Taylorreihe - Seite 3

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02.01.2013, 20:26

vin97

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Ja, ok, es gibt Ausnahmen Big Laugh

02.01.2013, 20:30

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Wir suchen ein $\begin{eqnarray*} f^{k}(0) \end{eqnarray*}$ und dieses ist halt anders, weil es nicht passt. Sehr lax mathematisch begründet Big Laugh

$\begin{eqnarray*} f^{k}(0)=(-1)^{k}(k+1)! \end{eqnarray*}$
Das sieht halt so aus. Dies setzen wir dann ein und die Taylorreihe (mit Entwicklungspunkt 0) ist daher:
$\begin{eqnarray*} T(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}(k+1)!}{k!} x^{k}=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}(k+1) x^{k}=\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k} \end{eqnarray*}$
Deshalb sind die Koeffizienten ( $\begin{eqnarray*} a_{k} \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} (-1)^{k}(k+1) \end{eqnarray*}$

Den Fehler habe ich unbewusst mitgenommen. Das habe ich mir gemerkt. Weiterhin weiß ich leider nicht was im zweiten und dritten Schritt geschieht ? unglücklich

02.01.2013, 21:01

lgrizu

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Zitat:

Original von Che Netzer
Aber auch dort muss sie nicht gleich der Funktion sein, aus der sie gebildet wurde.

Zitat:

Original von vin97
Ja, ok, es gibt Ausnahmen Big Laugh

Wobei die Ausnahmen hier eher die Regel sind.......

Aber nun zum Fragesteller:

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Wir suchen ein $\begin{eqnarray*} f^{k}(0) \end{eqnarray*}$ und dieses ist halt anders, weil es nicht passt. Sehr lax mathematisch begründet Big Laugh

$\begin{eqnarray*} f^{k}(0)=(-1)^{k}(k+1)! \end{eqnarray*}$
Das sieht halt so aus. Dies setzen wir dann ein und die Taylorreihe (mit Entwicklungspunkt 0) ist daher:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}(k+1)!}{k!} x^{k}=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}(k+1) x^{k}=\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k} \end{eqnarray*}$
Deshalb sind die Koeffizienten ( $\begin{eqnarray*} a_{k} \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} (-1)^{k}(k+1) \end{eqnarray*}$

Was im zweiten und dritten Schritt passiert ist mir jedoch unklar unglücklich

Wie bereits gesagt, ist dir denn klar, dass und warum die Taylorreihe folgendermaßen ausschaut:

$\begin{eqnarray*} T(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}(k+1)!}{k!} x^{k} \end{eqnarray*}$

Der Rest ist einfach nur Kürzen, es ist $\begin{eqnarray*} (k+1)!=(k+1) \cdot k! \end{eqnarray*}$ , also kann man $\begin{eqnarray*} k! \end{eqnarray*}$ kürzen und kommt auf $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}(k+1) x^{k} \end{eqnarray*}$

02.01.2013, 21:26

Alexandra Ardanex

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Zu 100% ist mir nicht klar wieso diese Taylorreihe so aussehen muss.

$\begin{eqnarray*} T(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}(k+1)!}{k!} x^{k} \end{eqnarray*}$

Und wie kommt man von dem Schritt zum letzten ? $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}(k+1) x^{k} \end{eqnarray*}$

Merci Augenzwinkern

02.01.2013, 21:36

lgrizu

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Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Zu 100% ist mir nicht klar wieso diese Taylorreihe so aussehen muss.

$\begin{eqnarray*} T(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}(k+1)!}{k!} x^{k} \end{eqnarray*}$

Alos noch mal Schritt für Schritt:

Schritt 1:
Ableitungen an dem Entwicklungspunkt bestimmen:

$\begin{eqnarray*} f'(x=0)=-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x=0)=6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x=0)=-24 \end{eqnarray*}$

usw.

