Taylorreihe - Seite 5

04.01.2013, 16:35

Alexandra Ardanex

Ka wie ich in dieser Form schreiben soll kommt immer eine Fehlermeldung

$\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ =0 für gerade n's & $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ n Element der rationalen Zahlen für ungerades n traurig

04.01.2013, 16:38

Che Netzer

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Also schonmal
$\begin{eqnarray*} a_n=\begin{cases}0&\text{für}\ n\ \text{gerade}\\\dotso&\text{für}\ n\ \text{ungerade}\,.\end{cases} \end{eqnarray*}$
Soweit stimmt es schon, jetzt fehlt nur eine Lücke Freude

Welche Fehlermeldung erscheint bei dir denn?

Und bevor wir uns jetzt um ungerades $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ kümmern:
Du schreibst, $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sei Element der rationalen Zahlen. Durchläuft $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ denn wirklich alle rationalen Zahlen?

04.01.2013, 16:52

Alexandra Ardanex

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Ja du hast recht es sind ja nur ungerade n's also ungerade Zahlen, daher auch nicht alle rationalen Zahlen sndern

$\begin{eqnarray*} a_n=\begin{cases}0&\text{für}\ n\ \text{gerade}\\(2n+1)!&\text{für}\ n\ \text{ungerade}\,.\end{cases} \end{eqnarray*}$

Hatten wir schonmal ich dummi... unglücklich

04.01.2013, 16:55

Che Netzer

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Naja, fast. Jetzt wäre z.B. $\begin{eqnarray*} a_3=7! \end{eqnarray*}$ . Ist das der Fall, wenn du dir mal die Entwicklung ansiehst?

04.01.2013, 17:03

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von Che Netzer
Naja, fast. Jetzt wäre z.B. $\begin{eqnarray*} a_3=7! \end{eqnarray*}$ . Ist das der Fall, wenn du dir mal die Entwicklung ansiehst?

7!=5040 also gerade ouh man... unglücklich

Je länger ich lerne, desto weniger glaube ich daran das Studium zu schaffen...

04.01.2013, 17:05

Che Netzer

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Keine Sorge, das klappt schon irgendwie... Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ soll aber der Koeffizient vor $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ sein.
Vergleiche das mal mit obiger Reihenentwicklung – steht vor $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ der Term $\begin{eqnarray*} 7! \end{eqnarray*}$ ?

Und übrigens ist $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ immer gerade, wenn $\begin{eqnarray*} n\geq2 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

04.01.2013, 17:21

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von Che Netzer
Das Summenzeichen gehört im letzten Schritt aber nicht dorthin.
Jetzt sind wir jedenfalls bei
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=0x+\frac1{(2\cdot0+1)!}x^{2\cdot0+1}+0x^2+\frac1{(2\cdot1+1)!}x^{2\cdot1+1}+0x^4+\dotsb \end{eqnarray*}$
Jetzt suchen wir $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ so, dass wir dies als
$\begin{eqnarray*} a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+\dotsb \end{eqnarray*}$ schreiben können.
Zunächst fällt hoffentlich auf, dass wir da für gerade und ungerade Zahlen eine andere Bildungsvorschrift für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gebrauchen können.
Oder?

Eine 1 also?

04.01.2013, 17:58

Che Netzer

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Vor $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ steht da keine Eins.
Vielleicht nochmal anders aufgeschrieben, da wir die geraden Terme ja sowieso erledigt haben:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x+\frac1{3!}x^3+\frac1{5!}x^5+\dotsb \end{eqnarray*}$

04.01.2013, 18:01

Alexandra Ardanex

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Ja ich wusste nicht genau was du meinst. Aber ja das steht da.

04.01.2013, 18:03

Che Netzer

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Wenn also $\begin{eqnarray*} a_3=7! \end{eqnarray*}$ wäre, müsste vor $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ in der Reihenentwicklung der Faktor $\begin{eqnarray*} 7! \end{eqnarray*}$ stehen. Ist das der Fall?

