Beschränktheit einer Folge

22.12.2012, 16:22	Asbest	Auf diesen Beitrag antworten »
Beschränktheit einer Folge Meine Frage: Gegeben ist die Folge: $\begin{eqnarray} a_{0} = \frac{3}{2} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a_{n+1} = \frac{a_{n}}{2} + \frac{1}{a_{n}} \end{eqnarray}$ Zu zeigen ist, dass für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} a_{n} \geq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_{n}^2 \geq 2 \end{eqnarray}$ Und warum aus diesem Nachweis folgt dass $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ nach unten beshcränkt ist. Zudem ist zu zeigen dass $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ monoton fällt und dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty }a_{n} = \sqrt{2} \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen: Dass $\begin{eqnarray} a_{n} \geq 0 \end{eqnarray}$ lässt sich ja sehr leicht zeigen: Da das Folgeglied immer die Summe zweier Brüche ist, die wegen der Angabe des positiven Startwertes immer aus sowohl positiven Zählern als auch positiven Nennern besteht, muss es ebenfalls immer positiv sein. Ein Folgeglied kann also nie negativ sein. Schwieriger wird es da allerdings für $\begin{eqnarray} a_{n} ^2 \geq 2 \end{eqnarray}$ : ich habe als Ansatz einfahc die Vorschrift quadriert (darf ich das überhaupt?) und grösser 2 gesetzt: $\begin{eqnarray} \frac{a_{n}^2}{4} + 2\frac{a_{n} }{2a_{n} } + \frac{1}{a_{n} ^2} \geq 2 \end{eqnarray}$ dann die 2 auf die linke Seite gebracht und anschliessend mit $\begin{eqnarray} a_{n} ^2 \end{eqnarray}$ multipliziert: $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} a_{n} ^4 - a_{n} ^2 + 1 \geq 0 \end{eqnarray}$ dann habe ich substituiert und die Mitternachtsformel angewandt, um zu sehen ob die Funktion überhaupt negative werte annehmen kann -> sie besitzt zwar 2 Nullstellen bei $\begin{eqnarray} \pm \sqrt{2} \end{eqnarray}$ , allerdings (nach Betrachtung des Graphen) keine negativen Werte. Ist damit gezeigt dass $\begin{eqnarray} a_{n}^2 \geq 2 \end{eqnarray}$ oder bin ich mal wieder aufm Holzweg ?
22.12.2012, 17:54	Alaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Nachweis, dass $\begin{eqnarray} a_n \ge 0 \end{eqnarray}$ , ist keiner. Das ist kein Beweis, eher eine Vermutung. Das beweist man z.B. durch vollständige Induktion (bietet sich hier an, da die Folge rekursiv definiert ist). Für $\begin{eqnarray} n = 0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ offensichtlich größer als 0, und für $\begin{eqnarray} n > 0 \end{eqnarray}$ erhält man $\begin{eqnarray} a_{n + 1} = \frac{a_n}{2} + \frac{1}{a_n} > 0 \end{eqnarray}$ , wegen der Induktionsvoraussetzung, dass $\begin{eqnarray} a_n > 0 \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gilt. Dass $\begin{eqnarray} a_n^2 \ge 2 \end{eqnarray}$ , beweist du wieder mit vollständiger Induktion. Für $\begin{eqnarray} n = 0 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} a_0^2 = 9/4 > 2 \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} n > 0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} a_{n+1}^2 = \frac{a_n^2}{4} + 1 + \frac{1}{a_n^2} = \frac{a_n^4 + 4}{4a_n^2} + 1 \ge 2 \end{eqnarray}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray} a_n^4 + 4 + 4a_n^2 \ge 8a_n^2 \end{eqnarray}$ , was wiederum äquivalent zu $\begin{eqnarray} (a_n^2 - 2)^2 = a_n^4 - 4a_n^2 + 4 \ge 0 \end{eqnarray}$ ist. Wie man hier sehen kann, ist dies eine wahre Aussage (Quadratzahlen sind immer nichtnegativ). Vollständige Induktion ist also nichtmal nötig, man kann es auch so zeigen für alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . (Hab ich auch erst jetzt bemerkt). Hieraus folgt, dass $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ nach unten beschränkt ist (dies folgt schon aus $\begin{eqnarray} a_n \ge 0 \end{eqnarray}$ ). Monoton fallend zeigt man per Definition: $\begin{eqnarray} a_n \ge a_{n + 1} \end{eqnarray}$ . Wir wissen, dass $\begin{eqnarray} a_{n}^2 \ge 2 \end{eqnarray}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray} 2a_n^2 \ge a_n^2 + 2 \end{eqnarray}$ . Division durch $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ bringt uns $\begin{eqnarray} 2a_n \ge a_n + 2/a_n \end{eqnarray}$ , woraus $\begin{eqnarray} a_n \ge a_n/2 + 1/a_n = a_{n+1} \end{eqnarray}$ folgt. Da die Folge also monoton fallend und beschränkt ist, konvergiert sie. $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_{n+1} \end{eqnarray}$ konvergieren dann beide gegen den gleichen Grenzwert $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , d.h. man kann betrachten $\begin{eqnarray} a = a/2 + 1/a \end{eqnarray}$ , woraus folgt, dass $\begin{eqnarray} a = \sqrt 2 \end{eqnarray}$ .
27.12.2012, 14:02	Asbest	Auf diesen Beitrag antworten »
auch wenn sich das jetzt vllt blöd anhört aber was ist eine Induktion bzw Indusktionsvoraussetzung ? Der Rest hört sich für mich allerdings recht schlüssig an, danke !
27.12.2012, 14:25	Asbest	Auf diesen Beitrag antworten »
Editieren hat nun leider nichtmehr funktioniert, deshalb eine erneute Nachricht: Muss nicht auch gezeigt werden, dass wenn $\begin{eqnarray} a_{n}^2 \geq 2 \end{eqnarray}$ gilt, $\begin{eqnarray} 2 a_{n}^2 \geq a_{n}^2 + 2 \end{eqnarray}$ auch gilt ? Und dass der Grenzwert von $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_{n+1} \end{eqnarray}$ identisch ist folgt daraus dass $\begin{eqnarray} a_{n+1} \end{eqnarray}$ die einzige Vorschrift für die Folge ist, oder ?
28.12.2012, 11:53	Alaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Les dir mal das Beweisverfahren zur Vollständigen Induktion durch. Zu der zweiten Frage. Das ist ja trivial. Man addiert einfach auf beiden Seiten $\begin{eqnarray} a_n^2 \end{eqnarray}$ dazu und das wars. Was die Vorschrift der Folge angeht: Die ist rekursiv definiert. Im Grenzwertprozess konvergieren also beide gegen den gleichen Grenzwert, da ist es egal, ob ich das 100. oder das 5686243. Folgenglied nehme. Allerdings setzt das vorraus, dass die Folge auch tatsächlich konvergent ist. (Haben wir ja vorher durch Monotonie und Beschränktheit gezeigt). An sich ist $\begin{eqnarray} a_{n+1} \end{eqnarray}$ die einzige Bildungsvorschrift der Folge, abgesehen vom Startwert, den man nunmal braucht.
28.12.2012, 15:00	Asbest	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay ... hoffe ich habe das mit der vollständigen Induktion richtig verstanden Oh ja .. Manchmal macht man sichs schon selber komplizierter als es ist Danke dann wären damit alle meine Fragen geklärt. Vielen Dank für die Zahlreichen Antworten
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