Bestimmung Extremalstellen einer Funktion

22.12.2012, 23:49

Anahita

Bestimmung Extremalstellen einer Funktion

Hi

Für die Funktion f: R^3 -> R, f: $\begin{eqnarray*} \frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}} \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} (x_{1},x_{2},x_{3}) \in R^{3} \end{eqnarray*}$ soll man zeigen, dass sie ein Minimum und Maximum besitzt.

Ich habe die Lösung verstehe sie aber nicht ganz. Die Argumentation geht wie folgt: Da die Funktion ungerade ist, genügt, lediglich $\begin{eqnarray*} |f(x)| \end{eqnarray*}$ zu betrachten. Mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt nun, dass $\begin{eqnarray*} |f(x)| = \frac{|x_{1}+x_{2}+x_{3}|}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}} \leq \frac{\sqrt{3} (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})^{1/2}}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}} = \frac{\sqrt(3)*r}{1+r^{2}} =: a \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} r = (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})^{1/2} \end{eqnarray*}$ .

Soweit ist mir alles klar.

Nun steht folgendes: Es gilt $\begin{eqnarray*} |f(1,1,1)| =3/4 \end{eqnarray*}$ , und man wähle $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{3}{8} \end{eqnarray*}$ . Da lim a = 0 (r -> inf) gibt es ein R > 0 so dass $\begin{eqnarray*} sup_{\| x \| \geq R} | f(x) | \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ .
Zudem gilt $\begin{eqnarray*} \| (1,1,1) \| < R \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} |f(1,1,1)| = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ .

So, hier habe ich Fragen:
R ist quasi ein r, ab dem die Funktionswerte kleiner sind als epsilon, schliesslich wissen wir mit Cauchy-Schwarz, dass die Funktionswerte nach oben beschränkt (also eigentlich ist R so ähnlich wie ein Konvergenzradius). Weshalb benötigt man das Supremum hier? Das abs(f(x)) beschränkt ist gilt doch für alle x?

23.12.2012, 01:51

Huy

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Sowohl die Aufgabe als auch der Lösungsweg kommen mir irgendwie sehr bekannt vor. Studierst du zufällig an der ETH?

Zitat:

Original von Anahita
Ich habe die Lösung verstehe sie aber nicht ganz. Die Argumentation geht wie folgt: Da die Funktion ungerade ist, genügt, lediglich $\begin{eqnarray*} |f(x)| \end{eqnarray*}$ zu betrachten. Mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt nun, dass $\begin{eqnarray*} |f(x)| = \frac{|x_{1}+x_{2}+x_{3}|}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}} \leq \frac{\sqrt{3} (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})^{1/2}}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}} = \frac{\sqrt(3)*r}{1+r} =: a \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} r = (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})^{1/2} \end{eqnarray*}$ .

Ich nehme mal an, in der letzten Zeile sollte das im Nenner r^2 sein.

Zitat:

R ist quasi ein r, ab dem die Funktionswerte kleiner sind als epsilon, schliesslich wissen wir mit Cauchy-Schwarz, dass die Funktionswerte nach oben beschränkt (also eigentlich ist R so ähnlich wie ein Konvergenzradius).

Das R ist eigentlich eher das "Gegenteil" eines Konvergenzradius, denn für r > R können wir |f(x)| durch epsilon abschätzen. Aber ansonsten hast du das wohl richtig verstanden.

Zitat:

Weshalb benötigt man das Supremum hier?

Weil das Maximum nicht unbedingt angenommen wird.

Zitat:

Das abs(f(x)) beschränkt ist gilt doch für alle x?

Ja, aber |f(x)| ist (soweit) nicht durch eine Konstante beschränkt, sondern durch sqrt(3)*r / (1+r). Mit der Argumentation, die du zitiert hast, hast du eine konkrete Konstante, die |f(x)| (für r > R) beschränkt.

MfG

23.12.2012, 21:36

Anahita

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Ok.