04.01.2013, 18:09

Alexandra Ardanex

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Nein.

04.01.2013, 18:12

Che Netzer

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Genau? Was bedeutet das für die Annahme, das $\begin{eqnarray*} a_3=7! \end{eqnarray*}$ ? Und woraus hatten wir das gefolgert?

04.01.2013, 18:16

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von Che Netzer
Vor $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ steht da keine Eins.
Vielleicht nochmal anders aufgeschrieben, da wir die geraden Terme ja sowieso erledigt haben:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x+\frac1{3!}x^3+\frac1{5!}x^5+\dotsb \end{eqnarray*}$

Wenn wir uns es angucken dann folgt das doch daraus, oder wie soll man das erklären?

04.01.2013, 18:17

Che Netzer

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Nein, ich meine: Woraus hatte ich $\begin{eqnarray*} a_3=7! \end{eqnarray*}$ gefolgert?

Dass aus dieser zitierten Darstellung folgt, dass der Faktor vor $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} 7! \end{eqnarray*}$ ist natürlich tatsächlich klar Augenzwinkern

04.01.2013, 18:22

Alexandra Ardanex

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Ja $\begin{eqnarray*} (2n+1)!=7! \end{eqnarray*}$ ? Ka was du meinst und bei $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ ist es halt so

$\begin{eqnarray*} (2\cdot3+1)!=7! \end{eqnarray*}$

04.01.2013, 18:24

Che Netzer

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Ich glaube, wir reden aneinander vorbei smile

Ich hatte oben aus einer Vermutung von dir die Aussage $\begin{eqnarray*} a_3=7! \end{eqnarray*}$ gefolgert.
Wir haben jetzt aber gesehen, dass $\begin{eqnarray*} a_3\neq7! \end{eqnarray*}$ (das ist klar?).
Jetzt ist die Frage: Woraus hatte ich $\begin{eqnarray*} a_3=7! \end{eqnarray*}$ gefolgert? Und was können wir jetzt sagen?

04.01.2013, 18:29

Alexandra Ardanex

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$\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ Ich weiß nicht was du ganze Zeit mit dem $\begin{eqnarray*} a_3=7! \end{eqnarray*}$ willst ?
$\begin{eqnarray*} a_3=7! \end{eqnarray*}$ du hast eine falsche Annahme getroffen und behauptet ? Keine Ahnung ? Und ich weiß jetzt genauso nicht die Antwort auf deine Frage, wie beim ersten mal als du sie mir gestellt... Und was wir jetzt sagen können i don't know...

04.01.2013, 18:31

Che Netzer

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Ja, $\begin{eqnarray*} a_3=7! \end{eqnarray*}$ ist falsch.
Aber damit ist auch eine deiner Behauptungen falsch, aus der ich $\begin{eqnarray*} a_3=7! \end{eqnarray*}$ gefolgert habe.
Welche Behauptung war das?

Wir haben gerade gezeigt, dass eine deiner Ideen falsch war. Jetzt wäre es aber praktisch, zu wissen, welche Idee das war und worum es überhaupt ging. Denn nur dann kann man auch eine neue Idee haben.

04.01.2013, 18:46

Alexandra Ardanex

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Original von Alexandra Ardanex
Ja du hast recht es sind ja nur ungerade n's also ungerade Zahlen, daher auch nicht alle rationalen Zahlen sndern

$\begin{eqnarray*} a_n=\begin{cases}0&\text{für}\ n\ \text{gerade}\\(2n+1)!&\text{für}\ n\ \text{ungerade}\,.\end{cases} \end{eqnarray*}$

Somit ist (2n+1)! falsch.

04.01.2013, 18:48

Che Netzer

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Genau

Hast du noch einen anderen Vorschlag, wie der Koeffizient/Faktor vor $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ bei ungeradem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aussieht?
Schau dir dazu ggf. die Reihenentwicklung an, die du oben auch noch zitiert hast.

