Taylorreihe - Seite 7

05.01.2013, 13:31

Alexandra Ardanex

d) unsere Taylorreihe
$\begin{eqnarray*} T(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{{({-x}^2)}^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{n!}=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n \end{eqnarray*}$

So ?

05.01.2013, 13:33

Che Netzer

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Genau.
Ist jetzt alles klar?

05.01.2013, 13:45

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von Che Netzer
Wobei
$\begin{eqnarray*} a_n=\begin{cases}\frac{(-1)^{n/2}}{(n/2)!}&\text{für}\ n\ \text{gerade}\\\ \text{0}&\text{für}\ n\ \text{ungerade}\end{cases} \end{eqnarray*}$
da schon genügen würde.
Wie gesagt; benutze zum Zitieren auch lieber den entsprechenden Button.

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{(-1)^{n/2}}{(n/2)!} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gerade ist, d.h.
$\begin{eqnarray*} a_n=\begin{cases}\frac{(-1)^{n/2}}{(n/2)!}&\text{für}\ n\ \text{gerade}\\\ \text{0}&\text{für}\ n\ \text{ungerade}\,.\end{cases} \end{eqnarray*}$
Das sieht man auch gut an der ursprünglichen Summe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}\,. \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n/2}}{(n/2)!}x^{2n} \end{eqnarray*}$ Stimmt das ?

Weil ja

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n/2}}{(n/2)!} \end{eqnarray*}$

ist ?

05.01.2013, 13:59

Che Netzer

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Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Also ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n/2}}{(n/2)!}x^{2n} \end{eqnarray*}$ Stimmt das ?

Nein, links ist der Faktor vor $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ z.B. $\begin{eqnarray*} \frac1{2!}=\frac12 \end{eqnarray*}$ , rechts wäre er $\begin{eqnarray*} \frac1{1!}=1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Weil ja

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n/2}}{(n/2)!} \end{eqnarray*}$

ist ?

Die rechte Summe ist überhaupt nicht definiert, da taucht z.B. $\begin{eqnarray*} (-1)^{\frac12}=\sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ auf. Du vergisst vermutlich, dass die ungeraden Potenzen von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in der Reihe übersprungen werden.

Das sieht etwa so aus:
Setze den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac1{0!}=1 \end{eqnarray*}$ vor $\begin{eqnarray*} 1=x^0 \end{eqnarray*}$ .
Lasse den Term $\begin{eqnarray*} x^1 \end{eqnarray*}$ aus ( $\begin{eqnarray*} a_1=0 \end{eqnarray*}$ ).
Schreibe $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und verändere den letzten Faktor $\begin{eqnarray*} \frac1{0!} \end{eqnarray*}$ so, dass die Zahl, die zur Fakultät genommen wird, um Eins erhöht wird, d.h. addiere $\begin{eqnarray*} \frac1{1!}x^2 \end{eqnarray*}$ .
Lasse den Term $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ aus.
Schreibe $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} \frac1{2!} \end{eqnarray*}$ etc.

05.01.2013, 22:23

Alexandra Ardanex

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RE: Taylorreihe
Die korrigierte, korrekte Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie die Taylor-Reihen $\begin{eqnarray*} f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty a_{n}x^{n} \end{eqnarray*}$ der folgenden Funktionen um $\begin{eqnarray*} x_{0}=0 \end{eqnarray*}$ . Geben Sie die folgenden Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ an.

a) $\begin{eqnarray*} f(x)=a^{x} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1+x)^{2}} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} f(x)=sinh(x)=\frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x}) \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{-x^{2}} \end{eqnarray*}$

Hilfe: Die Rechnungen vereinfachen sich, wenn Sie die Funktionen auf Ausdrücke zurückführen deren Taylorreihen Ihnen bekannt sind.

