Ergebnis einer Faltung mit Dirac

23.12.2012, 12:43

ketchup66

Ergebnis einer Faltung mit Dirac

Hallo,

wie lautet das Ergebnis dieser Faltung?

$\begin{eqnarray*} T*sinc(2Tf)e^{-j*2*pi*f*T} \times dirac(f+1/(2T)) e^{-j*2*pi*f*T} \end{eqnarray*}$

Ich kann die Ausblendeigenschaft nutzen, sodass das Argument des sinc zu 2Tf+1 wird.
Was geschieht jedoch mit dem e^-Ausdruck beim Dirac?

Danke

23.12.2012, 17:12

zyko

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RE: Ergebnis einer Faltung mit Dirac
Beachte, dass
$\begin{eqnarray*} \delta(x)=\left\{0 \text{ falls } x\neq 0 \right\} \end{eqnarray*}$
aber
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx=1 \end{eqnarray*}$ .
Welche Werte des Arguments der Diracfunktion liefern überhaupt einen Beitrag bei deiner Faltung? Nutze diese Information!

23.12.2012, 17:24

ketchup66

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RE: Ergebnis einer Faltung mit Dirac
Hi zyko! Nochmals Vielen Dank, Du hilfst mir hier ja richtig weiter!

Zitat:

Welche Werte des Arguments der Diracfunktion liefern überhaupt einen Beitrag bei deiner Faltung? Nutze diese Information!

Für dirac(f+1/(2T)) tritt der dirac bei f=-1/(2T) auf.
Nur an dieser Stelle liefert er einen Beitrag zu meiner Faltung.

Deswegen kann ich schreiben:

$\begin{eqnarray*} T*sinc(2T*(f+\frac{1}{2T}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =T*sinc(2Tf + 1) \end{eqnarray*}$

Nur kann ich mir nicht vorstellen, was ein modulierter Dirac (dirac(f+1/(2T)) * e^(-J*2*pi*f*t)) hier für mich bedeutet.
Der Dirac ist durch sein Argument (f+1/(2T)) schon an die Stelle f=-1/(2T) verschoben.
Unter der Modulation mit dem e^ kann ich mir im Bezug auf den Dirac absoulut nichts vorstellen.. traurig

Spielt das überhaupt eine Rolle für den Beitrag zur Faltung?
Wie würde das aussehen, wenn der Ausdruck e^ beim Sinc ein anderer wäre als beim dirac? Spielt das eine rolle?

Vielen Dank!!!
Gott

ketchup

23.12.2012, 17:39

zyko

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RE: Ergebnis einer Faltung mit Dirac

Zitat:

Original von ketchup66

Nur kann ich mir nicht vorstellen, was ein modulierter Dirac $\begin{eqnarray*} (dirac(f+1/(2T)) * e^{-j*2*pi*f*t}) \end{eqnarray*}$ hier für mich bedeutet.

ketchup

Ersetze hierin ebenfalls das f. In der ersten Fragestellung stand hier T jetzt t: Was ist richtig?

Da ich nicht unbedingt der Experte für diese Fragestellung bin, habe ich Angst dir etwas Falsches zu schreiben.
Normalerweise verstehe ich unter Faltung eine Intergration über die gesamte reelle Achse: Was ist bei dir die Integrationsvariable T oder t?
Kannst du das Faltungsintegral hinschreiben?

23.12.2012, 18:10

ketchup66

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RE: Ergebnis einer Faltung mit Dirac
Hallo,

der Ausdruck aus der Angabe mit T ist richtig.

Ausblendeigenschaft angewendet:
$\begin{eqnarray*} T*sinc(2Tf+1)*e^{-j*2*\pi *f*T} *e^{-j*2*\pi*f *T} \end{eqnarray*}$

Das Faltungsintegral schreibe ich eigentlich nie hin, da mir die Schreibweise (meist mit Tau) nicht wirklich was sagt; ich weiß nur dass die funktionen durch dieses Tau übereinander geschoben werden. Letztenendes zählt denk ich die gemeinsame Fläche der gefalteten Funktionen, was ja beim dirac genau dem einen Wert entspricht.

Zitat:

Was ist bei dir die Integrationsvariable T oder t?