04.01.2013, 19:18

Alexandra Ardanex

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Hmm. Welche ich oben zitiert habe?

04.01.2013, 19:38

Che Netzer

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Diese hier:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=^\frac1{1!}x+\frac1{3!}x^3+\frac1{5!}x^5+\dotsb \end{eqnarray*}$

04.01.2013, 19:46

Alexandra Ardanex

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Man sieht ja das der Koffizient sich so entwickelt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1!}...\frac{1}{3!}...\frac{1}{5!}... \end{eqnarray*}$ ich hab rumprobiert (2n-1)! ist es nicht (2n+1)! auch nicht das Vorzeichen bleibt konstant unglücklich

I don't know.

04.01.2013, 19:49

Che Netzer

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Erstmal hast du richtig erkannt, dass es mit einer Fakultät zu tun hat.
-> Taucht die im Nenner oder im Zähler auf?
-> Stehen noch weitere Faktoren daneben? [du hast z.B. schon $\begin{eqnarray*} (-1)^{\dotso} \end{eqnarray*}$ ausgeschlossen]
-> In welchem Zusammenhang steht das, wovon die Fakultät genommen wird, zum Exponenten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ?
-> Wie sieht dann also der Faktor $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ vor $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ aus?

04.01.2013, 19:56

Alexandra Ardanex

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-> Taucht die im Nenner oder im Zähler auf?
-Sie taucht im Nenner auf.
-> Stehen noch weitere Faktoren daneben? [du hast z.B. schon $\begin{eqnarray*} (-1)^{\dotso} \end{eqnarray*}$ ausgeschlossen]
-Sonstige Faktoren erkenne ich nicht.
-> In welchem Zusammenhang steht das, wovon die Fakultät genommen wird, zum Exponenten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ?
-Die frage schnalle ich nicht verwirrt

-> Wie sieht dann also der Faktor $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ vor $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ aus?
-Dito verwirrt

04.01.2013, 19:59

Che Netzer

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Das ist doch aber schonmal ein Anfang.
Wir wissen jetzt, dass eine Fakultät im Nenner steht und sonst keine Faktoren auftreten.
Also haben wir $\begin{eqnarray*} a_n=\frac1{\Box!} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt müssen wir noch herausfinden, was an die Stelle des Kästchens kommt.
Das war meine dritte Frage.
$\begin{eqnarray*} \Box \end{eqnarray*}$ hängt ja in irgendeiner Weise von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ab – wie genau?

04.01.2013, 20:02

Alexandra Ardanex

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Sooooo?

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac1{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$ .

04.01.2013, 20:04

Che Netzer

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Überpüfen wir das doch auf die gleiche Weise Augenzwinkern

-> Welchen Wert hätte dann $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ ?
-> Stimmt dieser Wert mit dem Faktor vor $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ aus der Reihenentwicklung überein?

04.01.2013, 20:06

Alexandra Ardanex

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Ou ja.

04.01.2013, 20:08

Che Netzer

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Beantworte die beiden Fragen lieber mal Augenzwinkern

Die Reihenentwicklung ist wie bisher $\begin{eqnarray*} x+\frac1{3!}x^3+\frac1{5!}x^5+\dotsb \end{eqnarray*}$

04.01.2013, 20:14

Alexandra Ardanex

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Wir hätten $\begin{eqnarray*} a_3=\frac1{(7)!} \end{eqnarray*}$
Und der Faktor stimmt nicht überein.. zu früh gefreut...
Die Reihenentwicklung ist wie bisher $\begin{eqnarray*} x+\frac1{3!}x^3+\frac1{5!}x^5+\dotsb \end{eqnarray*}$

04.01.2013, 20:17

Che Netzer

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Genau, das stimmt nicht.

