Komplexe Zahlen Aufgaben (richtig gerechnet?) - Seite 2

30.12.2012, 13:50

DannyDre

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Hab meine Lösungen gezeichnet und man sieht, es ist FALSCH unglücklich

unglücklich

Der erste Winkel ist ja einfach der, der gegeben ist, also bei mir:

$\begin{eqnarray*} \alpha _{0} = \frac{5}{4} \pi \end{eqnarray*}$

Dann muss man um $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}\pi \end{eqnarray*}$ drehen, also ist:

$\begin{eqnarray*} \alpha _{1} = \frac{13}{12} \pi \end{eqnarray*}$

Dann muss man um $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}\pi \end{eqnarray*}$ drehen, also ist:

$\begin{eqnarray*} \alpha _{2} = \frac{7}{4} \pi \end{eqnarray*}$

So kam ich auf die 3 Winkel Big Laugh

Big Laugh

30.12.2012, 14:10

Che Netzer

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Zitat:

Original von Che Netzer
Schreibe doch mal deinen kompletten Rechenweg auf.

Ich kann dir nicht helfen, wenn aus dem Nichts plötzlich $\begin{eqnarray*} \alpha_0=\frac54\pi \end{eqnarray*}$ auftaucht.

30.12.2012, 14:18

Danny_Dre

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Das war die Vorarbeit:

Radius = 64
UPPS........ tan winkel = 1.....
dann is der winkel phi/4 :P

Dann is klar, dass alles falsch is Big Laugh

Big Laugh

is der Winkel Phi/4 dann richtig, von der komplexen Funktion z^3 ?

30.12.2012, 14:20

Danny_Dre

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Denn nach Tabelle wird der Tangens 1 für die Winkel
1. 1/4 pi
2. 5/4 pi

Ich glaub gestern beim 1. überfliegen der Tabelle habe ich den 1. nicht gesehen und hab deswegen mit 5/4 pi gerechnet.......

Aber ist das eigentlich nicht der gleiche Winkel?
Müsste der Winkel dann nicht auch stimmen?

30.12.2012, 14:24

Che Netzer

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Ich bastel mir das mal zusammen:
Der Betrag von $\begin{eqnarray*} z^3 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 64 \end{eqnarray*}$ , der Winkel bzw. das Argument ist $\begin{eqnarray*} \frac\pi4 \end{eqnarray*}$ .
Gut, das stimmt. Und aus der zugehörigen Polarform kannst du die dritten Wurzeln bestimmen.

Und $\begin{eqnarray*} \frac\pi4 \end{eqnarray*}$ ist nicht das gleiche wie $\begin{eqnarray*} \frac54\pi \end{eqnarray*}$ .

30.12.2012, 19:24

DannyDre

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JUHUUUUUUUU
endlich hab ich die Lösung.......
gerade mit Winkel = pi/4 gerechnet.........
und leich die 3 komplexen zahlen gezeichnet.....
liegen alle auf nem kreis die spitzen und abstand 120°
Also richtig :P :P :P endliiiiiiiiiich

Jetzt weiß ich wie man solche Aufgaben rechnet Big Laugh

Big Laugh

PS: wie ist das eigentlich in der Prüfung?
wenn es auf die Aufgabe 4 punkte gibt......
Hätte ich dann 3 wenn alles richtig ist bis auf den
ersten Winkel - wäre das Folgefehler??
oder hätte ich am Ende 0/4 ?

PS2:
Aber bei z1 und z2 musste man ja den Taschenrechner benutzen für die komischen Winkel, für die es keine Wurzeln gibt...... Deswegen dürfte die Aufgabe nicht in unserer Prüfung dran kommen, da wir ja keinen Taschenrechner benutzen dürfen!

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30.12.2012, 19:35

Che Netzer

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Du hast den Betrag $\begin{eqnarray*} \lvert z^3\rvert \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} \lvert z\rvert \end{eqnarray*}$ , war wohl aber nur ein Schreibfehler.
Die Winkel der Wurzeln sind auch allesamt falsch, da du $\begin{eqnarray*} \frac\pi4 \end{eqnarray*}$ unverändert gelassen hast.

In einer Prüfung würde ich dafür auch nicht mit Punkten rechnen, da jegliche Erläuterungen in deinem Anhang fehlen.

30.12.2012, 19:38

DannyDre

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Wie alles falsch??
was muss man denn aus dem $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$ machen ??
$\begin{eqnarray*} tan(\alpha ) = 1 \end{eqnarray*}$ Also muss doch der Winkel so sein ?!

30.12.2012, 19:41

Che Netzer

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Nur der von $\begin{eqnarray*} z^{\color{red}3} \end{eqnarray*}$ .
Gewöhne dir lieber mal an, genau zu wissen, wofür deine Variablen stehen.

Edit: Und außerdem könnte der Winkel auch $\begin{eqnarray*} \frac54\pi \end{eqnarray*}$ betragen, wenn dessen Tangens Eins ist.

30.12.2012, 19:42

DannyDre

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und ich will $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ haben?

Also von z1 z2 und z3 die 3. Wurzel ziehen?

30.12.2012, 19:48

Che Netzer

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Du hast eine Darstellung für $\begin{eqnarray*} z^3 \end{eqnarray*}$ . Einerseits nach Aufgabenstellung in kartesischer Form und deine berechnete Polarform.
-> Schreibe diese Darstellung in Polarform auf.
Um daraus die drei Lösungen für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ zu erhalten, ziehst du die dritte Wurzel aus $\begin{eqnarray*} z^3 \end{eqnarray*}$ in der Polarform.
-> Schreibe die allgemeine Formel für die drei dritten Wurzeln auf.
-> Setze die konkreten Werte ein.

30.12.2012, 19:56

DannyDre

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So?

30.12.2012, 19:58

DannyDre

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mit winkel eingesetzt:

30.12.2012, 20:02

Che Netzer

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Du hast zwar weder $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ definiert, es ist aber sowieso falsch.
Du hast $\begin{eqnarray*} z^3=32\sqrt2+32\sqrt2\mathrm i \end{eqnarray*}$ gegeben.
Jetzt bilde davon die Polarform.
Woher soll der Exponent bei der $\begin{eqnarray*} 64^3 \end{eqnarray*}$ kommen?

30.12.2012, 20:06

DannyDre

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Meint ihr das??

$\begin{eqnarray*} z^{3} = 64^{3} [cos(3\cdot \frac{\pi }{4} ) + i sin(3\cdot \frac{\pi }{4} )] \end{eqnarray*}$

30.12.2012, 20:11

Che Netzer

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Das ist ja schon falsch.
Und wer ist "ihr"?

Du hast ganz einfach die Zahl $\begin{eqnarray*} z^3 \end{eqnarray*}$ gegeben. Vielleicht hilft dir $\begin{eqnarray*} w:=z^3 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} w=32\sqrt2+32\sqrt2\mathrm i \end{eqnarray*}$ .
DAS sollst du in Polarform bringen. Es gibt keinerlei Grund, $\begin{eqnarray*} z^3 \end{eqnarray*}$ dann nochmals mit Drei zu potenzieren.

30.12.2012, 20:13

DannyDre

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$\begin{eqnarray*} w = 64 [cos(\frac{\pi }{4} ) + i sin(\frac{\pi }{4} )] \end{eqnarray*}$

so?

30.12.2012, 20:15

Che Netzer

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Na bitte, klappt doch.
Und jetzt kannst du aus dieser Darstellung von $\begin{eqnarray*} z^3 \end{eqnarray*}$ die drei dritten Wurzeln bestimmen.

30.12.2012, 20:20

DannyDre

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hahahah, dann ist es ja viel viel einfacher als gedacht........
Dann interessiert mich gar nicht, dass da ³ steht?
könnte da auch stehen:
$\begin{eqnarray*} z^{987123} = 32\sqrt{2} + 32\sqrt{2} i \end{eqnarray*}$
und es wäre die gleiche Rechnung?

30.12.2012, 20:24

Che Netzer

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Der Unterschied wäre dann nur, dass du in dieser Variation verdammt viele Wurzeln bestimmen müsstest.
Die Darstellung für die jeweilige Potenz ist in beiden Fällen gleich.

Kannst du jetzt jedenfalls die drei Lösungen für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ angeben?

30.12.2012, 20:32

DannyDre

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so??

Aber die Ergebnisse kommen mir so bekannt vor........ hatte ich die nicht schonmal vorhin irgendwo?

