ergibt den y-Wert.
Stimmts?

21.12.2012, 21:49

daniel22

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Hab raus:

H(0,125;3,1152)

21.12.2012, 21:50

Kasen75

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Stimmt.

21.12.2012, 21:53

daniel22

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Jetzt nur noch die zweite Ableitung bilden und =0 setzen. Und die dritte Ableitung muss ungleich 0 sein

21.12.2012, 21:59

Kasen75

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Genau.

21.12.2012, 22:44

daniel22

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Ich verkürz das mal.
Habe die zweite Ableitung gebildet und zusammengefasst.
$\begin{eqnarray*} e^{-2t}\cdot (-20+32t) \end{eqnarray*}$
t=0,625
und in die Gleichung eingesetzt: y=2,292

Die dritte Ableitung ist:
$\begin{eqnarray*} e^{-2t}\cdot (72-64t) \end{eqnarray*}$
und t=0,625 in die dritte Ableitung eigefügt ergibt eine Zahl ungleich 0.
Also stimmt der Wendepunkt, oder?

21.12.2012, 22:55

Kasen75

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Alles richtig. Freude

21.12.2012, 23:04

daniel22

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Juhu

Dann bedanke ich mich für Ihre Hilfe

21.12.2012, 23:07

Kasen75

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