Das bringt uns auf $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x=0)=(-1)^n \cdot (n+1)! \end{eqnarray*}$

Schritt 2:
einsetzen des Ergebnisses aus schritt 1 und des Entwicklungspunktes in die Taylorreihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \cdot (x-x_0)^n \end{eqnarray*}$

ergibt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot (n+1)!}{n!}(x-x_0)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot (n+1)!}{n!} \cdot x^n \end{eqnarray*}$

So weit klar? Wenn nicht, was ist unklar und lies dazu noch mal die entsprechenden Posts.

Danach kommt Kürzen, wie bereits geschildert.

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Und wie kommt man von dem Schritt zum letzten ? $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}(k+1) x^{k} \end{eqnarray*}$

Merci Augenzwinkern

Wieso denn zum letzten? Eine Potenzreihe ist eine Reihe der Form $\begin{eqnarray*} \sum a_n (x-x_0)^n \end{eqnarray*}$ dabei ist $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine Folge und die Taylorreihe ist so eine Potenzreihe. Ich empfehle dir dringenst, noch einmal in deinem Script oder geeigneten Lehrbüchern nachzuschauen, was es mit Folgen auf sich hat, dann Reihen und dann Funktionen und Potenzreihen um letztlich zur Potenzreihenentwicklung von Funktionen zu kommen

03.01.2013, 17:18

Alexandra Ardanex

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$\begin{eqnarray*} T(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n+1)!}{n!} x^{n} \end{eqnarray*}$ [/quote]

Alos noch mal Schritt für Schritt:

Schritt 1:
Ableitungen an dem Entwicklungspunkt bestimmen:

$\begin{eqnarray*} f'(x=0)=-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x=0)=6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x=0)=-24 \end{eqnarray*}$

usw.

Das bringt uns auf $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x=0)=(-1)^n \cdot (n+1)! \end{eqnarray*}$

Schritt 2:
einsetzen des Ergebnisses aus schritt 1 und des Entwicklungspunktes in die Taylorreihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \cdot (x-x_0)^n \end{eqnarray*}$

ergibt uns

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot (n+1)!}{n!}(x-x_0)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot (n+1)!}{n!} \cdot x^n. \end{eqnarray*}$
Und unsere Taylorreihe lautet:
$\begin{eqnarray*} T(x)=1+\frac{-2 \cdot x}{1!}+\frac{6 \cdot x^2}{2!}+\frac{-24 \cdot x^3}{3!}+\frac{120 \cdot x^4}{4!}...=1-2x+3x^2-4x^3+5x^4... \end{eqnarray*}$

smile

ja ?

03.01.2013, 17:47

Alexandra Ardanex

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RE: Taylorreihe
a) $\begin{eqnarray*} f(x)=a^{x}(erledigt) \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1+x)^{2}}(erledigt) \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} f(x)=sinh(x)=\frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x}) \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{-x^{2}} \end{eqnarray*}$

Zu c)

$\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} => f'(0)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} => f''(0)=0 \end{eqnarray*}$

usw. jetzt habe ich ein Problem eine Formel für mein $\begin{eqnarray*} f^n (x_0) \end{eqnarray*}$ zu finden unglücklich

03.01.2013, 17:50

Che Netzer

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Zitat:

Original von Che Netzer
Bevor ihr weitermacht, würde ich gerne nochmal die Aufgabenstellung zitieren:

Zitat:

Hilfe: Die Rechnungen vereinfachen sich, wenn Sie die Funktionen auf Ausdrücke zurückführen deren Taylorreihen Ihnen bekannt sind.

Du musst hier nicht ableiten (!)

03.01.2013, 18:04

Alexandra Ardanex

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Ahso hm danke. Stimmt denn die b) jetzt so? Wie muss ich denn dann weitermachen?

03.01.2013, 19:16

RavenOnJ

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wieso schreibst du eigentlich nicht statt "erledigt" die Lösung hin? Dann muss man sich das nicht mühsam zusammensuchen.

03.01.2013, 19:28

lgrizu

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Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Und unsere Taylorreihe lautet:
$\begin{eqnarray*} T(x)=1+\frac{-2 \cdot x}{1!}+\frac{6 \cdot x^2}{2!}+\frac{-24 \cdot x^3}{3!}+\frac{120 \cdot x^4}{4!}...=1-2x+3x^2-4x^3+5x^4... \end{eqnarray*}$

smile

ja ?

