Normalteiler der Diedergruppe D15

23.12.2012, 09:36

mat ze

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Normalteiler der Diedergruppe D15

Meine Frage:
Ich habe eine Aufgabe zu bearbeiten, die folgendermaßen lautet:
Bestimmen Sie (etwa durch Angabe von Erzeugern) alle Normalteiler der Diedergruppe D15.
Ich konnte leider in den bisherigen Posts keine Antwort darauf finden, deshalb wende ich mich an euch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Meine Ideen:
Ich habe bereits eine Gruppentafel erstellt (sehr viel Mühe) und begonnen die trivialen Untergruppen und zyklischen Untergruppen zu bestimmen. Aber dann fehlen ja noch die Untergruppen, die von 2 und mehr Elementen erzeugt werden. Wie kann ich den Prozess verkürzen? Gibt es einen Trick? Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.12.2012, 15:11

Mystic

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RE: Normalteiler der Diedergruppe D15
Naja, die ganze Gruppe und alle Untergruppen, welche nur aus Rotationen bestehen, sind jedenfalls Normalteiler... Würde mich nicht wundern, wenn das schon alle wären...

23.12.2012, 15:58

ollie3

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RE: Normalteiler der Diedergruppe D15
hallo,
ich hatte auch darüber nachgedacht und war zu dem ergebnis gekommen:
die volle gruppe D15, dann die gespiegelte und die ungespiegelte hälfte
davon, dann natürlich D3 und D5 und auch davon jeweils die volle gruppe
und die gespiegelten und ungespiegelten hälften. Oder liege ich da falsch? verwirrt

verwirrt

gruss ollie3

23.12.2012, 16:13

mat ze

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ollie3: ich versteh deine gespietelten hälften nicht. wie werden diese definiert?

ich hab zunächst angefangen die untergruppen von d15 zu bestimmen
(1) trivialen untergruppen: id, D15
(2) zyklischen Untergruppen:
Rotationsgruppe eines 15-Ecks, Drehung um 780°, D 15, Drehung um 468°, <S>, und alle Gruppen, die von einer Spiegelung erzeugt werden
(3) von 2 elementen erzeugte untergruppen:
D15,...

Aber wie kann ich den Prozess für (3) verkürzen, wenn ich nicht für jeden Erzeuger die Verknüpfungstabelle heranziehen möchte?

23.12.2012, 19:32

jester.

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RE: Normalteiler der Diedergruppe D15

Zitat:

Original von Mystic
Naja, die ganze Gruppe und alle Untergruppen, welche nur aus Rotationen bestehen, sind jedenfalls Normalteiler... Würde mich nicht wundern, wenn das schon alle wären...

Das ist in der Tat so allgemein für Diedergruppen der Ordnung $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ mit ungeradem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ richtig.

mat ze, an deiner Stelle würde ich versuchen, dieses allgemeine Resultat zu beweisen. Auf keinen Fall solltest du dir die Mühe machen, alle Untergruppen aufzulisten.
Edit: Ein Tipp, wie man das angehen kann: es ist $\begin{eqnarray*} G=\langle r,s ~|~ r^n, ~s^2, ~ srs=r^{-1}\rangle \end{eqnarray*}$ .
Nun ist sicher $\begin{eqnarray*} \langle r\rangle \end{eqnarray*}$ und jede Untergruppe darin ein Normalteiler von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .
Jedes Element in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist von der Form $\begin{eqnarray*} r^i \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} sr^i \end{eqnarray*}$ und jedes Element, das nicht in $\begin{eqnarray*} \langle r \rangle \end{eqnarray*}$ liegt, hat Ordnung 2. Damit kommt man dann darauf, dass man mit $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \langle r\rangle \end{eqnarray*}$ und seinen sämtichen Untegruppen bereits alle Normalteiler vorliegen hat.

ollie3, was du uns mit deinem Beitrag sagen möhtest, ist mir ein Rätsel.

27.12.2012, 10:34

mat ze

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jester, ich nehme an, du meinst mit r die Drehung und mit s die Verknüpfung von Drehung und Spiegelung.
Aber wie kommt man darauf, dass jedes Element, das nicht in <r> liegt, die Ordnung 2 hat? Ich hab das mit der Ordnung von einem Element noch nicht so ganz verstanden...

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27.12.2012, 10:52

jester.

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Ja, $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ist ein Element der Ordnung $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ hat Ordnung 2; man kann sie also als Rotation und die Spiegelung in der geometrischen Deutung verstehen.
Dabei ist die Ordnung eines Gruppenelements $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} \min\{ n \in \mathbb{N} ~|~ n\neq 0, ~ g^n=1\} \end{eqnarray*}$ , also die kleinste von Null verschiedene Potenz von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , die das neutrale Element der Gruppe ist.

