Zinsformel

21.12.2012, 18:32

Cheftheoretiker

Zinsformel

Hallo Leute,

ich würde gerne die Zinsformel herleiten. Allerdings komme ich nicht auf das richtige Ergebnis, könnte jemand drüber schauen und mir einmal sagen wo mein Fehler liegt?

$\begin{eqnarray*} \frac{dS}{dt}=r\cdot S \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dS=r\cdot S~dt \end{eqnarray*}$

Als erstes die Trennung der Variablen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{S}dS=r~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{S}~dS=\int r~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(S)=rt+k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S=e^{rt+k} \end{eqnarray*}$

Nun die Variation der Konstanten:

$\begin{eqnarray*} S(t)=e^{rt}\cdot k(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dS}{dt}=re^{rt}\cdot k(t)+e^{rt}\cdot k'(t) \end{eqnarray*}$

Jetzt einsetzen in: $\begin{eqnarray*} \frac{dS}{dt}=r\cdot S \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} re^{rt}\cdot k(t)+e^{rt}\cdot k'(t)=r e^{rt}\cdot k(t) \end{eqnarray*}$

Und es bleibt übrig:

$\begin{eqnarray*} e^{rt}\cdot k'(t)=0 \end{eqnarray*}$

Demnach müsste $\begin{eqnarray*} k(t)=0 \end{eqnarray*}$ sein was aber nicht sein kann da die Lösung $\begin{eqnarray*} S(t)=S_0\cdot e^{rt} \end{eqnarray*}$ sein soll. Kann mir jemand sagen wo mein Fehler liegt? unglücklich

21.12.2012, 18:42

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Zinsformel

Zitat:

Original von Cheftheoretiker

$\begin{eqnarray*} e^{rt}\cdot k'(t)=0 \end{eqnarray*}$

Demnach müsste $\begin{eqnarray*} k(t)=0 \end{eqnarray*}$ sein

Das würde ich mir noch einmal in Ruhe durchlesen und neu überdenken.

21.12.2012, 18:48

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

meine Idee ist folgende:

Du hast nach der Integration das hier stehen:

$\begin{eqnarray*} S=e^{rt+k} \end{eqnarray*}$

Das ist ja praktisch schon die Lösung.

k variiert ja nicht. k ist unabhängig von der Zeit. Das ist ja das Kapital zum Zeitpunkt 0.

Grüße.

21.12.2012, 19:51

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Zinsformel

Zitat:

Original von Helferlein

Zitat:

Original von Cheftheoretiker

$\begin{eqnarray*} e^{rt}\cdot k'(t)=0 \end{eqnarray*}$

Demnach müsste $\begin{eqnarray*} k(t)=0 \end{eqnarray*}$ sein

Das würde ich mir noch einmal in Ruhe durchlesen und neu überdenken.

Wenn ich $\begin{eqnarray*} e^{rt}\cdot k'(t)=0 \end{eqnarray*}$ nun durch $\begin{eqnarray*} e^{rt} \end{eqnarray*}$ dividiere erhalte ich doch: $\begin{eqnarray*} k'(t)=0 \end{eqnarray*}$ und das integriert ist doch $\begin{eqnarray*} \int k'(t)~dt=\int 0~dt \end{eqnarray*}$

oder wie ist das gemeint? verwirrt

21.12.2012, 20:12

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kasen75
Hallo,

meine Idee ist folgende:

Du hast nach der Integration das hier stehen:

$\begin{eqnarray*} S=e^{rt+k} \end{eqnarray*}$

Das ist ja praktisch schon die Lösung.

k variiert ja nicht. k ist unabhängig von der Zeit. Das ist ja das Kapital zum Zeitpunkt 0.

Grüße.

Ja, wenn ich hier einfach aufhöre und sage: $\begin{eqnarray*} S(t)=e^{rt+k}=k_0\cdot e^{rt} \end{eqnarray*}$ Dann kommt das hin. smile

Allerdings woher weiß ich denn nun das ich dort aufhören muss? verwirrt

Schließlich könnte ich ja auch die Variation der Konstanten durchziehen? verwirrt

21.12.2012, 20:25

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

@Cheftheoretiker

Das hier $\begin{eqnarray*} S'=r\cdot S \end{eqnarray*}$ sieht mir nach einer homogenen Differentialgleichung erster Ordnung aus.

Deswegen hätte ich die Methode der Variation der Konstanten nicht angewandt. Trennung der Variablen hätte gereicht.

21.12.2012, 21:25

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast vollkommen recht Kasen75, oh man Forum Kloppe

Bei einer Differentialgleichung erster Ordnung mit der Form $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}+y_1(x)x=y_2(x) \end{eqnarray*}$ löst man diese mit dem Verfahren Variation der Konstanten. Da du ja bereits drauf hingewiesen hast und ich es nun auch selber sehe reicht die Trennung der Variablen völlig aus.

$\begin{eqnarray*} S'=r\cdot S \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dS}{dt}=r\cdot S \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dS=r\cdot S~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{S}~dS=r~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{S}~dS=\int r~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(S)=rt+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S=e^{rt+c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S=c\cdot e^{rt} \end{eqnarray*}$

Jetzt ist alles klar, vielen Dank! smile

21.12.2012, 21:33

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gerne. smile

Herzliche Grüße. Wink

Neue Frage »

Antworten »

Zinsformel

Verwandte Themen