Na endlich....

Das ist richtig, aber warum du ständig versuchts, Summenzeichen zu vermeiden.....

Die Taylorreihe lautet:

$\begin{eqnarray*} T(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot (n+1) \cdot x^n \end{eqnarray*}$

Nun noch einmal die Lösungen:

a) $\begin{eqnarray*} T(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{\ln^n(a)}{n!} \cdot x^n \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} T(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot (n+1) \cdot x^n \end{eqnarray*}$

03.01.2013, 20:18

Alexandra Ardanex

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Die E-Funktion kann man ja als Taylorreihe so aufschreiben

$\begin{eqnarray*} e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \end{eqnarray*}$

Nun haben wir aber bei c)

$\begin{eqnarray*} f(x)=sinh(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}) \end{eqnarray*}$

Wie bringe ich dann die uns bekannte Taylorreihe ein?

03.01.2013, 20:54

lgrizu

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Wie wäre es mit einsetzen?

Also du setzt die Reihenentwicklung von $\begin{eqnarray*} \exp(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \exp(-x) \end{eqnarray*}$ in die Identität des sinh ein.

03.01.2013, 21:19

Alexandra Ardanex

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Dann muss man aber auch die Taylorreihen von $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ kennen

Lautet die so?

$\begin{eqnarray*} e^{-x }= \sum_{n=0}^\infty \frac{-x^n}{n!} = -1 - x + \frac{x^2}{2!} + \frac{-x^3}{3!} + \cdots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=sinh(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}) \end{eqnarray*}$

Dann hätten wir ja sowas:

$\begin{eqnarray*} T(x)=\frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{-x^n}{n!} = -1 - x + \frac{x^2}{2!} + \frac{-x^3}{3!} + \cdots-\frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \end{eqnarray*}$

03.01.2013, 21:44

Alexandra Ardanex

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Und das wäre alles? verwirrt

03.01.2013, 21:48

Che Netzer

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Das wäre nicht alles, das wäre falsch. Aber die richtige Lösung ist nicht viel komplizierter.
Dein $\begin{eqnarray*} -x^n \end{eqnarray*}$ soll wahrscheinlich $\begin{eqnarray*} (-x)^n=(-1)^nx^n \end{eqnarray*}$ bedeuten.
Jetzt schreibe nochmals sorgfältig $\begin{eqnarray*} \mathrm e^x-\mathrm e^{-x} \end{eqnarray*}$ in Reihendarstellung und fasse zusammen (danach teile durch Zwei).

03.01.2013, 22:12

Alexandra Ardanex

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$\begin{eqnarray*} e^{-x }= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-x)^n}{n!} = -1 - x + \frac{x^2}{2!} + \frac{-x^3}{3!} + \cdots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=sinh(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}) \end{eqnarray*}$

So?

$\begin{eqnarray*} T(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-x)^n}{n!} = -\frac{1}{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \frac{x^2}{2!} + \frac{1}{2} \frac{-x^3}{3!} + \cdots \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = -\frac{1}{2} - \frac{x}{2} -\frac{1}{2} \frac{x^2}{2!} - \frac{1}{2} \frac{x^3}{3!} + \cdots \end{eqnarray*}$

03.01.2013, 22:17

Che Netzer

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Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
$\begin{eqnarray*} e^{-x }= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-x)^n}{n!} = -1 - x + \frac{x^2}{2!} + \frac{-x^3}{3!} + \cdots \end{eqnarray*}$

Mir ist vollkommen unklar, woher das Minus vor der Eins herkommt und wieso du immer die ersten Summanden ausschreibst, anstatt es beim Summenzeichen zu belassen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} T(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-x)^n}{n!} = -\frac{1}{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \frac{x^2}{2!} + \frac{1}{2} \frac{-x^3}{3!} + \cdots \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = -\frac{1}{2} - \frac{x}{2} -\frac{1}{2} \frac{x^2}{2!} - \frac{1}{2} \frac{x^3}{3!} + \cdots \end{eqnarray*}$

Nein, keine einzelne Seite irgendeiner dieser Gleichung ist gleich irgendeiner anderen.