Die allgemeinge Taylorformel lautet:

$\begin{eqnarray*} T(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \cdot (x-x_0)^n \end{eqnarray*}$

Zu a)

Unsere Funktion lautet: $\begin{eqnarray*} f(x)=a^x=e^{x \ln a} \end{eqnarray*}$

Unsere Ableitungen sind: $\begin{eqnarray*} f'(x)=a^{x}ln(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=a^{x}ln^{2}(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=a^{x}ln^{3}(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''''(x)=a^{x}ln^{4}(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(0)}(0)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(1)}(0)=\ln(a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(2)}(0)=\ln^{2}(a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(3)}(0)=\ln^{3}(a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(4)}(0)=\ln^{4}(a) \end{eqnarray*}$

Somit bekommen wir die Taylorreihe:

$\begin{eqnarray*} T(x)=1+\frac{ln(a)}{1!}+\frac{ln^{2}(a) x^{2}}{2!}+\frac{ln^{3}(a) x^{3}}{3!}+\frac{ln^{4}(a) x^{4}}{4!}... =\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{ (\ln(a))^n}{n!} \cdot x^n \end{eqnarray*}$

Was ist nun die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ???

Nun brauchen wir eine allgemeine Formel für

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!} \quad (n \in \mathbb N ) \end{eqnarray*}$

denn die gesuchte Taylorreihe ist ja gerade

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_nx^n \end{eqnarray*}$

wobei man noch für die Formel $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x=0)= (\ln (a))^n \end{eqnarray*}$

einsetzen muss.

Das liefert dann:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{\ln (a))^n}{n!}x^n \end{eqnarray*}$

05.01.2013, 22:31

Rekord

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244 Beiträge .

Ich glube das ist ein neuer Rekord. Teufel

05.01.2013, 23:29

Alexandra Ardanex

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Schön das man auch als Hobby Beiträge zählen hat Wink

06.01.2013, 10:28

Che Netzer

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Tatsächlich! Das ist jetzt der größte Thread in unserem Hochschulbereich; in der Schulmathematik gibt es nur zwei größere – die haben aber über dreihundert. Ob wir das noch schaffen? Big Laugh

Und ich glaube nicht, dass "Rekord" die Beiträge per Hand gezählt hat. Erstens kann man die Seitenzahl mit 15 multiplizieren und die Beiträge der letzten Seite zählen. Zweitens wird die Anzahl der Antworten in der Themenübersicht sowieso schon angezeigt.

Aber zurück zur Aufgabe:
Die a) hast du recht gut zusammengefasst.
Aber zwei Dinge habe ich doch zu bemeckern:
1. Hast du keine explizite Darstellung für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ angegeben.
2. Hättest du hier wieder die bekannte Reihendarstellung der Exponentialreihe benutzen können. Das würde dir das ableiten ersparen.

Punkt 1 solltest du noch abarbeiten, du musst aber nur zwei Gleichungen zusammensetzen.
Ob du den Weg aus Punkt 2 noch probieren möchtest, ist dir überlassen.

06.01.2013, 12:09

Mystic

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Zitat:

Original von Che Netzer
Tatsächlich! Das ist jetzt der größte Thread in unserem Hochschulbereich;

Sicher aber auch einer der "minderwertigsten", wenn ich mir diese OT-Bemerkung noch erlauben darf, denn es gab hier doch viele endlose Diskussionen um Trivialitäten und ein Ende ist immer noch nicht abzusehen ... Und das betrifft jetzt in keiner Weise dich, um das klar zu stellen (da schon eher meine Beiträge hier, wie man oben nachlesen kann, obwohl ich hier ja nur eine winzige Nebenrolle spiele unglücklich

) ...

06.01.2013, 12:33

Che Netzer

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Das stimmt leider...
Aber ich kann mich noch an zwei schlimmere Themen erinnern, in denen es z.B. schon Probleme beim Rechnen mit Beträgen gab ( $\begin{eqnarray*} 1-\lvert 1-t\rvert=\lvert -t\rvert<0 \end{eqnarray*}$ wurde angeboten), obwohl es um Ana3-Themen ging.

06.01.2013, 21:06

Rekord

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Ich glaube die 300 er Marke knack ihr noch. Big Laugh

06.01.2013, 21:10

Che Netzer

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Höchstens, wenn noch zurückgeschrieben wird. Momentan sieht es aber so aus, als hätte die Fragestellerin kein Interesse mehr o.ä.

06.01.2013, 21:25

Rekord

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Ist die Aufgabe überhaupt gelöst?