Jedes Element, das nicht in $\begin{eqnarray*} \langle r \rangle \end{eqnarray*}$ liegt, ist von der Gestalt $\begin{eqnarray*} sr^i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i\in\{0,1,...,n-1\} \end{eqnarray*}$ . Man muss also nur nachrechnen, dass $\begin{eqnarray*} (sr^i)^2 = sr^i sr^i=1 \end{eqnarray*}$ gilt.
Dabei benutzt man $\begin{eqnarray*} r^is=sr^{-i} \end{eqnarray*}$ , was aus $\begin{eqnarray*} sr=r^{-1}s \end{eqnarray*}$ folgt.

27.12.2012, 11:16

mat ze

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Puh, klingt alles noch etwas schwer verständlich für mich, aber ich werds nachher einfach mal probieren... DANKE dir! Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.12.2012, 17:17

mat ze

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Ich verstehe, du meinst man braucht auch Lagrange smile

smile

Eine Frage bleibt allerdings noch: Wieso kann z.B. nicht $\begin{eqnarray*} <D^{13}nachD^{14}> \end{eqnarray*}$ ein Erzeuger eines Normalteilers sein? Oder auch die Verknüpfung einer Spiegelung mit einer Drehung. Ich meine damit, dass es ja auch Untergruppen gibt, die von mehr als einem Element erzeugt werden.

28.12.2012, 08:52

Mystic

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Zitat:

Original von mat ze
Ich verstehe, du meinst man braucht auch Lagrange smile

smile

Ja, Lagrange mit seinem ständigen "je ne sais pas" (ich weiß nicht, angewandt in den Wirren der franz. Revolution) ist in Foren eine gute Strategie, die daher auch immer wieder angewandt wird... Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von mat ze
Eine Frage bleibt allerdings noch: Wieso kann z.B. nicht $\begin{eqnarray*} <D^{13}nachD^{14}> \end{eqnarray*}$ ein Erzeuger eines Normalteilers sein?

Da kann ich nur meinerseits die Frage stellen, was $\begin{eqnarray*} <D^{13}nachD^{14}> \end{eqnarray*}$ denn sein soll? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von mat ze
Oder auch die Verknüpfung einer Spiegelung mit einer Drehung. Ich meine damit, dass es ja auch Untergruppen gibt, die von mehr als einem Element erzeugt werden.

Sagt dir eigentlich

$\begin{eqnarray*} R \circ R=R, \ R \circ S=S \circ R=S, \ S \circ S=R \end{eqnarray*}$

was (R=Rotation, S=Spiegelung) ?

28.12.2012, 11:03

mat ze

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$\begin{eqnarray*} R \circ R=R^{2} \end{eqnarray*}$ , daher hab ich Schwierigkeiten. Man könnte dies ja immer weiterführen...

die von 2 Elementen erzeugte Untergruppe könnte ja auch wie folgt aussehen:
< $\begin{eqnarray*} D \circ S,D^{2} \circ S \end{eqnarray*}$ > oder
< $\begin{eqnarray*} S,D^{13} \circ S \end{eqnarray*}$ > oder so weiter...

28.12.2012, 11:14

Mystic

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RE: Normalteiler der Diedergruppe D15
Bitte halte dich an dich doch an

Zitat:

Original von jester.
Ein Tipp, wie man das angehen kann: es ist $\begin{eqnarray*} G=\langle r,s ~|~ r^n, ~s^2, ~ srs=r^{-1}\rangle \end{eqnarray*}$ .
Nun ist sicher $\begin{eqnarray*} \langle r\rangle \end{eqnarray*}$ und jede Untergruppe darin ein Normalteiler von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .
Jedes Element in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist von der Form $\begin{eqnarray*} r^i \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} sr^i \end{eqnarray*}$ und jedes Element, das nicht in $\begin{eqnarray*} \langle r \rangle \end{eqnarray*}$ liegt, hat Ordnung 2. Damit kommt man dann darauf, dass man mit $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \langle r\rangle \end{eqnarray*}$ und seinen sämtichen Untegruppen bereits alle Normalteiler vorliegen hat.

auch was die Bezeichnungen betrifft, mit der kleinen Korrektur

$\begin{eqnarray*} G=\langle r,s ~|~ r^n=s^2=e, ~ srs=r^{-1}\rangle \end{eqnarray*}$

wobei r eine Rotation um den Winkel 360/n und s irgendeine Spiegelung ist...