Schreibe $\begin{eqnarray*} \mathrm e^x-\mathrm e^{-x} \end{eqnarray*}$ mithilfe der Summenzeichen (schreibe diese nicht aus!) und subtrahiere die Reihen dann, indem du die einzelnen Summanden subtrahierst.

03.01.2013, 22:26

Alexandra Ardanex

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$\begin{eqnarray*} f(x)=sinh(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}) \end{eqnarray*}$

In der Form ?

$\begin{eqnarray*} T(x)=\frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-x)^n}{n!} -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

bzw. reinmulitpliziert:

$\begin{eqnarray*} T(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2} \frac{(-x)^n}{n!} -\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2}\frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

03.01.2013, 22:28

Che Netzer

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Das sieht schonmal besser aus als vorher. Das Minus ist nur an der falschen Stelle, d.h. wir betrachten eigentlich
$\begin{eqnarray*} \frac12\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}-\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^n}{n!}\right)\,. \end{eqnarray*}$
Jetzt kannst du beide Reihen zusammenziehen, nach dem Prinzip $\begin{eqnarray*} \sum a_n-\sum b_n=\sum(a_n-b_n) \end{eqnarray*}$ (für absolut konvergente Reihen).

03.01.2013, 22:52

Alexandra Ardanex

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Aber wieso ist das nicht gleich? Wenn wir doch die 0,5 hineinmultiplizieren tun wir es doch mit jedem Glied?

$\begin{eqnarray*} T(x)=\frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-x)^n}{n!} -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

hmm? Aber ok.

bzw. reinmulitpliziert:

$\begin{eqnarray*} \frac12\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}-\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^n}{n!}\right)\,. \end{eqnarray*}$
Jetzt kann mn beide Reihen zusammenziehen, nach dem Prinzip $\begin{eqnarray*} \sum a_n-\sum b_n=\sum(a_n-b_n) \end{eqnarray*}$ (für absolut konvergente Reihen)

Demnach müsste es dann so sein:

$\begin{eqnarray*} T(x)=\frac12\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}-\frac{(-1)^nx^n}{n!}\right)\,. \end{eqnarray*}$

Jetzt könnte man es noch auf den selben Bruchstrich schreiben.

03.01.2013, 22:56

Che Netzer

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Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
$\begin{eqnarray*} T(x)=\frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-x)^n}{n!} -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

Das entspräche $\begin{eqnarray*} \frac12\mathrm e^{-x}-\frac12\mathrm e^x \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

$\begin{eqnarray*} T(x)=\frac12\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}-\frac{(-1)^nx^n}{n!}\right)\,. \end{eqnarray*}$

Jetzt könnte man es noch auf den selben Bruchstrich schreiben.

Ja, ich hätte nur die Klammer so gesetzt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty\left(\frac{x^n}{n!}-\frac{(-1)^nx^n}{n!}\right)\,. \end{eqnarray*}$
Und ja, du kannst die Brüche zusammenfassen. Dann kannst du $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ ausklammern und dir überlegen, was mit dem Rest passiert.

03.01.2013, 23:16

Alexandra Ardanex

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$\begin{eqnarray*} T(x)=\frac12\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}-\frac{(-1)^nx^n}{n!}\right)\,. \end{eqnarray*}$

Ja, ich hätte nur die Klammer so gesetzt:
$\begin{eqnarray*} T(x)=\frac12\sum_{n=0}^\infty(\frac{x^n-(-1)^nx^n}{n!})\,. \end{eqnarray*}$

Ausklammern:

$\begin{eqnarray*} T(x)=\frac12\sum_{n=0}^\infty(\frac{x^n(1-(-1)^n)}{n!})\,. \end{eqnarray*}$

Hmm naja verwirrt

03.01.2013, 23:18

Che Netzer

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Ja, so stimmt es.
Jetzt sieh dir an, welche Werte $\begin{eqnarray*} 1-(-1)^n \end{eqnarray*}$ annehmen kann.