Die Integrationsvariable ist f, alles spielt sich auf der f-Achse ab. Es geht insgesamt um die Berechnung der Fouriertransformierten X(f); nur wenn ich hier so ne lange Aufgabe poste verringert sich schnell die Antwortwahrscheinlichkeit, weshalb ich versuche, mich kurz zu halten Big Laugh

Zitat:

Ersetze hierin ebenfalls das f

Wenn ich in einem der beiden e^ Ausdrücke nun f ersetze, habe ich mit f=1/(2T) noch e^-j*pi = -1, also einen Vorzeichenwechsel.

Nur warum sollte ich das f nur in einem der beiden Exponentialausdrücke ersetzen (so erhalte ich die Lösung)??

Musterlösung ist T*sinc(2Tf+1)*e^(-j*2*pi*f*T)

Gruß

23.12.2012, 18:15

ketchup66

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RE: Ergebnis einer Faltung mit Dirac
Die beiden Exponentialausdrücke könnte ich auch zusammenfassen zu:

$\begin{eqnarray*} e^{-j*4*\pi *f*T} \end{eqnarray*}$

Wenn ich dann für f=1/(2T) einsetze, steht da aber nur noch e^(-j*2*Pi).

24.12.2012, 12:50

zyko

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RE: Ergebnis einer Faltung mit Dirac
Mit $\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ meinst du die Faltungsmultiplikation.
Somit lautet das Faltungintegral:

$\begin{eqnarray*} T\cdot sinc(2Tf)e^{-j2\pi fT}\times \delta\left(f+\frac{1}{2T}\right)e^{-j2\pi fT}=<br /> \int_{-\infty}^{\infty} \! T\cdot sinc(2T\tau)e^{-j2\pi \tau T} \cdot \delta\left(f-\tau+\frac{1}{2T}\right)e^{-j2\pi (f-\tau)T}\, d\tau \end{eqnarray*}$ .
Der Integrand ist nur dann nicht 0, wenn
$\begin{eqnarray*} \left(f-\tau +\frac{1}{2T}\right)=0 \end{eqnarray*}$ ist. Löse diese nach $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ auf, setze in den Integranden ein. Der entstehende Ausdruck (ohne weitere Integration, s.a. Definition des Dirac) ist die Lösung, noch etwas zusammenfassen.

24.12.2012, 14:09

ketchup66

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RE: Ergebnis einer Faltung mit Dirac
Hi zyko, Vielen Dank für Deine Antwort.
Ich hab das mal probiert:

$\begin{eqnarray*} T*sinc(2Tf)*e^{-j*2*\pi *f*T}\times dirac(f+\frac{1}{2T})*e^{-j*2*\pi *f*T} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{- \infty} ^\infty \! T*sinc(2T\tau)*e^{-j*2*\pi *\tau*T}* dirac(f-\tau+\frac{1}{2T})*e^{-j*2*\pi *(f-\tau)*T} \, d\tau \end{eqnarray*}$

Integrand ist nur dann ungleich 0, wenn
$\begin{eqnarray*} f-\tau + \frac{1}{2T} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tau = f + \frac{1}{2T} \end{eqnarray*}$

Ausblendeigenschaft:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty} ^\infty \! f(x)*dirac(a-x) \, dx = f(a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\tau)=T*sinc(2T*\tau)*e^{-j*2*\pi *\tau*T}*e^{-j*2*\pi *(f-\tau)T} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\tau)=T*sinc(2T*(f+\frac{1}{2T} )*e^{-j*2*\pi *(f+\frac{1}{2T} )*T}*e^{-j*2*\pi *(f-f-\frac{1}{2T} )T} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\tau)=T*sinc(2Tf+1) )*e^{-j*2*\pi T*f}*e^{-j\pi} *e^{+j\pi} \end{eqnarray*}$

Da e^-j*pi und e^+j*pi jeweils -1 ergeben heben sie sich auf.
Stehen bleibt die Lösung!

Aber jetzt noch eine Frage zum Ansatz:
In welchen der beiden Terme ersetze ich den Integrand f durch Tau; welchen durch f-Tau?
Ist das evtl. egal?

Vielen Dank! Gott

25.12.2012, 10:25

zyko

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RE: Ergebnis einer Faltung mit Dirac
Man kann $\begin{eqnarray*} \tau \text{ bzw. } f-\tau \end{eqnarray*}$ beliebig einsetzen, da das Integral von $\begin{eqnarray*} -\infty \text{ bis } +\infty \end{eqnarray*}$ läuft, genügt eine einfach Substitution der Integrationsvariablen, um das eine Integral in das andere überzuführen.

25.12.2012, 10:49

ketchup66

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RE: Ergebnis einer Faltung mit Dirac
ok, Vielen Dank!

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