Integralrechnung

23.12.2012, 16:03

int25

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Integralrechnung

Bestimmen sie das Integral mittels Substitution:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{dx}{\sqrt{-x^2+2x+1} } \, dx =<br /> \int_a^b \! \frac{dx}{\sqrt{(-x+1)^2} } \, dx = \int_a^b \! \frac{dx}{(-x+1)} \, \end{eqnarray*}$

Ich hab meinen ANsatz auch direkt mit gepostet , aber jetzt komme ich irgendwie nicht mehr weiter.

Wäre schön wenn mir jemand helfen könnte.

23.12.2012, 16:14

Mulder

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RE: Integralrechnung

Zitat:

Original von int25
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{dx}{\sqrt{-x^2+2x+1} } \, dx = \int_a^b \! \frac{dx}{\sqrt{(-x+1)^2} } \, dx \end{eqnarray*}$

Das ist schon falsch.

Schau dir das unter der Wurzel nochmal genauer an. Richtige quadratische Ergänzung durchführen, dann solltest du es auf ein Grundintegral zurückführen können.

23.12.2012, 16:21

int25

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Ist es so richtig?

23.12.2012, 16:26

Mulder

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Nein. Setz doch mal z.B. x=1 ein.

23.12.2012, 16:30

int25

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Ich verstehe nicht was ich genau falsch mache?

Wie mache ich das genau richtig?

23.12.2012, 16:36

Mulder

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RE: Integralrechnung
Das ist aber eigentlich schon Stoff der Unterstufe. Quadratisch ergänzen!

$\begin{eqnarray*} -x^2+2x+1 = 2-(1-x)^2 \end{eqnarray*}$

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23.12.2012, 17:15

int25

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Ok dann hätte ich dieses Integral, aber wie gehe ich weiter vor?

23.12.2012, 17:17

Mulder

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Du darfst doch so nicht die Wurzel ziehen! geschockt

geschockt

Schau dir mal die Ableitung des Arkussinus an. Das sollte dich auf eine geeignete Substitution führen.

23.12.2012, 18:03

int25

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arcsin abgeleitet = 1/ Wurzel aus 1-x^2

Aber da steht ja noch ein 2 - noch im nenner stehen .

Wie mache ich das jetzt genau?

23.12.2012, 18:47

int25

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Weiss jemand wie ich genau Vorgehen könnte.

23.12.2012, 19:16

original

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Wink

klammere doch im Nenner den Faktor sqrt(2) aus ..

.

23.12.2012, 19:42

int25

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Oh man ich weiss das klingt blöd aber ich verstehe nicht so ganz wie ich das im nenner mahen soll.

Es steht doch 2-1-x^2?

WIe soll das gehen?

23.12.2012, 19:46

original

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verwirrt

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{dx}{\sqrt{-x^2+2x+1} } \ = \frac{1}{\sqrt{2} }\cdot \int \! \frac{dx}{ \sqrt{\left[ 1- \left(\frac{1-x}{\sqrt{2} }\right) ^2\right] } } \ \end{eqnarray*}$

.

23.12.2012, 19:55

int25

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Ich glaube das ist falsch substituiert aber ich poste meinen Ansatz.

Stimmts?

23.12.2012, 20:08

original

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.

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{\sqrt{2} }\cdot \int \! \frac{dx}{ \sqrt{\left[ 1- \left(\frac{1-x}{\sqrt{2} }\right) ^2\right] } } \ \end{eqnarray*}$
richtig substituiert ->

$\begin{eqnarray*} u= \frac{1-x}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$

aber dann halt leider falsch weitergemacht

versuch es neu damit:

$\begin{eqnarray*} dx= - \sqrt{2} \cdot du \end{eqnarray*}$

->

$\begin{eqnarray*} I = - \int \! \frac{du}{\sqrt{1-u^2} } \ \end{eqnarray*}$

.

23.12.2012, 20:44

int25

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Ich verstehe nicht so genau wie du auf dein dx = -wurzel 2 *du

kommst.

Das ist so schwer zu versteheen.

23.12.2012, 21:06

int25

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Kannst du mir das vielleicht ein wenig genauer erklären?

23.12.2012, 21:06

original

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wenn du substituierst

$\begin{eqnarray*} u= \frac{1-x}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$

dann musst du auch das Differential auf die neue Variable umrechnen
.. das ist beinahe mathematischer Kindergarten?

also berechne die Ableitung u' = du/dx , dann bekommst du daraus dann

$\begin{eqnarray*} dx= - \sqrt{2} \cdot du \end{eqnarray*}$

usw, usw..

bestimmt kommst du selbst nun auch zum Ergebnis

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{dx}{\sqrt{-x^2+2x+1} } \ = - arcsin\left(\frac{1-x}{\sqrt{2} }\right) + c \end{eqnarray*}$

ok?

23.12.2012, 21:13

int25

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1-x/ wurzel aus 2 .

Muss man das nicht mit dem quotientenkriterium ableiten?

23.12.2012, 21:20

original

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Zitat:

Original von int25
1-x/ wurzel aus 2 .

Muss man das nicht mit dem quotientenkriterium ableiten?

Gott

wenn du willst, gehts auch damit ..

aber bei dem Beispiel hast du eine Konstante im Nenner..

schreib also den Term als Summe a+b*x , ..( a=? , b=?)
dann wirst du sicher eine Idee haben, wie man
sowas auch noch ableiten könnte...
.

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