Umkehrfunktion und Probe

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23.12.2012, 15:08	bits10	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrfunktion und Probe Hallo Ich habe ein Problem beim Aufstellen der Umkehrfunktion. Gegeben ist folgende Funktion: $\begin{eqnarray} f_{(x)}=\sqrt{x} -x \end{eqnarray}$ mit f: [1,4] --> [-2,0] bei der Umkehrfunktion dreht sich ja Definitions- und Wertebereich um. Also ist dann f: [-2,0] --> [1,4] relevant. Um die Umkehrfunktion aufzustellen vertauscht man ja x und y. So wird aus der Funktion $\begin{eqnarray} x=\sqrt{y} -y \end{eqnarray}$ jetzt soll das auf y umgestellt werden hab das jetzt alles mal quadriert $\begin{eqnarray} x^2=(\sqrt{y}-y)^2 \end{eqnarray}$ rechts ist das ja die zweite Binomische Formel $\begin{eqnarray} x^2=y-(2\sqrt{y}y)+y^2 \end{eqnarray}$ hier komme ich nicht weiter. Was ergibt das mittlere Glied? $\begin{eqnarray} 2\sqrt{y}y \end{eqnarray}$ die Umkehrfunktion sollte am Ende so lauten: $\begin{eqnarray} f^{-1}(x)=0,5(-2x+1+\sqrt{-4x+1}) \end{eqnarray}$
23.12.2012, 15:23	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach dem Vertauschen der Variablen hast du die quadratische Gleichung $\begin{eqnarray} y - \sqrt y + x = 0 \end{eqnarray}$ zu lösen. Substituiere! Beachte, dass die quadratische Gleichung zwei Lösungen hat (nur mit dem positven Vorzeichen der Wurzel wird weitergerechnet) lösen.
23.12.2012, 23:37	bits10	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke aber das versteh ich nicht genau. War das so wie ich es gemacht hab nicht richtig?
23.12.2012, 23:52	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich nicht - oder sagen wir, nicht zielführend. Habe ich dir nicht deutlich geschrieben, dass du eine quadratische Gleichung lösen musst, um y zu bekommen? Setze $\begin{eqnarray} t = \sqrt y \end{eqnarray}$ . Wie wird dann die quadratische Gleichung in t aussehen? Ist t berechnet, folgt daraus ja auch gleich y ... mY+
24.12.2012, 00:06	bits10	Auf diesen Beitrag antworten »
ok das habe ich gemacht $\begin{eqnarray} y-\sqrt{y}+x=0 \end{eqnarray}$ nach der Substitution sieht das dann so aus $\begin{eqnarray} t^2-t+x=0 \end{eqnarray}$ dann kommt die p,q-Formel $\begin{eqnarray} t_{1,2}=0,5\pm \sqrt{(0,5)^2-x} \end{eqnarray}$ wie geht es jetzt am besten weiter?
24.12.2012, 01:07	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, einfach zurücksubstituieren! Aus dieser folgt doch $\begin{eqnarray} y = t^2 \end{eqnarray}$
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24.12.2012, 02:22	bits10	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist mir nicht ganz klar. das würde dann ja so aussehen? $\begin{eqnarray} \sqrt{y}=0,5+\sqrt{(0,5)^2-x} \end{eqnarray}$ man könnte es noch quadrieren $\begin{eqnarray} y=(0,5)^2+(0,5)^2-x \end{eqnarray}$ ist aber alles noch nicht diegewünschte Lösung. Was mach ich falsch?
24.12.2012, 09:50	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte es nicht, sondern MUSS es quadrieren ja! Aber dann richtig! Du hast leider einen (beliebten) Fehler gemacht, das Quadrat eines Binoms funktioniert anders. $\begin{eqnarray} (a + b)^2 \neq a^2 + b^2 \end{eqnarray}$ mY+
24.12.2012, 13:23	bits10	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke das bringt mich schon ein Schritt weiter. hab das jetzt mal nach der binomischen Formel quadriert und ausmultipliziert. Bin mir nur beim mittleren Glied unsicher Die binomische formel sieht ja so aus $\begin{eqnarray} y=(0,5)^2+(20,5\sqrt{(0,5)^2-x})+(0,5)^2-x \end{eqnarray}$ das mittlere Glied lässt sich jetzt ja noch vereinfachen $\begin{eqnarray} y=(0,5)^2+(\sqrt{(0,5)^2-x})+(0,5)^2-x \end{eqnarray}$ ist das soweit richtig? Was ist der nächste Schritt um auf die richtige Lösung zukommen?
03.01.2013, 00:47	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt so weit, nur ist noch etwas zusammenzufassen und umzuformen: $\begin{eqnarray} y = 0,5 - x + \sqrt{0.25 - x} \end{eqnarray}$ .. würd' ich so stehen lassen. Dies ist auch identisch mit der Musterlösung; diese kannst du dahingehend umformen! mY+

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