Taylorreihe - Seite 2

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vin97 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Koeffizienten von b sind .
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vin97
Die Koeffizienten von b sind .


Aber die allgemeine Taylorformel lautet doch:



Wieso sind denn Koeffizienten von b auf einmal



ist es doch wieso ist es jetzt so wie du es gesagt hast? verwirrt
vin97 Auf diesen Beitrag antworten »

Als Entwicklungspunkt () habe ich 0 gewählt (meistens vereinfacht das nämlich die ganze Rechnung um einiges).
Nach etwas Überlegen erhält man:

Die Taylorreihe (mit Entwicklungspunkt 0) ist daher:

Deshalb sind die Koeffizienten ()
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vin97
Als Entwicklungspunkt () habe ich 0 gewählt (meistens vereinfacht das nämlich die ganze Rechnung um einiges).
Nach etwas Überlegen erhält man:

Die Taylorreihe (mit Entwicklungspunkt 0) ist daher:

Deshalb sind die Koeffizienten ()


Den Entwicklungspunkt kann man sich doch nicht frei wählen?
Wie das zustande kommt verstehe ich einfach nicht, so sehr ich mich bemühe. Ich dachte die allgemeine Taylorformel ist so wie ich sie vorhin gepostet habe. Aber wie zum Guckuck kommt denn das

Also das (k+1)! Woher kommst das unglücklich traurig Danke vielmals, obwohl es schmerzt, dass ich wieder nix auf die Reihe bekommen habe.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

In diesem Fall ist der Entwickulugspukt egal...

Zu der Formel:
Schreib dir mal die erste Baleitung von f(0) hin, dann die 2. , dann die 3. ... Dann siehst das mit der Faklutät. Das kann man auch logisch begründen.

Auch wenn du's nicht sofort auf die Reihe bekommst, ist das egal.. Irgendwann kannst du's ... Wenn du es erst mal verstanden hast... Wink
vin97 Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, den Entwicklungspunkt darf man frei wählen, solange die Funktion an dieser Stelle unendlich oft differenzierbar ist.

Der Exponent wird doch beim Ableiten immer als Faktor vor die Funktion gezogen. D.h. du hast "vorne" das Produkt aus allen Exponenten die bis zur aktuellen Ableitung existiert haben (weil ein konstanter Faktor ja beim Ableiten bestehen bleibt). Da alle Exponenten negativ sind, wächselt das Vorzeichen dieses Produktes ständig. Dadurch kommt das zu Stande, doch das scheinst du ja schon verstanden zu haben. Da du die Vorzeichen der Exponenten nun "verarbeitet/abgehandelt" hast, musst du dir nur noch über ihren Betrag Gedanken machen. Und der wird beim Ableiten immer um 1 vergrößert.
D.h. der Betrag dieses Produktes aus allen Exponenten die bis zur aktuellen Ableitung existiert haben, besteht aus allen natürlichen Zahlen von 2 bis zum Betrag des Exponenten der aktuellen Ableitung.
Das ist genau die Fakultät des Betrags des Exponenten der aktuellen Ableitung.
Also ist dieses Produkt (k+1 und nicht nur k, weil der "erste Exponent" -2 und nicht -1 ist).
Die inneren Ableitungen sind nicht relevant, da sie immer 1 sind und der Teil mit ist, wenn man den Entwicklungspunkt 0 wählt, auch irrelevant, da er auch immer 1 ist.

Das wäre die logische Begründung. Mit etwas Übung erkennt man das direkt, ohne mehrere Ableitungen zu bilden. Ist zwar schwierig zu erklären, aber wenn man erstmal ein Gefühl dafür hat, sieht man das auch irgendwann.

P.S.: c) und d) sind ziemlich einfach. Benutze dafür einfach die Taylorreihe von und setze ein. Da musst du gar nicht überlegen, wie sich die Ableitungen verhalten (auch wenn das ebenfalls nicht so schwierig wäre).
 
 
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Hm Danke also ich versuche einfach statt einfach das andere zu nehmen. Danke Leute. Man schreibt sich guten Rutsch.
vin97 Auf diesen Beitrag antworten »

Gleichfalls!
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Nan schreibt sich hoffentlich morgen. Bis dann. Danke Euch Mit Zunge
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor ihr weitermacht, würde ich gerne nochmal die Aufgabenstellung zitieren:
Zitat:
Hilfe: Die Rechnungen vereinfachen sich, wenn Sie die Funktionen auf Ausdrücke zurückführen deren Taylorreihen Ihnen bekannt sind.
vin97 Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, das bringt was bei a,c und d. Aber welche Taylorreihe sollte man denn bei b anwenden?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht ist ja die von oder bekannt. Bei den anderen ist der Tipp jedenfalls noch hilfreicher.
vin97 Auf diesen Beitrag antworten »

Klar sind die bekannt (geometrische Reihe), allerdings darf man die nur für verwenden und die Rechnung ist nicht gerade schön!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, die vom ist vielleicht unbekannt und es ist ja nicht automatisch klar, dass die geoimetrische auch die Taylor-Reihe ist.

