Kurvenintegral

22.12.2012, 00:30	Berryblue	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenintegral Meine Frage: Hallo, ich habe hier eine Klausuraufgabe die ich mal gerechnet habe. Vorgegeben sei das Vektorfeld $\begin{eqnarray} \vec{v}: \mathbb E^3 \Rightarrow \mathbb E^3 \end{eqnarray}$ durch: $\begin{eqnarray} \vec{v}\left(\vec{x} \right)=\begin{pmatrix} cos(x_{2})sin(x_{3})+x_{2} \\ -x_{1}sin(x_{2})sin(x_{3}) \\ x_{1}cos(x_{2})cos(x_{3}) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Berechnen Sie das Kurvenintegral 2. Art wobei C die Kurve im E^3 bezeichne, die den Anfangspunkt $\begin{eqnarray} x_{0}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit dem Endpunkt $\begin{eqnarray} x_{E}=\begin{pmatrix} \pi \\ \pi \\ \pi \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ verbindet. Meine Ideen: Ich habe es mal durchgerechnet, weiß aber nicht ob es richtig ist. Deshalb berichtigt mich bitte, wenn was falsch ist. Also fange ich mal an: Erstmal hab ich überprüft ob das Vektorfeld wegunabhänig ist: da $\begin{eqnarray} rot \vec{v} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist das Vektorfeld nicht wegunabhänig. Weil in der Aufgabe Verbindungsstrecke steht, gehe ich davon aus, dass das die Kurve darstellt: $\begin{eqnarray} r(t)=\begin{pmatrix} \pi t \\ \pi t \\ \pi t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das Kurvenintegral 2.Art sieht mit sein Skalarprodukt ja so aus. $\begin{eqnarray} \int_C \! \vec{v}(r(t))\cdot r'(t) \, dt \end{eqnarray}$ Dadurch ergibt sich ausgeschrieben: $\begin{eqnarray} \int_C \! (cos(\pi t)sin( \pi t) +\pi t)\pi+ (-\pi tsin^2(\pi t))\pi +( \pi tcos^2(\pi t))\pi\, dt \end{eqnarray}$ Ich komme durch Additionstheoreme auf diesen Therm: $\begin{eqnarray} \int_C \! \pi^2 t + 2\pi^2 t \, dt =\int_C \ 3\pi^2 t \, dt \end{eqnarray}$ Und das ist meine Lösung: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! 3 \pi t \, dt = \left[\frac{3}{2}\pi t^2 \right]_{0}^{\pi} =146,11 \end{eqnarray}$ Ich hoffe ich habe alles richtig gemacht.
28.12.2012, 00:12	Berryblue	Auf diesen Beitrag antworten »
Da keiner eine Antwort postet, schätze ich mal, dass die Rechnung richtig ist?
28.12.2012, 09:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe ist merkwürdig formuliert. Oder stammt die Formulierung von dir? Es gibt ja unendlich viele Kurven, die die beiden gegebenen Punkte miteinander verbinden. Warum heißt es dann "die" Kurve? Oder ist "die Strecke" gemeint? Das wäre sinnvoll. Oder heißt es "eine" Kurve, weil das Integral wegunabhängig ist? (Das ist es zwar nicht, aber vielleicht handelt es sich ja um einen Druckfehler. Vielleicht $\begin{eqnarray} +x_1 \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} +x_2 \end{eqnarray}$ in der ersten Koordinate?)
28.12.2012, 17:05	Berryblue	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe gesehen, dass ich ein paar Wörter vergessen habe. Berechnen Sie das Kurvenintegral 2.Art, wobei $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ die Kurve im $\begin{eqnarray} \mathbb E^3 \end{eqnarray}$ bezeichne, die als Verbindungstrecke den Anfangspunkt $\begin{eqnarray} x_{A} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit dem Endpunkt $\begin{eqnarray} x_{E} =\begin{pmatrix} \pi \\ \pi \\ \pi \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ verbindet. Ich habe ja den Matheprof gefragt und er sagte es ist die Gerade gemeint $\begin{eqnarray} r(t)=\begin{pmatrix} \pi t \\ \pi t \\ \pi t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Ein Druckfehler ist es nicht, habe nachgefragt.