Zitat:

Original von mat ze
$\begin{eqnarray*} R \circ R=R^{2} \end{eqnarray*}$ , daher hab ich Schwierigkeiten. Man könnte dies ja immer weiterführen...

$\begin{eqnarray*} R \circ R=R \end{eqnarray*}$ heißt bei mir einfach, dass die Verknüpfung zweier Rotationen wieder eine Rotation (natürlich i.allg. nicht die gleiche!) ist...

28.12.2012, 11:47

mat ze

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RE: Normalteiler der Diedergruppe D15
Das versteh ich ja schon, ich habe allerdings Probleme mit den Untergruppen, die von mehr als einem Element erzeugt werden.
Um es mit den Bezeichnungen in deinem Post zu beschreiben:
< $\begin{eqnarray*} r \circ s,r^{2} \circ s \end{eqnarray*}$ > ,...
Ich komme niemals dahin alle Normalteiler zu bestimmen etwa durch Angabe von Erzeugern, wie es verlangt ist in der Aufgabenstellung...

28.12.2012, 12:47

Mystic

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RE: Normalteiler der Diedergruppe D15

Zitat:

Original von mat ze
Um es mit den Bezeichnungen in deinem Post zu beschreiben:
< $\begin{eqnarray*} r \circ s,r^{2} \circ s \end{eqnarray*}$ > ,...

Das sind NICHT(!!!) meine Bezeichnungen... unglücklich

unglücklich

Ich habe das Symbol $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ oben in einem ganz anderen Zusammenhang verwendet... Ich hätte dafür einfach

< $\begin{eqnarray*} rs,r^2s \end{eqnarray*}$ >

geschrieben, denn wir rechnen ja einer Gruppe mit einer multiplikativ geschriebenen Verknüpfung...

Zitat:

Original von mat ze
Ich komme niemals dahin alle Normalteiler zu bestimmen etwa durch Angabe von Erzeugern, wie es verlangt ist in der Aufgabenstellung...

Ja, weil du schon eine Stufe vorher scheiterst und dir folgende Punkte nicht wirklich überlegt hast:

1. Jedes Element der $\begin{eqnarray*} D_{15} \end{eqnarray*}$ besitzt eine eindeutige Darstellung der Form

$\begin{eqnarray*} r^i \text{ oder } r^is, \quad i=0,1,2,\ldots,14 \end{eqnarray*}$

mit den oben festgelegten Bedeutungen von r und s...

2. Zwei Elemente beispielsweise der Form $\begin{eqnarray*} r^j s \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r^ks \end{eqnarray*}$ werden in folgender Weise miteinander verknüpft:

$\begin{eqnarray*} (r^js)(r^ks)=r^j(sr^ks)=r^j r^{-k}=r^{(j-k) \mod 15} \end{eqnarray*}$

Falls du dir auch die anderen Fällen so durchrechnest, ist die Arithmetik in der Gruppe vollkommen damit festgelegt und du kannst dir alles ausrechnen, was dein Herz begehrt... Versuch's einfach mal... Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.12.2012, 14:25

mat ze

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RE: Normalteiler der Diedergruppe D15
Ok, wie wäre es mit folgenden Überlegungen:
$\begin{eqnarray*} r^{i}r^{j}=r^{i+j mod 15} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (r^{i}s)(r^{j}s)=r^{i-j mod 15} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r^{i}(r^{j}s)=r^{i+j mod 15}s \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (r^{i}s)r^{j}=r^{i-j mod 15}s \end{eqnarray*}$
Ich hoffe ich habe es nun richtig verstanden...

28.12.2012, 16:16

Mystic

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RE: Normalteiler der Diedergruppe D15

Zitat:

Original von mat ze
Ok, wie wäre es mit folgenden Überlegungen:
$\begin{eqnarray*} r^{i}r^{j}=r^{i+j mod 15} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (r^{i}s)(r^{j}s)=r^{i-j mod 15} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r^{i}(r^{j}s)=r^{i+j mod 15}s \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (r^{i}s)r^{j}=r^{i-j mod 15}s \end{eqnarray*}$
Ich hoffe ich habe es nun richtig verstanden...

Ok, und nun versuch mal als Erstes zu beweisen, dass Rotationsuntergruppen (=Untergruppen, die nur aus Rotationen bestehen) Normalteiler, d.h., gegenüber Konjugation mit

$\begin{eqnarray*} r^i \text{ bzw. } r^is \quad i=0,1,\ldots,14 \end{eqnarray*}$

invariant sind...

