Verschoben: lateinisches Quadrat mit Ordnung 4

21.12.2012, 18:12	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben: lateinisches Quadrat mit Ordnung 4 Meine Frage: Zeigen Sie, dass die Anzahl lateinischer Quadrate der Ordnung 4 genau 576 beträgt. Meine Ideen: Für die erste Zeile hat man 4! Möglichkeiten. Für die 2. Zeile : 1. Eintrag 3 Möglichkeiten für den 2. ??? Ich muss hier ja irgendwie eine Fallunterscheidung machen, tue mir aber schwer damit. Das soll die ANZAHL der Möglichkeiten der Einträge darstellen: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{vmatrix} 4 & 3 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 2 & 1 \\ 2& 1& 1 & 1 \\ 1&1&1&1\end{vmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Wenn ich nun $\begin{eqnarray} 4! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 576 \end{eqnarray}$ aufmultipliziere bekomme ich das richtige Ergebnisse. Aber wenn ich ein lateinisches Quadrat so anordne $\begin{eqnarray} <br /> \begin{vmatrix} a & b & c & d \\ b & a & .. & .. \\ ..& ..& .. & .. \\ .&.&.&.\end{vmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Habe ich ja in der 2. Zeile dritte Spalte keine zwei Möglichkeiten mehr. Versteht Ihr mein Problem ? PS: Das Thema sollte bei Hochschulmathematik stehen. Kann das jmd. richten ?
22.12.2012, 11:24	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lateinisches Quadrat mit Ordnung 4 Keine Ahnung, ob man das komplett kombinatorisch lösen kann, aber der folgende Weg führt schnell zum Ziel: Es genügt, die Zahl der Quadrate zu suchen, die in der ersten Zeile den Eintrag 1234 haben. Jedes andere lateinische Quadrat lässt sich durch eine Permutation von 1234 darauf zurückführen. Für die Quadrate, die in der ersten Zeile den Eintrag 1234 haben, genügt es, die Zahl der Quadrate zu suchen, deren erste Spalte den Eintrag 1234 hat. Jedes andere lateinische Quadrat mit der gleichen ersten Zeile, lässt sich durch Vertauschungen der Zeilen 2, 3 und 4 darauf zurückführen. Es genügt also, zu bestimmen, auf wieviele Arten n sich $\begin{eqnarray} <br /> \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & & * & * \\ 3 & * & * & * \\ 4 & * & * & \end{vmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ zu einem lateinischen Quadrat vervollständigen lässt. Das hat man schnell per Hand gemacht, weil es nur wenige Möglichkeiten gibt. Die Gesamtzahl ist dann $\begin{eqnarray} 3! \cdot 4! \cdot n \end{eqnarray}$ .

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