Also ein neuer Versuch, einen Ausdruck für $\begin{eqnarray*} \Box \end{eqnarray*}$ zu finden.
Vielleicht nenne ich es aber lieber $\begin{eqnarray*} \boxed n \end{eqnarray*}$ , dann soll nämlich $\begin{eqnarray*} \frac1{\boxed n!} \end{eqnarray*}$ der Faktor vor $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ in der Reihenentwicklung sein, wobei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ungerade ist.

04.01.2013, 20:32

Alexandra Ardanex

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Ich hab jetzt glaube ich alle für mich möglichen Bildungsvorschriften durchgeackert und gleich springe ich von der Brücke traurig

04.01.2013, 20:36

Che Netzer

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Spring lieber nicht Augenzwinkern

Ich schreibe es nochmal deutlicher auf:
$\begin{eqnarray*} \frac1{1!}x+\frac1{3!}x^3+\frac1{5!}x^5+\dotsb \end{eqnarray*}$
soll gleich
$\begin{eqnarray*} a_1x+a_3x^3+a_5x^5+\dotsb \end{eqnarray*}$
sein, was wir wiederum als
$\begin{eqnarray*} \frac1{\boxed 1!}x+\frac1{\boxed 3!}x^3+\frac1{\boxed 5!}x^5+\dotsb \end{eqnarray*}$
schreiben können.
Was können wir also für $\begin{eqnarray*} \boxed n \end{eqnarray*}$ schreiben?

04.01.2013, 20:48

Alexandra Ardanex

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(n+1)! ist auch falsch ...

04.01.2013, 20:52

Che Netzer

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Ja, $\begin{eqnarray*} (n+1)! \end{eqnarray*}$ sollte nirgendwo auftauchen.
Hier nochmal der direkte Vergleich:
$\begin{eqnarray*} \frac1{1!}x+\frac1{3!}x^3+\frac1{5!}x^5+\dotsb\overset!=\frac1{\boxed 1!}x+\frac1{\boxed 3!}x^3+\frac1{\boxed 5!}x^5+\dotsb \end{eqnarray*}$
Wie können wir $\begin{eqnarray*} \boxed n \end{eqnarray*}$ wählen, so dass oben die Gleichheit gilt?

04.01.2013, 20:56

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Sooooo? smile

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac1{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$ .

Außer der Idee die ich schon hatte fällt mir nichts mehr ein... das macht kein Sinn mehr...

04.01.2013, 21:00

Che Netzer

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Dann noch angefärbt:
$\begin{eqnarray*} \frac1{{\color{red}1}!}x+\frac1{{\color{green}3}!}x^3+\frac1{{\color{blue}5}!}x^5+\dotsb\overset!=\frac1{{\color{red}\boxed 1}!}x+\frac1{{\color{green}\boxed 3}!}x^3+\frac1{{\color{blue}\boxed 5}!}x^5+\dotsb \end{eqnarray*}$
Wie müsste $\begin{eqnarray*} \boxed n \end{eqnarray*}$ (für ungerades $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ) gewählt sein, damit diese Gleichung gilt?

04.01.2013, 21:07

Alexandra Ardanex

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Es kann bunt sein es können, Bananen, Äpfel keine Ahnung was sein ich bin an meine Grenzen gekommen... mehr geht einfach nicht tut mir leid. Ich weiß es echt nicht. Ich habe ein volles Blatt gekritzelt mit allem möglichen (n+1)! (2n+1)! n!+2 ehrlich...

04.01.2013, 21:09

Che Netzer

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Dann führe doch hier einen Koeffizientenvergleich durch:
$\begin{eqnarray*} \frac1{{\color{red}1}!}x+\frac1{{\color{green}3}!}x^3+\frac1{{\color{blue}5}!}x^5+\dotsb\overset!=\frac1{{\color{red}\boxed 1}!}x+\frac1{{\color{green}\boxed 3}!}x^3+\frac1{{\color{blue}\boxed 5}!}x^5+\dotsb \end{eqnarray*}$

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