Stetigkeit einer Cosinus Funktion

Neue Frage »

Asbest Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit einer Cosinus Funktion
Meine Frage:
Gegeben ist die Funktion die auf abbildet und

is definiert durch:

für

und

für

Nun soll erst gezeigt werden, dass an der Stelle x=0 stetig ist.
Dann dass an der stelle x=0 zwar stetig aber nicht differenzierbar ist.
Und zu guter letzt, dass die Funktion für alle an der stelle x=0 differenzierbar ist.

Meine Ideen:
Habe bei der ersten Aufgabenstellung damit begonnen den linksseitigen Grenzwert zu bilden ... hier entsteht allerdings . Kann ich irgendwie Umformen um hier einen Grenzwert zu bekommen oder muss ich die Stetigkeit anders beweisen ?
Monarius Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit einer Cosinus Funktion
Zitat:
Nun soll erst gezeigt werden, dass an der Stelle x=0 stetig ist.

Steht das so in der Aufgabenstellung? Wenn ja, dann ist die so falsch.
Hast du eine Vorstellung davon, wie die Funktion aussieht?
Es ist im Prinzip ähnlich wie bei
 
 
Asbest Auf diesen Beitrag antworten »

In der Angabe steht:
"Zeigen sie: 1. ist an der Stelle x = 0 stetig."

Ja, eine Kosinusfunktion die sich entfernt von x=0 streckt und in der nähe von x=0 staucht.
also kann man den limes für x gegen 0 nicht bestimmen ?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, ihr sollt zeigen, dass an der Stelle Null unstetig ist.
Asbest Auf diesen Beitrag antworten »

kommt mir auch sinnvoller vor.

aber wie genau zeige ich dann dass sie das ist, ohne einen grenzwert bilden zu können ?
Monarius Auf diesen Beitrag antworten »

Falls ihr Folgenstetigkeit hattet kannst du dir, um die Unstetigkeit in 0 kurz zu zeigen, zwei Folgen raussuchen, die gegen 0 konvergieren, für die jedoch

gilt. Wenn die Funktion in 0 stetig wäre, müssten die Grenzwerte ja gleich sein.
Asbest Auf diesen Beitrag antworten »

Folgenstetigkeit sagt mir leider garnichts :/

gibts evtl noch eine andere variante ?
Monarius Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, wie habt ihr Stetigkeit denn definiert?
Asbest Auf diesen Beitrag antworten »

Dass eine Funktion an einem Punkt stetig ist wenn



gilt.
Monarius Auf diesen Beitrag antworten »

Also, wie du richtig festgestellt hast, existiert der Grenzwert

nicht, weil eben der linksseitige/rechtsseitige Grenzwert nicht existieren.

Die Gleichheit wie du sie hingeschrieben hast, kann nur gelten, wenn die Grenzwerte jeweils überhaupt existieren.
Dementsprechend reicht es zu zeigen, dass einer der Grenzwerte nicht existiert, denn dann kann die Gleichheit nicht gelten.
Ob du jetzt den rechtsseitigen oder linksseitigen Grenzwert nimmst, bleibt dir überlassen smile
Asbest Auf diesen Beitrag antworten »

okay dankeschön smile
Asbest Auf diesen Beitrag antworten »

okay jetzt muss ich doch nochmal fragen:

bin jetzt beim dritten aufgabenteil.
um zu zeigen dass eine Funktioin an einer stelle differenzierbar ist bilde ich die ableitung und betrachte dann die grenzwerte der ableitung am zu untersuchenden punkt.
ist das überhaupt korrekt ?

meine ableitung lautet dann eben für



aber da finde ich (zumindest in dieser form) auch keinen Grenzwert.

Jemand einen vorschlag was ich machen könnte?
Monarius Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ist das überhaupt korrekt ?


Nein, du verwechselst da zwei Dinge:
Was du versuchst ist die Stetigkeit der Ableitung in 0 zu zeigen.
Das ist sogar noch etwas mehr, als du eigentlich zeigen sollst.
Was hier gesucht ist, ist eigentlich nur die Differenzierbarkeit in 0, also dass die Ableitung dort überhaupt existiert.

-> Einsetzen in den Differenzenquotient

Übrigens: Die Ableitung für den Fall n=2 ist gleich ein Beispiel dafür, dass Ableitungen auch unstetig sein können.
Asbest Auf diesen Beitrag antworten »

ah okay dnake ... gut zu wissen Big Laugh

aber muss ich nicht in den Differenzialquotienten einsetzen um auf Differenzierbarkeit zu prüfen ?
Monarius Auf diesen Beitrag antworten »

Mh, ich meinte eigentlich in den Differenzenquotienten einsetzen und Grenzwert bilden.
Das ist dann ja gerade der Differentialquotient.
Hätte ich aber explizit hinschreiben sollen, stimmt smile
Asbest Auf diesen Beitrag antworten »

ja stimmt hätte ich mir denken können Big Laugh

mit dem differenzenquotienten erhalte ich jetzt:



nun weiss ich leider nicht wie ich hier vereinfachen kann um den limes zu bilden
Monarius Auf diesen Beitrag antworten »

Dann mal zwei Dinge:
Was ist denn ? Dafür kannst du überall einen konkreten Wert einsetzen.

Dann dürfte dir auch auffallen, dass der Term

so keinen Sinn macht. Da steht und das ist per Definition 0.

Außerdem ist dir hier

wohl ein Exponent verloren gegangen.
Asbest Auf diesen Beitrag antworten »

okay danke
nun habe ich für überall 0 eingesetzt und den letzten Term wegen weggelassen und erhalte:



und da der Grenzwert von nicht bestimmtbar ist wäre doch bewiesen dass an der Stelle nicht differenzierbar ist ?

Der einzige Exponent ist doch bei und nachdem ist dieser doch in diesem Fall nicht weiter interessant ?
Monarius Auf diesen Beitrag antworten »

In diesem Fall ja, allerdings hattest du geschrieben, dass du beim dritten Aufgabenteil bist, bei dem der Exponent dann eine entscheidende Rolle spielt.
Dein Gedankengang stimmt aber.
Eine Funktion ist differenzierbar in einem Punkt, wenn der Grenzwert existiert - und der existiert hier nicht (, was du auch schon in Aufgabenteil 1 gezeigt hast).
Asbest Auf diesen Beitrag antworten »

ja gerade darauf gestossen Augenzwinkern

hier erhalte ich dann

also quasi:



ist das korrekt ?
Monarius Auf diesen Beitrag antworten »

Jup, und wenn man weiß, dass der Kosinus beschränkt ist, dann ist auch der Grenzwert für kein Hexenwerk mehr.
Asbest Auf diesen Beitrag antworten »

Aaaaaah natürlich .. hätte ich wohl selbst drauf kommen können Augenzwinkern

dann vielen herzlichen dank für die viele Hilfe smile
wemsor Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube am Anfanag habt ihr einen Fehler gemacht.
So wie ich das verstanden habe handelt es sich um eine abschnittweise definierte Funktion die in x=0 als 0 definiert ist. Also ist sie dort auf jeden Fall stetig.
Monarius Auf diesen Beitrag antworten »

Wo genau? Bei ?

Die Funktion ist in zwar definiert, wenn sie dort stetig wäre müssten aber der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert existieren (und mit übereinstimmen).
Hier scheitert es an der Existenz der Grenzwerte.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »