Prinzip! Integral - Flächenberechnen

22.12.2012, 16:10

Tipso

Integral - Flächenberechnen

Hallo,

Diese Aufgabe macht mir höchste Schwierigkeiten:

Berechne für die stückweise lineare Funktion f das Integral sowie den kontinuierlichen Mittelwert.
a.
ohne.
b.
Mit Integralrechnung!
c.
Zeichne den Mittelwert:

1. Frage
Warum ist das Integral von
$\begin{eqnarray*} \int_2^9 \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left[x\right]_{2}^{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_2^9 \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Wie ich vorgegangen bin:

Zuerst brauche ich die Geradengleichung:
Warum weiß ich leider nicht.

y = k * x + d

Für die Gerade:

A = Gerade der positiven Fläche.
B = Gerade der negativen Fläche.

A ( 2, 4) 4 = 2k + d

B (5, -2) - 2 = 5k + d

Subtraktionsmethode

6 = -3k

k = -2
-------------------------------------------------

1.
$\begin{eqnarray*} 4 = 2 * \left(-2\right) + d \end{eqnarray*}$

d = 8

2.
$\begin{eqnarray*} -2 = 5* \left(-2\right) +d \end{eqnarray*}$

d = 8

Warum sind beide d = 8?

------------------------------------------------

Wie geht es nun weiter?
Was mache ich damit?
Wie ermittle ich $\begin{eqnarray*} f\left(x\right) \end{eqnarray*}$ , geometrisch?
Wie? indem ich ablese?

lg

22.12.2012, 16:50

Tipso

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Hier die Berechnung ohne Integralrechnung:

Zu berechnen haben wir die Fläche von 4 - Dreiecken und einem Quadrat + 1 Quadar.

Diese müssen danach zusammengezählt werden.

Quader + Quadrat Flächenformel $\begin{eqnarray*} A = a* b \end{eqnarray*}$

Dreiecke, es handelt sich um rechtwinklige Dreiecke:

$\begin{eqnarray*} A = \frac{a*b}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_1 = \frac{4*2}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_1 = 4 \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} A_2 = \frac{1*2}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_2 = 1 \end{eqnarray*}$

-----------------------------------------------------------

A_3 = gleichseitiges Dreieck

$\begin{eqnarray*} A_3 = \frac{a^{2} * \sqrt{3} }{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_3 = \frac{2^{2} * \sqrt{3} }{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_3 = 1,50 \end{eqnarray*}$

----

Es ist doch ein rechtw. Dreieck

$\begin{eqnarray*} A_3 = \frac{2}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_3 = 2 \end{eqnarray*}$

----------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} A_4 = \frac{2*2}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_4 = 1 \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------------------

A_5 = Quadrat = a * b

$\begin{eqnarray*} A_5 = a * b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_5 = 2 * 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_5 = 4 \end{eqnarray*}$

----------------------------------------------------------

A_6 = Quader

$\begin{eqnarray*} A_6 =a * b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_6 =1 * 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_1 =2 \end{eqnarray*}$

----------------------------------------------

A = A_1+.....+A_6 = 14 [/latex]

Als Ergebnis gibt mir das Lösungsbuch 12. Hier wurde aber die Fläche im negativen Bereich abgezogen, also musste mein Ergebnis 14 ergeben.

lg

23.12.2012, 21:16

Tipso

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Ich habe versucht zuerst von jedem Dreieck(3) die Funktion herzuleiten.
Danach die von meinen 2 Rechtecken.

Bitte einen Blick auf meinen Rechenweg und auf meine Fragen werfen, damit ich diese auch verstehe.

--------------------------------------------------------------------------------

Funktionen der Dreiecke:

Warum erhalte ich durch das Subtraktionsverfahren von zwei Punkten einer Steigung, deren Steigung.

$\begin{eqnarray*} A(2/4) --- 4 = 2k + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B(5, -2) -- -2 = 5k + d \end{eqnarray*}$ - (Subtraktionsverfahren)

$\begin{eqnarray*} k = - 2 \end{eqnarray*}$

-------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} y = k*x + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d = 8 \end{eqnarray*}$

--------------------------------------------------------

Meine Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} y_1 = -2 * x + 8 \end{eqnarray*}$

Nach diesem Schema, habe ich auch die Funktionen der anderen 2 Dreiecke berechnet.

$\begin{eqnarray*} y_2 = 1* x -6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_3 = -\frac{1}{2} * x + 7 \end{eqnarray*}$

Jetzt die Integrale aufstellen, mit den richtigen unteren und oberen Werte, die abgelesen werden müssen?
1.)
$\begin{eqnarray*} \int_2^4 \! -2 * x + 8 \, dx \end{eqnarray*}$

1.1.)(negativer Teil)

$\begin{eqnarray*} \int_4^5 \! -2 * x + 8 \, dx \end{eqnarray*}$

2.)

$\begin{eqnarray*} \int_5^7 \! 1* x -6 \, dx \end{eqnarray*}$

3.)

$\begin{eqnarray*} \int_7^9 \! -\frac{1}{2} * x + 7 \, dx \end{eqnarray*}$

Nun fehlen noch die Intergrale des Rechteckes und des Quadrates.
Wobei ich nicht verstehe warum ich als F(x) deren höhe bzw. y-Wert nehme.

a.)

$\begin{eqnarray*} \int_5^7 \! 1 \, dx \end{eqnarray*}$

b.)

$\begin{eqnarray*} \int_7^9 \! 2 \, dx \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich nur noch alle/s berechnen und die ganzen Integrale die die Fläche unter den Geraden angeben zusammenzählen und habe dadurch die Fläche.

Hoffe das stimmt alles soweit.

lg

23.12.2012, 23:35

Tipso

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Hier die Berechnungen mit Ergebnissen.

Dabei stellt sich mir die Frage, warum die meisten Ergebnisse negativ sind?
Warum ich negative Flächenwerte erhalte.

Bei der Nr. 2 habe ich ein falsches Ergebnis, dessen Fehler ich nicht finde.

lg

1.)
$\begin{eqnarray*} \int_2^4 \! -2 * x + 8 \, dx \end{eqnarray*}$

A = - 4

1.1.)(negativer Teil)

$\begin{eqnarray*} \int_4^5 \! -2 * x + 8 \, dx \end{eqnarray*}$

A = - 2 ( Müsste aber 1 sein!!!!!!!!)

2.)

$\begin{eqnarray*} \int_5^7 \! 1* x -6 \, dx \end{eqnarray*}$

A = 2

3.)

$\begin{eqnarray*} \int_7^9 \! -\frac{1}{2} * x + 7 \, dx \end{eqnarray*}$

A = - 1

a.)

$\begin{eqnarray*} \int_5^7 \! 1 \, dx \end{eqnarray*}$

A = 2

b.)

$\begin{eqnarray*} \int_7^9 \! 2 \, dx \end{eqnarray*}$

A = 4

4 + 2 + 2 + 1 + 1 + 4 = 14FE

Wie erhalte ich nun die 12FE ?

24.12.2012, 00:49

opi

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Ich habe mich nicht durch alle vier Beiträge durchgearbeitet, aber um diesen Monolog mal zu beenden:

Die Integralgrenzen werden in die Stammfunktion eingesetzt, nicht in die Ausgangsfunktion.
Deine Skizze paßt nicht zu den Integralgrenzen.

Zitat:

Müsste aber 1 sein!!!!!!!!

Nein, -1. Da helfen weder Fettdruck noch Ausrufezeichen. Bei der Berechnung eines Integrals werden "negative" Flächen abgezogen. (Anders ist, wenn direkt nach Flächen gefragt wird: Da sollte man mit Beträgen arbeiten.

24.12.2012, 00:51

Tipso

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Stimmt. -1.

Beim berechnen der Fläche, muss ich aber positive Flächen zusammenzählen, da ja meine Flächen nicht negativ sein können.

lg

Edit opi: Komplettzitat entfernt.

24.12.2012, 01:01

opi

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In der Aufgabenstellung (die ohne die Originalskizze immer noch unklar ist) ist nirgends von Flächenberechnung die Rede.
Ich drücke den Unterschied zwischen Fläche und Integral mal anschaulich aus:
Wenn ich mit meinem Auto 10km geradeaus vorwärts und anschließend 10km rückwärts fahre, habe ich insgesamt 20km zurückgelegt. (Entspricht einer Fläche im Geschwinigkeits/Zeitdiagramm) Ich habe mich aber insgesamt nur 0km vom Ausgangspunkt fortbewegt. (Entspricht dem Integral.)

Und: Bitte auf "Antworten" klicken, nicht auf "Zitat"!

24.12.2012, 01:49

Tipso

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Hi,

Demnach müsste ich alle Integrale zusammenzählen.

Dabei ist:

A_1 = -4

Müsste stattdessen 4 herauskommen.

Zitat:

-2 * 4 + 8 = 0

-2 * 2 + 8 = 4

0 - 4 = -4

Ist hier ein Fehler?

A_2 = -1

A_3 = 2

A_4 = 1 (War auch ein Rechenfehler, hier statt -1 = 1)

A_5 = 2

A_6 = 4

Addiert = 2

24.12.2012, 02:15

opi

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Du mußt auch lesen, was ich schreibe:

Zitat:

Original von opi
Die Integralgrenzen werden in die Stammfunktion eingesetzt, nicht in die Ausgangsfunktion.

Von einer Stammfunktion sehe ich in Deinem Beitrag nichts. unglücklich

Eine vorzeitige Bescherung zum Weihnachtsfest:
$\begin{eqnarray*} \int_2^4 \! -2x+8 \, dx =\left[-x^2+8x\right]_{2}^{4}=-4^2+8\cdot 4-(-2^2+8\cdot 2)=+4 \end{eqnarray*}$

Man könnte auch direkt in den Intervallgrenzen [2;5] integrieren, die "negative Fläche" würde dann automatisch abgezogen.

Über das Ergebnis Deiner Addition solltest Du noch einmal nachdenken. Augenzwinkern

24.12.2012, 02:42

Tipso

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Alles klar danke.

Werde mich Morgen darum kümmern.

Danke für deine Hilfe.

lg

06.01.2013, 01:19

Tipso

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Hallo,

Ich versuche dies zu beenden.

Neuster Stand.

Ich habe sowohl die negative als auch die positive Fläche unter der Geraden_1

= $\begin{eqnarray*} y_1 = -2 * x + 8 \end{eqnarray*}$

A_1 = $\begin{eqnarray*} \int_2^4 \! -2x+8 \, dx =\left[-x^2+8x\right]_{2}^{4}=-4^2+8\cdot 4-(-2^2+8\cdot 2)=+4 \end{eqnarray*}$

A_2 = -1

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Problem:

Ich schaffe es nicht die Fläche bzw. Integrale unter G_2 und G_3 zu erhalten.

Wo ist mein Fehler?

G_2 =

A ( 5/1) 1 = 5k + d

B (7/3) 3 = 7k + d I-
-----------------------------
-2 = -2k

k = 1

--------------------------

1 = 5 + d

d = -4
---------------------------

G_2 = y = x - 4

----------------------------
----------------------------

Soweit richtig?
Da ich falsche Integrale erhalte.

$\begin{eqnarray*} \int_5^7 \! x - 4 \, dx = \left[\frac{x^2}{2} - 4x\right]_{b}^{a} \end{eqnarray*}$

lg

Ps
Ich hoffe die Skizze ist verständlich.
Rot - die gesuchte Fläche.
In Farbe, de jeweiligen Geraden.

06.01.2013, 22:20

opi

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Zitat:

Original von Tipso

Ich versuche dies zu beenden.

Ich versuche es nicht nur, sondern beende es. Teile der Anfrage finden sich auch hier und dort.

Nachdem Du zwei Wochen mit einem weiteren Beitrag gewartet hast ( so z.B. endlich mit der Aufgabenskizze!), empfinde ich diese zerstückelte Drängelei als eine Frechheit. Ich schließe hier.

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