Ich bin noch nicht ganz sicher, wie ich diesen Ausdruck lesen muss:

$\begin{eqnarray*} sup_{\| x \| \geq R} | f(x) | \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Angenommen, wir haben das R gegeben. Dann würde dieser Ausdruck bedeuten, dass wir erstmals einfach nur alle x betrachten, dessen Norm grösser als R ist. Diese setzen wir in die Funktion ein und der Betrag vom Funktionswert muss kleiner als epsilon sein. Von dieser Menge dann nehmen wir das Supremum? Stimmt das?

Zudem betrachten wir nur aus (x_1,x_2,x_3) in IR+, da auch ungerade Funktionen auch gilt:
$\begin{eqnarray*} |f(-x)| = |f(x)| \end{eqnarray*}$

Zudem heisst es: $\begin{eqnarray*} \|(1,1,1)\| < R \end{eqnarray*}$ - hier wird angenommen, dass f streng monoton steigend ist, oder?

Vielen Dank smile

24.12.2012, 11:37

Huy

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Zitat:

Original von Anahita
Ich bin noch nicht ganz sicher, wie ich diesen Ausdruck lesen muss:

$\begin{eqnarray*} sup_{\| x \| \geq R} | f(x) | \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Angenommen, wir haben das R gegeben. Dann würde dieser Ausdruck bedeuten, dass wir erstmals einfach nur alle x betrachten, dessen Norm grösser als R ist. Diese setzen wir in die Funktion ein und der Betrag vom Funktionswert muss kleiner als epsilon sein. Von dieser Menge dann nehmen wir das Supremum? Stimmt das?

Ungefähr so, ja. Und so ein R existiert, weil $\begin{eqnarray*} a \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} r \to \infty \end{eqnarray*}$ gilt.

Zitat:

Zudem betrachten wir nur aus (x_1,x_2,x_3) in IR+, da auch ungerade Funktionen auch gilt:
$\begin{eqnarray*} |f(-x)| = |f(x)| \end{eqnarray*}$

Wo steht, dass nur $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3 \geq 0 \end{eqnarray*}$ betrachtet werden?

Zitat:

Zudem heisst es: $\begin{eqnarray*} \|(1,1,1)\| < R \end{eqnarray*}$ - hier wird angenommen, dass f streng monoton steigend ist, oder?

Nein. Das folgt direkt aus unserer Wahl für R. Wäre nämlich $\begin{eqnarray*} \|(1,1,1)\| \geq R \end{eqnarray*}$ , so wäre $\begin{eqnarray*} \sup_{\|x\| \geq R} |f(x)| \geq |f(1,1,1)| = \frac{3}{4} > \epsilon \end{eqnarray*}$ .

MfG

27.12.2012, 00:18

Anahita

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Zitat:

Original von Huy

Zitat:

Zudem betrachten wir nur aus (x_1,x_2,x_3) in IR+, da auch ungerade Funktionen auch gilt:
$\begin{eqnarray*} |f(-x)| = |f(x)| \end{eqnarray*}$

Wo steht, dass nur $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3 \geq 0 \end{eqnarray*}$ betrachtet werden?

Was ich meine ist, dass wegen $\begin{eqnarray*} |f(-x)| = |-f(x)| = |f(x)| \end{eqnarray*}$ auf negative Argumente gar nicht eingegangen werden muss, nicht?

Zitat:

Original von Huy

Zitat:

Zudem heisst es: $\begin{eqnarray*} \|(1,1,1)\| < R \end{eqnarray*}$ - hier wird angenommen, dass f streng monoton steigend ist, oder?

Ja, schon, aber das beruht ja wiederum darauf, dass wie du sagst a -> 0 für r -> inf.
Das heisst wenn |f(x)| mit grösserem $\begin{eqnarray*} \|x\| \end{eqnarray*}$ auch grösser werden würde, würde eine solche Wahl von R ja gar keinen Sinn machen.

Lg

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