28.12.2012, 19:29	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt ist das etwas ganz anderes. So ist die Aufgabe sinnvoll gestellt. Die Rechnung scheint mir aber nicht richtig. Zwar stimmt die Parametrisierung, jedoch ist das Integrationsintervall falsch. Auch kann ich nicht erkennen, wie Additionstheoreme auf deine Terme führen. Auch solltest du den Integranden einklammern, wenn er eine Summe ist. Ich habe $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \pi^2 \end{eqnarray}$ als Wert des Kurvenintegrals erhalten.
28.12.2012, 20:52	Berryblue	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt, ich hab ja die Gerade $\begin{eqnarray} r(t) =\begin{pmatrix} \pi t \\ \pi t \\ \pi t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Deswegen muss ich den Term von 0 bis 1 integrieren. Bei den Additionstheoreme hab ich so gerechenet: $\begin{eqnarray} (sin(\pi t)cos (\pi t)+\pi t)\pi=1/2(sin(\pi t-\pi t)+sin(\pi t+\pi t)+\pi t)\pi=1/2(sin(0)+sin(2\pi t)+\pi t)\pi =1/2(0+0+\pi t)\pi =1/2 \pi^2t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\pi t(sin(\pi t)sin (\pi t))\pi=-1/2\pi t(cos(\pi t-\pi t)-cos(\pi t+\pi t))\pi=-1/2\pi t(cos(0)-cos(2\pi t))\pi =-1/2\pi^2 t(1-1) =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \pi t(cos(\pi t)cos (\pi t))\pi=1/2\pi t(cos(\pi t-\pi t)+cos(\pi t+\pi t))\pi=1/2\pi t(cos(0)+cos(2\pi t))\pi =1/2\pi^2 t(1+1) =\pi^2t \end{eqnarray}$ Aber jetzt sehe ich, das wird nicht $\begin{eqnarray} 3\pi^2t^2 \end{eqnarray}$ . Also rechne ich mal kurz neu. $\begin{eqnarray} <br /> \int_C \!(\frac{1}{2}\pi^2 t+\pi^2 t)\,dt =\int_C\!\frac{3}{2}\pi^2 t \,dt=\left[\frac{3}{4}\pi^2 t^2\right]_{1}^{0} =\frac{3}{4}\pi^2 \end{eqnarray}$
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28.12.2012, 20:55	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 2 \pi t \neq 2 \pi \ \ \text{!!!} \end{eqnarray}$
28.12.2012, 23:12	Berryblue	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ok. Gut dann rechne ich nochmal nach $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\pi sin(0)+ \frac{1}{2} \pi sin(2\pi t)+\pi^2 t -\frac{1}{2} \pi^2tcos(0)+\frac{1}{2} \pi^2 t cos(2\pi t)+\frac{1}{2} \pi^2tcos(0)+\frac{1}{2} \pi^2 t cos(2\pi t)=\frac{1}{2} \pi sin(2\pi t)+\pi^2 t+\pi^2 t cos(2\pi t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^1 \!(\frac{1}{2} \pi sin(2\pi t)+\pi^2 t+\pi^2 t cos(2\pi t))\, dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^1 \!\frac{1}{2} \pi sin(2\pi t)\, dt +\int_0^1\!\pi^2 t\, dt +\int_0^1\!\pi^2 t cos(2\pi t)\, dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^1 \!\frac{1}{2} \pi sin(2\pi t)\, dt =\left[-\frac{1}{4}cos(2\pi t)\right]_{0}^{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^1 \!\pi^2 t\, dt =\left[\frac{1}{2}\pi^2 t^2\right]_{0}^{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^1\!\pi^2 t cos(2\pi t)\, dt=\left[\frac{1}{2}\pi t sin(2\pi t)+ \frac{1}{4}cos(2\pi t)\right]_{0}^{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left[-\frac{1}{4}cos(2\pi t)+\frac{1}{2}\pi^2 t^2+\frac{1}{2}\pi t sin(2\pi t)+ \frac{1}{4}cos(2\pi t)\right]_{0}^{1}= \left[\frac{1}{2}\pi^2 t^2+\frac{1}{2}\pi t sin(2\pi t)\right]_{0}^{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\frac{1}{2}\pi^2 1^2+\frac{1}{2}\pi sin(2\pi ))-(\frac{1}{2}\pi^2 0^2+\frac{1}{2}\pi sin(0))=\frac{1}{2}\pi^2 \end{eqnarray}$ Richtig so?

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