03.01.2013, 23:31

Alexandra Ardanex

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Hm ab n=1? Bei n=0 wird es ja 0 ?

03.01.2013, 23:33

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz allgemein für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ .
Setze doch die Zahlen Null bis Vier ein, wenn du es nicht siehst. Vielleicht fällt dir dann etwas auf.

03.01.2013, 23:39

Alexandra Ardanex

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Ahso, also es pendelt immer abwechselnd zwischen 2 & 0.

03.01.2013, 23:41

Che Netzer

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Genau. Für gerades $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist es ...?
Und Nullen sind für eine Summe natürlich irrelevant, d.h. wir können die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auslassen, für die $\begin{eqnarray*} 1-(-1)^n \end{eqnarray*}$ Null ist und müssen nur über die summieren, für die dieser Ausdruck Zwei ist.
Wie sieht dann die Reihe aus?

03.01.2013, 23:46

Alexandra Ardanex

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Für gerades n ist es =0 und für ungerades n ist es =2. Hmm puh wie die Reihe aussehen könnte verwirrt

schwer.

03.01.2013, 23:49

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Erst einmal brauchen wir also nur über ungerade Indizes zu summieren.
Vielleicht hilft dabei der Hinweis, dass sich jede ungerade Zahl als $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ darstellen lässt.

03.01.2013, 23:53

Alexandra Ardanex

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Mhmm 2n+1? Das kommt jetzt wohin ? Als Index ?

03.01.2013, 23:55

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir summieren über alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ , im Summanden benutzen wir stattdessen aber $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ , um doch nur die ungeraden Zahlen zu erwischen.

04.01.2013, 00:11

Alexandra Ardanex

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} T(x)=\frac12\sum_{n=0}^\infty(\frac{x^n(1-(-1)^n)}{n!})\,. \end{eqnarray*}$

Wo kommt denn das 2n+1 jetzt genau hin? Doch nicht anstatt des (1-(-1)^n)

04.01.2013, 00:17

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft das Beispiel, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty(2n+1) \end{eqnarray*}$ die Summe aller ungeraden Zahlen ist – $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty n \end{eqnarray*}$ hingegen die Summe aller Zahlen. Statt der ungeraden Zahlen selbst summieren wir hier aber über etwas anderes, in dem aber ungerade Zahlen vorkommen sollen.
Ist jetzt klarer, wo du $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ einsetzen sollst?

04.01.2013, 00:30

Alexandra Ardanex

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} T(x)=\frac12\sum_{n=0}^\infty(\frac{x^n2n+1)}{n!})\,. \end{eqnarray*}$

Na dann muss es wohl so sein.

04.01.2013, 00:33

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Nee...
Ich versuche es mal anders. Kannst du mit
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n(1-(-1)^n)}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{x^{2n}(1-(-1)^{2n})}{(2n)!}+\frac{x^{2n+1}(1-(-1)^{2n+1})}{(2n+1)!}\right) \end{eqnarray*}$
etwas anfangen?

04.01.2013, 00:56

Alexandra Ardanex

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Da ist fast überall 2n+1 eingesetzt außer 3 mal verwirrt

04.01.2013, 08:05

Mystic

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Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Da ist fast überall 2n+1 eingesetzt außer 3 mal verwirrt

3 mal

dazu... Bin aber dann schon wieder weg...

04.01.2013, 09:01

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Che hat die Reihe aufgesplittet in einen geraden Teil und einen ungeraden Teil.

Du hast vorhin richtig gesagt, dass $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ zwischen -1 und 1 hin und her pendelt, für welche n ist es denn 1 und für welche (-1) ?

04.01.2013, 09:06

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Habt ihr vielleicht etwas das Ziel aus den Augen verloren? Es geht hier nicht um Potenzreihen, sondern um die Taylor-Entwicklung. Also z.B. um

$\begin{eqnarray*} e^{x} = e^{x_0}\sum\limits^\infty_{n=0}\frac{1}{n!}(x-x_0)^n \end{eqnarray*}$

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