Periodische Funktion, Stetigkeit |
| 22.12.2012, 00:42 | Anahita | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Periodische Funktion, Stetigkeit Zu zeigen: Es gibt ein x in R, so dass f(x) = f(x+1) --- Meine Idee: Gebrauch von dem Mittelwertsatz, und zwar wie oft in dem man eine neue Funktion definiert: g(x) = f(x) - f(x+1). Zeigen könnte ich jetzt zum Beispiel, dass es ein x in IR gibt, so dass g(x) > 0 und ein y, so dass g(y) <0, dann gäbe es ein a in (x,y), so dass g(a) = 0. Aber wie kann ich zeigen, dass auch für g(a+1) = 0 gilt - und wo kommt die Stetigkeit ins Spiel? |
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| 22.12.2012, 02:13 | Dangalf | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Periodische Funktion, Stetigkeit Dein Ansatz ist sehr brauchbar, wobei es genügt, eine Nullstelle a von g(x) zu finden, g(a+1) benötigt man aber nicht mehr. Berechne einfach mal g(0) und g(1) und vergleiche die beiden Funktionswerte. |
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| 22.12.2012, 10:56 | Anahita | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ok, danke! Also, wie ich es nun verstehe: Die Stetigkeit insofern ins Spiel, da sie eine Voraussetzung des Mittelwertsatzes ist. Wie von dir vorgeschlagen berechne ich nun: g(0) = f(0) - f(1) g(1) = f(1) - f(2) = f(1) - f(0) => g(1) = -g(0) Mit dem Mittelwertsatz folgt nun, dass es ein x in (0,1) gibt, so dass g(x) = 0. Aber warum benötige ich g(x+1) = 0 nicht mehr? >_> |
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| 22.12.2012, 11:06 | shipwater | Auf diesen Beitrag antworten » |
Kurzer Hinweis: Du meinst nicht Mittelwertsatz, sondern... Gruß Shipwater |
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| 22.12.2012, 12:21 | Anahita | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zwischenwertsatz! Aber dennoch: Wie gehts nun weiter? :-) |
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| 22.12.2012, 12:30 | Dangalf | Auf diesen Beitrag antworten » |
Naja, wenn Du ein a hast mit g(a) = 0, folgt daraus f(a) - f(a+1) = 0 und weiter f(a) = f(a+1), also das, was verlangt war. Für g gilt ganz allgemein g(x+1) = f(x+1) - f(x+2) = f(x+1) - f(x) = -g(x), also ist hier g(a+1) = 0, das heißt aber nur, dass auch a+1 die verlangte Bedingung erfüllt. Und shipwater hat recht, der verwendete Satz heißt anders. |
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| 22.12.2012, 12:56 | Anahita | Auf diesen Beitrag antworten » |
Super, alles klar, danke! Und der Satz ist wie gesagt der Zwischenwertsatz :-) |
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