Der Konvergenzradius passt doch wunderbar zu der Reihe hier, wenn man alles um Null entwickelt.
Und wieso ist die Rechnung denn unschön?
vin97 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, die Taylorreihe konvergiert sowieso nur für , da
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube nicht, dass diese komische Schreibweise hier irgendetwas vereinfacht verwirrt
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Happy New Year Prost but back to the roots! verwirrt

Die Koeffizienten von b sollen ja das k verwirrt mich jetzt ist das jetzt das n oder das x oder beides?

Wie lautet dann die allgemeine Taylorformel für b):

erscheint mir noch

am Logischsten aber vielleicht irre ich mich da?
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Die ist bei jeder Funktion gelich...
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Dann verstehe ich es irgendwie immer noch nicht unglücklich
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst immer noch eine Formel für .

Schreibe dazu mal die 1. Ab,eitung von f(0) hin. Dann die 2. Dann die 3. ...
Fällt dir dann etwas auf?
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe
b)





















So was auffällt ist, dass das Minuszeichen hin- und herwechselt und der Exponent im Nenner immer um einen größer wird. Außerdem haben wir im Zähler die Fakultät stehen. Also für n gegegn unendlich.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe
Wenn du die Vorzeichen nicht betrachtest, fällt dir dann etwas auf?
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe
Ja das es n! im Zähler ist.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe
Nein.
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe
Dann müsste es irgendwie so aussehen
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe
Halt! Nicht ganz. 3! Ist nicht 24. Aber (3+1)! ist 24. es ist (n+1)!.
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe
hm aber das passt doch 0!=1 1!=1 2!=2 3!=6 4!=24 5!=120 ? verwirrt
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe
Nein, dann müsste 1! = 2 sein. Das ist aber falsch.
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe
Hm verwirrt naja wenn man das Nullte Glied mitbetrachtet, weiß nicht wie es erklären soll. Naja und jetzt? (n+1)! also?
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe
Ja, es ist (n+1)!. Denn bei der 0. Ableitung ist es 1; bei der 2. Ableitung 2( das ungleich 1! )....
Jetzt noch das Vorzeichen...
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe
Also das wäre jetzt die Formel für unser Und nun weiter vorgehen wie bei a) ?
vin97 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathemathemathe
Ja, es ist (n+1)!. Denn bei der 0. Ableitung ist es 1; bei der 2. Ableitung 2( das ungleich 1! )....
Jetzt noch das Vorzeichen...

1.

Jetzt musst du nur noch diese Formel für in die allgemeine Taylorreihe mit Entwicklungspunkt () 0 einsetzen, siehe:
Zitat:
Original von vin97
Als Entwicklungspunkt () habe ich 0 gewählt (meistens vereinfacht das nämlich die ganze Rechnung um einiges).
Nach etwas Überlegen erhält man:

Die Taylorreihe (mit Entwicklungspunkt 0) ist daher:

Deshalb sind die Koeffizienten ()

Ob du die Laufvariable nun k oder n nennst, ist vollkommen egal!
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Oki danke. Versuche das mal nachvollzuziehen.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe noch eine kleine Frage: in welchem Semester werden Taylorreihen eigentlich durchgenommen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Meist im ersten, also in Analysis 1. In Analysis 2 gibt es die nochmal mehrdimensional.
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vin97
Als Entwicklungspunkt () habe ich 0 gewählt (meistens vereinfacht das nämlich die ganze Rechnung um einiges).
Nach etwas Überlegen erhält man:

Die Taylorreihe (mit Entwicklungspunkt 0) ist daher:

Deshalb sind die Koeffizienten ()


Ich dachte die Taylorreihe ist nicht gleich f(x) ??? Wurde mir jedenfalls gesagt? Und wie kommt man auf den Schritt verstehe ich nicht. Irgendwie war die erste Aufgabe einfacher. Also einfach alles laut Formel berechnen und einsetzen und zeigen, dass Gleichheit gilt ?

Und wir machen Taylorreihen in mehreren Dimensionen im ersten Semester. Hab jedenfalls eine Aufgabe dazu. Zuerst muss aber erst diese hinbekommen.

Vielen Dank liebe Menschen smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alexandra Ardanex

Die Taylorreihe (mit Entwicklungspunkt 0) ist daher:



Kommst du denn bis hierhin mit?
vin97 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Taylorreihe ist natürlich nur dort gleich f, wo sie auch konvergiert.
Ich habe einfach nur die Taylorreihe in allgemeine Polynomform gebracht, um zu verdeutlichen was bei der Taylorreihe die Koeffizienten sind.
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Wir suchen ein und dieses ist halt anders, weil es nicht passt. Sehr lax mathematisch begründet Big Laugh

Das sieht halt so aus. Dies setzen wir dann ein und die Taylorreihe (mit Entwicklungspunkt 0) ist daher:

Deshalb sind die Koeffizienten () [/quote]

Was im zweiten und dritten Schritt passiert ist mir jedoch unklar unglücklich
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Kurze Bemerkung:
Zitat:
Original von vin97
Die Taylorreihe ist natürlich nur dort gleich f, wo sie auch konvergiert.

Aber auch dort muss sie nicht gleich der Funktion sein, aus der sie gebildet wurde.
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