Gleichung lösen

23.12.2012, 00:41

Sligger

Gleichung lösen

Meine Frage:
Hallo,

ich wollte die Gleichung:

x * (x-2) * (2x+3) = 0 lösen und habe dann x1= 3 und x2= 1 herausbekommen, was laut Lösungsheft falsch ist (ich soll übrigens die pq-Formel anwenden).

Meine Ideen:
x * (x-2) * (2x+3) = 0

x^2 - 2x*2x + 3 = 0

x^2 - 4x + 3 = 0

Und dann die pq-Formel

Edit: Vielleicht muss ich die pq auch nicht anwenden? Im Lösungsheft standen halt 3 Lösungen (0;2;-3/2) deswegen dachte ich, dass man die pq braucht.

23.12.2012, 01:01

Kasen75

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Hallo,

das ist eine kubische Gleichung. Direkt kannst du hier nicht die p-q-Formel anwenden.

Du kannst aber den Satz vom Nullprodukt verwenden:" Ein Produkt ist dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist."

Das heisst die Gleichung $\begin{eqnarray*} x * (x-2) * (2x+3) = 0 \end{eqnarray*}$ ist auf jeden Fall Null, wenn x=0 ist. Somit hast du die erste Nullstelle.

Somit reduziert sich, zum Auffinden weiterer Nullstellen, die Gleichung auf:

$\begin{eqnarray*} (x-2) * (2x+3) = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du nur noch richtig ausmultiplizieren und die quadratische Funktion in die richtige Form bringen: $\begin{eqnarray*} x^2+bx+c \end{eqnarray*}$
Hier

Zitat:

x * (x-2) * (2x+3) = 0

x^2 - 2x*2x + 3 = 0

hast du auf jeden Fall falsch ausmultipliziert, da es ja eine kubische Gleichung ist und keine quadratische.

Grüße.

23.12.2012, 01:35

Kasen75

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Wenn du die p-q-Formel doch nicht unbedingt anwenden musst, dann gilt weiter der Satz vom Nullprodukt (siehe meinen letzten Beitrag).

Wie kann man diesen Satz bei dieser Gleichung $\begin{eqnarray*} x \cdot (x-2) \cdot (2x+3) = 0 \end{eqnarray*}$ anwenden?

23.12.2012, 14:54

Sligger

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Wenn ich für x = 0 einsetzte dann ist alles gleich Null...
Aber wie sind die im Lösungsheft auf die zwei weiteren Lösungen 2;-3/2 gekommen? Für mich sehen die aus die Nullstellen also bräuchte ich die pq Formel, oder?

Ich habe die Gleichung nochmal (hoffentlich richtig) vereinfacht:

x * (x-2) * (2x+3) = 0

x * 2x^2+3x-4x-6 = 0

x * 2x^2 - x - 6 = 0

Aber das ist ja wie du schon gesagt hast nicht quadratisch, wie soll ich da Nullstellen herausfinden? Oder gibt es eigene Formeln für sowas? Denn ich muss ja noch 2;-3/2 irgendwie herausfinden.

23.12.2012, 15:09

Tesserakt

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Zitat:

Original von Sligger
Wenn ich für x = 0 einsetzte dann ist alles gleich Null...

Das soll ja auch so sein, da $\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$ Lösung der Gleichung ist.

Wie du nun diese Gleichung löst, wurde dir doch bereits mitgeteilt.
Die Gleichung ist zwar nicht quadratisch, aber netterweise in faktorisierter Form gegeben.

$\begin{eqnarray*} x(x - 2)(2x + 3) = 0 \end{eqnarray*}$

Dies ist ein aus drei Faktoren bestehendes Produkt.

Also $\begin{eqnarray*} a \cdot b \cdot c = 0 \end{eqnarray*}$ . Wann ist dieses Produkt gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ? Offenbar dann, wenn mindestens einer der Faktoren gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist.
Also gilt $\begin{eqnarray*} a \cdot b \cdot c = 0 \Leftrightarrow a = 0 \; \text{oder} \; b = 0 \; \text{oder} \; c = 0 \end{eqnarray*}$ .

Beispiel 1: $\begin{eqnarray*} a = 5, b = 7, c = 0 \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} a \cdot b \cdot c = 5 \cdot 7 \cdot 0 = 35 \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Beispiel 2: $\begin{eqnarray*} a = 0, b = 0, c = 1 \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} a \cdot b \cdot c = 0 \cdot 0 \cdot 1 = 0 \cdot 1 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Dies ist der sogenannte Satz vom Nullprodukt.

Übertragen wir dies nun auf deine Gleichung.

$\begin{eqnarray*} x(x - 2)(2x + 3) = 0 \end{eqnarray*}$

In diesem Fall sind die Faktoren $\begin{eqnarray*} x, \; x - 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2x + 3 \end{eqnarray*}$ . Dieses Produkt soll gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein.
Nach dem Satz vom Nullprodukt ist dieses gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , wenn einer der Faktoren $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Wie ließe sich nun fortfahren?

23.12.2012, 15:13

PhyMaLehrer

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Du hast das Produkt zweier Binome richtig in eine Summe umgeformt. Allerdings mußtr du diese dann in eine Klammer setzen, also

x * (2x² - x - 6) = 0

Auch hier erkennt man, daß eine Lösung x = 0 ist. Die ganze Klammer mit 0 multipliziert ergibt eben 0.
Wir suchen jetzt weitere Lösungen, die nicht Null sind. Da jetzt x ungleich Null sein soll, dürfen wir durch x dividieren und erhalten eine quadratische Gleichung, die du nach einem kleinen Zwischenschritt mit der pq-Formel lösen kannst.

Wenn du nicht an die pq-Formel gebunden wärst, könntest du die Lösungen auch sehr leicht anders ermitteln.
Aus dem Produkt der drei Terme konntest du schon ablesen, daß das ganze Produkt Null wird, wenn das einzelene x (der erste Term) Null ist.
Das gilt natürlich auch, wenn der zweite oder ...

*******************
... zu langsam gewesen! Wink

23.12.2012, 15:46

Sligger

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Danke euch, jetzt habe ich es endlich! Aber wir sollen das ganze im Kopf rechnen, kann mir einer erklären wie man z.B. (05/2)^2 im Kopf rechnet? Ich habe wirklich keine Ahnung wie ich das im Kopf machen soll..

23.12.2012, 17:37

Tesserakt

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$\begin{eqnarray*} \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{5^2}{2^2} = \frac{25}{4} \end{eqnarray*}$

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