30.12.2012, 17:47

mat ze

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Wir hatten einen Satz, den man vllt jetzt anwenden könnte:
Untergruppe U≠Dn von Dn, n ungerade,ist Normalteiler⇔U⊂Ln⊂Dn
Dabei ist Dn die Diedergruppe (hier D15) und Rn die Rotationsgruppe. Also hätte ich das ja schon einmal gezeigt, richtig?

Wenn das der falsche Ansatz wäre, müsste ich zeigen, dass ∀u∈U gilt: s◦u◦s und r◦u◦r^(−1)∈U. Das wäre ja der Fall, da r◦r^i◦r^(−1)=r^(-i)=r^(15-i)∈U, da Untergruppen das Inverse erhalten und s◦r^i◦s=r^(15-i)∈U (analog)

Was fehlt denn jetzt wohl noch?

30.12.2012, 17:54

Mystic

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Zitat:

Original von mat ze
Was fehlt denn jetzt wohl noch?

Die Dechiffrierung deines Textes...

30.12.2012, 17:57

mat ze

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RE: Normalteiler der Diedergruppe D15
Sorry, da ist was falsch gelaufen mit den Zeichen. Also nochmal...Laut einem Satz aus der Vorlesung muss ich folgendes zeigen:

Ich muss ja für r^i zeigen, dass
(1) s*r^i*s aus der Untergruppe ist. s*r^i*s=r^(-i). Das ist in der Untergruppe, da Inverse beibehalten werden.
(2) r*r^i*r^(-1)=r^(-i). Das ist ebenfalls in der Untergruppe.

Und ich muss für r^i*s das gleiche zeigen:
(1) s*r^i*s*s=s*r^i=r^(-i)*s. Das ist in der Untergruppe, weil es bildlich eine Spiegelung ergeben würde.
(2) r*r^i*s*r^(-1)=r*s*r^(-i-1)=r*r^(i+1)*s=r^(i+2)*s. Das ist ebenfalls in der Untergruppe.

Hab ich das richtig verstanden?

Also sind die Rotationsgruppen Normalteiler.

30.12.2012, 18:11

Mystic

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RE: Normalteiler der Diedergruppe D15

Zitat:

Original von mat ze
(2) r*r^i*r^(-1)=r^(-i). Das ist ebenfalls in der Untergruppe.

Die Rechnung dazu ist fehlerhaft...

Zitat:

Original von mat ze
Hab ich das richtig verstanden?

Nein, hast du leider nicht... Sei U eine Untergruppe, welche nur aus Rotationen besteht, dann gilt

$\begin{eqnarray*} r^i \in U \Rightarrow \begin{cases} r^jr^i r^{-j} =r^i \in U \\ (r^js)r^i (r^js)^{-1}=r^j(sr^is)r^{-j}=r^jr^{-i}r^{-j}=r^{-i} \in U \end{cases} \quad (j=0,1,\dots,14) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, du siehst den kleinen, aber feinen Unterschied zu dem, was du geschrieben hast...

30.12.2012, 18:18

mat ze

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RE: Normalteiler der Diedergruppe D15
Eingesehen smile

smile

Fehlen mir denn jetzt noch Normalteiler?

30.12.2012, 18:25

Mystic

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RE: Normalteiler der Diedergruppe D15
Hm, ich hätte eigentlich gedacht, die nächste Frage liegt auf der Hand, nämlich: Was passiert, wenn U Normalteiler ist und eine Spiegelung, d.h., ein Element der Form

$\begin{eqnarray*} r^i s \quad (i=0,1,\ldots,14) \end{eqnarray*}$

enthält?...

Die Beantwortung sollte doch auf ähnliche Weise machbar sein, indem man sich einfach überlegt, welche anderen Elemente dann automatisch auch in U liegen müssen aufgrund der Abgeschlossenheit bez. Konjugation...

30.12.2012, 18:30

mat ze

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RE: Normalteiler der Diedergruppe D15
Ich dachte wir haben jetzt bewiesen, dass U ein Normalteiler ist.... Ich find die Aufgabe ziemlich kompliziert...

30.12.2012, 18:32

Mystic

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RE: Normalteiler der Diedergruppe D15
U ist jetzt keine Untergruppe mehr, welche nur aus Rotationen besteht, schon vergessen? geschockt

geschockt

Edit: Wenn dir das "Umschalten" Probleme macht, dann nimm halt einen neuen Buchstaben für diese Untergruppe, z.B. N, da sie ja jetzt für diesen Aufgabenteil als Normalteiler vorausgesetzt wird...

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