06.01.2013, 21:28

Che Netzer

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Naja, irgendwo im Thread stehen zwar alle Lösungen, aber es ist unklar, ob alle verstanden wurden.
Und ich hätte auch keine Lust, sie hier herauszusuchen Augenzwinkern

06.01.2013, 21:35

Alexandra Ardanex

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RE: Taylorreihe
Was ist nun die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ???

Nun brauchen wir eine allgemeine Formel für

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!} \quad (n \in \mathbb N ) \end{eqnarray*}$

denn die gesuchte Taylorreihe ist ja gerade

$\begin{eqnarray*} T(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n \end{eqnarray*}$

wobei man noch für die Formel $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x=0)= (\ln (a))^n \end{eqnarray*}$

einsetzen muss.

Das liefert dann:

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{\ln (a))^n}{n!} \end{eqnarray*}$

So viel zu a)

Gehen wir zur Aufgabeteil b) über

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{(1+x)^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=- \frac{2}{(x+1)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{6}{(x+1)^4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=-\frac{24}{(x+1)^5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''''(x)=\frac{120}{(x+1)^6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(0)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f'(0)=-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f''(0)=6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f'''(0)=-24 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f''''(0)=120 \end{eqnarray*}$

Wir erhalten nach Überlegung: $\begin{eqnarray*} f^{n}(0)=(-1)^{n}(n+1)! \end{eqnarray*}$

Die Taylorreihe (mit Entwicklungspunkt 0) ist daher:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n+1)!}{n!} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}(n+1) x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} \end{eqnarray*}$

Deshalb ist unser $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ wie folgt: $\begin{eqnarray*} a_{n}=(-1)^{n}(n+1) \end{eqnarray*}$ bzw. ungekürzt $\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{(-1)^{n}(n+1)!}{n!} \end{eqnarray*}$

Und unsere Taylorreihe ausgeführt lautet:
$\begin{eqnarray*} T(x)=1+\frac{-2 \cdot x}{1!}+\frac{6 \cdot x^2}{2!}+\frac{-24 \cdot x^3}{3!}+\frac{120 \cdot x^4}{4!}...=1-2x+3x^2-4x^3+5x^4... \end{eqnarray*}$

So weit so gut. C!

Die e-Funktion kann man ja als Taylorreihe so aufschreiben

$\begin{eqnarray*} e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \end{eqnarray*}$

In unserem Fall brauchen wir jedoch folgende Taylorreihe:

$\begin{eqnarray*} e^{-x }= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-x)^n}{n!} = -1 - x + \frac{x^2}{2!} + \frac{-x^3}{3!} + \cdots \end{eqnarray*}$

Nun haben wir aber bei c)

$\begin{eqnarray*} f(x)=sinh(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}) \end{eqnarray*}$

Demnach müsste es dann so sein:

$\begin{eqnarray*} T(x)=\frac12\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}-\frac{(-1)^nx^n}{n!}\right)\,. \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in unsere Funktion:

$\begin{eqnarray*} T(x)=\frac12\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}-\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^n}{n!}\right)\,. \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man die beiden Reihen zusammenziehen, nach dem Prinzip $\begin{eqnarray*} \sum a_n-\sum b_n=\sum(a_n-b_n) \end{eqnarray*}$ (für absolut konvergente Reihen)

$\begin{eqnarray*} T(x)=\frac12\sum_{n=0}^\infty(\frac{x^n-(-1)^nx^n}{n!})\,. \end{eqnarray*}$

Ausklammern:

$\begin{eqnarray*} T(x)=\frac12\sum_{n=0}^\infty(\frac{x^n(1-(-1)^n)}{n!})\,. \end{eqnarray*}$

Wir sind bei der Darstellung
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n(1-(-1)^n)}{n!}\,. \end{eqnarray*}$
Wir wissen jetzt, dass der Term $\begin{eqnarray*} \frac{x^n(1-(-1)^n)}{n!} \end{eqnarray*}$ Null wird, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gerade ist. Wir brauchen daher nur über die Terme zu summieren, bei denen dieser Index ungerade ist. Und da wir ungerade Zahlen als $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ darstellen können, hat unser Term/Summand dann die Form $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2n+1}(1-(-1)^{2n+1})}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$ .
Wir haben also den ungeraden Laufindex als $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ geschrieben.
Da wir nun über alle ungeraden Zahlen $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ summieren wollen, müssen wir auch jedes $\begin{eqnarray*} n=0,1,2,\dotsc \end{eqnarray*}$ berücksichtigen.