PS: da kommen wieder keine wurzeln raus....... also ist da ein fehler...... oder DIE aufgabe wäre in unserer prüfung unmöglich ohne taschenrechner unglücklich

unglücklich

)

30.12.2012, 20:35

DannyDre

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die zeichnung dazu.........
also is es richtig??

30.12.2012, 20:38

Che Netzer

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Die Ergebnisse stimmen nun zumindest.
Ich hätte aber einfach $\begin{eqnarray*} 4\mathrm e^{\frac1{12}\pi\mathrm i} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 4\mathrm e^{\frac34\pi\mathrm i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4\mathrm e^{\frac{17}{12}\pi\mathrm i} \end{eqnarray*}$ angegeben.

30.12.2012, 20:43

DannyDre

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Uiii das sieht aber immer so kompliziert aus mit deiner Schreibweise.... Big Laugh

Big Laugh

aber SCHWERE GEBURT sag ich nur........
jetzt weiß ich wneigstens wie DIESE aufgaben gehen und übe die noch ein wenig und die "alten fehler" passieren mir jetzt nie wieder , danke !!! Big Laugh

Big Laugh

30.12.2012, 20:56

Che Netzer

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Zitat:

Original von DannyDre
und die "alten fehler" passieren mir jetzt nie wieder , danke !!! Big Laugh

Big Laugh

Naja, das hatte ich hier auch ab und zu gehofft Augenzwinkern

Augenzwinkern

An die scheinbar komplizierte Schreibweise solltest du dich aber gewöhnen – oder schreib es zumindest mit Sinus und Cosinus. Es hat kaum einen (mathematischen) Sinn, die Ergebnisse mit Dezimalzahlen zu schreiben und zu runden.

30.12.2012, 20:59

DannyDre

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steht ja meistens in der aufgabenstellung, in welche Form.......

Und wenn nix da steht, nehm ich einfach deine Form :P

30.12.2012, 21:41

Che Netzer

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Ja, wenn nur nach den Lösungen der Gleichung gefragt ist, ist egal, ob die in Polar- oder kartesischer Form angegeben werden.
Rundungen und Dezimalzahlen würde ich aber in der Mathematik generell nicht empfehlen.

30.12.2012, 23:45

DannyDre

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Ich weiß der Radius hat 2 cm.....

Durch normales Probieren ergibt ja für $\begin{eqnarray*} z = -1 \end{eqnarray*}$ eine wahre Aussage:
Heißt das die Lösung ist $\begin{eqnarray*} z = -1 \end{eqnarray*}$ ?
Also der Realteil $\begin{eqnarray*} = -1 \end{eqnarray*}$ und der Imaginärteil $\begin{eqnarray*} = 0*i \end{eqnarray*}$ ?
$\begin{eqnarray*} => z = -1 + 0\cdot i \end{eqnarray*}$
Demnach wäre ja der Mittelpunkt auf dem "Punkt" $\begin{eqnarray*} (-1/0) \end{eqnarray*}$ und dann Kreis zeichnen mit r = 2cm

Aber ich denke mal ich denke zu "Realschul Mathe Mäßig" und die Lösung ist viel viel komplizierter

30.12.2012, 23:55

Che Netzer

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Das ergibt für mich keinerlei Sinn.
Es geht um die Gleichung $\begin{eqnarray*} 2=\left\lvert\frac{z-3}{z+3}\right\rvert \end{eqnarray*}$ , oder?
Wie kommst du auf die Idee, dass diese Gleichung einen Kreis beschreibt?

Längeneinheiten kannst du hier übrigens vergessen.

30.12.2012, 23:58

DannyDre

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Wir haben sowas schon mit einfacheren Dingern gemacht und das waren auch fast immer Kreise Big Laugh

Big Laugh

Und ich hab mir irgendwann gemerkt: Betrag einer variable = Kreisbogen mit dem Radius.........
Weil alle Punkte auf dem Kreisbogen haben die Länge ? cm zum Mittelpunkt....

Wie lös ich dann die Aufgabe?
Quadrieren und die $\begin{eqnarray*} z_{1} ,z_{2} \end{eqnarray*}$ ausrechnen?

30.12.2012, 23:59

Che Netzer

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Du quadrierst und bestimmst eine Variable ( $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ) in Abhängigkeit von der anderen.

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