Somit erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}(1-(-1)^{2n+1})}{(2n+1)!}\,. \end{eqnarray*}$

Unsere Taylorreihe hat dann die endgültige Form

$\begin{eqnarray*} \frac12\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}-(-1)^{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\frac12\sum_{n=0}^\infty\frac{2x^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

Nach dem Kürzen:

$\begin{eqnarray*} \frac12\sum_{n=0}^\infty\frac{2x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

Bestimmung unseres $\begin{eqnarray*} a_{n's} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n=\begin{cases}0&\text{für}\ n\ \text{gerade}\\\frac1{n!}&\text{für}\ n\ \text{ungerade}\,.\end{cases} \end{eqnarray*}$

Dann haben wir die Taylorreihe

$\begin{eqnarray*} T(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\,. \end{eqnarray*}$

d)

$\begin{eqnarray*} T(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{{({-x}^2)}^n}{n!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{{({-x}^2)}^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{n!} \end{eqnarray*}$

Somit kommt man dann auf $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{(-1)^{n/2}}{(n/2)!} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gerade ist, d.h.
$\begin{eqnarray*} a_n=\begin{cases}\frac{(-1)^{n/2}}{(n/2)!}&\text{für}\ n\ \text{gerade}\\\ \text{0}&\text{für}\ n\ \text{ungerade}\,.\end{cases} \end{eqnarray*}$
Das sieht man auch gut an der ursprünglichen Summe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}\,. \end{eqnarray*}$
Dort steht im Exponenten von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ , also das doppelte von dem Exponenten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} (-1) \end{eqnarray*}$ bzw. das doppelte von dem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , dessen Fakultät im Nenner steht.

06.01.2013, 21:38

Che Netzer

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Das stimmt tatsächlich alles, aber du hast den Hinweis nur in c) und d) benutzt. Du kannst auch in a) die Exponentialreihe verwenden, dann brauchst du nicht abzuleiten und die Koeffizienten sind dann einfach abzulesen – wesentlich leichter sogar als in c) oder d).
Wenn du das noch machen möchtest, schreibe dir Funktion aus a) mal mithilfe der (natürlichen) Exponentialfunktion.

06.01.2013, 21:38

Alexandra Ardanex

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Rekord scheint ja an der Aufgabe interessiert zu sein, vielleicht mag er ja Lücken ergänzen. Meine Unklarheiten sind bei c) & d) bei der Bestimmung des $\begin{eqnarray*} a_{n's} \end{eqnarray*}$ weil die Funktionen ja auf Taylorreihen zurückzuführen sind, die uns bekannt sind.

06.01.2013, 21:44

Che Netzer

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$\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist zwar als $\begin{eqnarray*} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \end{eqnarray*}$ definierbar, es ist aber insbesondere der Koeffzient vor $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ .

Dann möchtest du die a) und b) nicht mehr "schön" lösen?

06.01.2013, 21:47

Rekord

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@ Alexandra

Es war nur spass nicht böse gemeint.

06.01.2013, 21:49

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von Che Netzer
$\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist zwar als $\begin{eqnarray*} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \end{eqnarray*}$ definierbar, es ist aber insbesondere der Koeffzient vor $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ .

Aber $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist doch quasi $\begin{eqnarray*} =\frac{f^{(n)}(0)}{n!} \end{eqnarray*}$ ? Der Koeffizient vor $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ ist doch das $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Che Netzer
Dann möchtest du die a) und b) nicht mehr "schön" lösen?

Sie ist ja nicht falsch und ich habe noch genug zu tun von daher lasse ich es, weil ich meine "Musterlösung" quasi 2 mal gemacht habe... weil mein Strom am Laptop ausging... Vielen Dank noch mal an alle Helfer.

06.01.2013, 21:52

Che Netzer

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Ja, alle drei Dinge sind gleich: $\begin{eqnarray*} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und der Faktor vor $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ .

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