Kurvendiskussionen - Aufgabe

24.12.2012, 01:39

Tipso

Kurvendiskussionen - Aufgabe

Hallo,

Aufgabenstellung:

Zeichne die Funktion.

Was brauche ich dazu?

Nullstellen, Extrempunkt - H und Tiefpunkt.

Fragen:
a.
Was ist eine Abzissenachse?

b.
Was sagt mir die Funktion, wenn es 3Grade hat? x^3?
Es gibt 1 - 2 oder 3 Nullstellen.

Hier die Funktion und die erste und zweite Ableitung dazu:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y = x^3 + 4x^2 + 4x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = 3x^2 + 8x + 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = 6x + 8 \end{eqnarray*}$

1.
Nullstellen

$\begin{eqnarray*} y = x^3 + 4x^2 + 4x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = x^3 + 4x^2 + 4x \end{eqnarray*}$

Ich Faktorisiere.

$\begin{eqnarray*} x^2\left(x + 4 + \frac{4}{x} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\left(x^2 + 4x + 4\right) \end{eqnarray*}$

Wie Faktorisiere ich? Warum?

$\begin{eqnarray*} x^2\left(x + 4 + \frac{4}{x} \right) \end{eqnarray*}$

Was sagt mir hier x^2 = 0 ?
Ich habe zwei Nullstellen bei 0?

-----------------------------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} x\left(x^2 + 4x + 4\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N_1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 + 4x + 4 \end{eqnarray*}$

Pq-Formel
$\begin{eqnarray*} N_2 = -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N_3 = -2 \end{eqnarray*}$

Was sagt mir dies?
Ich habe zwei Nullstellen auf -2?
Warum habe ich zwei Nullstellen und wo ist der Unterschied zwischen zwei oder drei oder einer Nullstelle auf dem Punkt -2.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Extrempunkt

$\begin{eqnarray*} y' = 3x^2 + 8x + 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 3x^2 + 8x + 4 \end{eqnarray*}$ /3

$\begin{eqnarray*} 0 = x^2 + \frac{8x}{3} + \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

Pq-Formel

- 1,0336

-2,6667

beides Hochpunkte.

Ist dies alles, was ich für das Zeichnen des Graphen brauche?

Frage:
Warum darf ich $\begin{eqnarray*} \frac{8x}{3} \end{eqnarray*}$ hier $\begin{eqnarray*} \frac{8}{3} \end{eqnarray*}$ entnehmen, da mein x ja dann nicht durch 3 dividiert wird...

lg

24.12.2012, 02:14

Tesserakt

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RE: Kurvendiskussionen - Aufgabe

Zitat:

Original von Tipso (sowie alle anderen Zitate)
a. Was ist eine Abzissenachse?

Die Achse, auf der sich die Funktionsargumente befinden. Also die x-Achse.

Zitat:

Nur die zweite Faktorisierung ist zielführend.
Wolltest du bei der ersten "Faktorisierung" den Satz des Nullproduktes anwenden, so ergäbe sich im Nenner des Summanden $\begin{eqnarray*} \frac{4}{x} \end{eqnarray*}$ der Nenner $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , was gewiss nicht definiert ist.

Auflösen von $\begin{eqnarray*} x(x^2 + 4x + 4) = 0 \end{eqnarray*}$ liefert die Nullstellen $\begin{eqnarray*} x_1 = 0, x_{2,3} = -2 \end{eqnarray*}$
Demnach liegt also eine doppelte Nullstelle bei $\begin{eqnarray*} x_2 = x_3 = -2 \end{eqnarray*}$ vor. Somit berührt der Graph an dieser Stelle die x-Achse (wie auch im GeoGebra-Bildschirmfoto zu sehen ist).

Bevor ich nun auf den Rest deines Beitrages eingehe, mache dir bitte folgendes klar:
Die Summe der Vielfachheiten der Nullstellen einer ganzrationalen Funktionen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Grades ist $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

24.12.2012, 02:22

Gast11022013

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a)

Abzisse ist ein anderes Wort für x-Achse. Es sind also die Schnittpunkte mit der x-Achse gesucht.

b)

Der Grad einer Funktion sagt dir wie viele Nullstellen es maximal geben kann. Die maximale Anzahl ist dann an der höchsten Potenz abzulesen. Eine Funktion kann aber auch 0 Nullstellen haben.

Bsp.

f(x)=x^2+1

Nullstellen:

Wieso hast du zwei Rechnungen zu den Nullstellen parallel am laufen? Einmal klammerst du x^2 aus, was falsch ist, und einmal nur x. Letzteres ist richtig.

x^2 auszuklammern ist in sofern falsch, bzw. nicht sinnvoll, da so ein Bruch mit einem x im Nenner entsteht. So haben wir einmal die Null als Lösung, aber müssen diese direkt wieder ausschließen, da man durch 0 nicht teilen darf.

$\begin{eqnarray*} \frac4x \end{eqnarray*}$

hier darfst du die Null nicht einsetzen.

Demnach sind deine Nullstellen

$\begin{eqnarray*} x_1=0 x_{2,3}=-2 \end{eqnarray*}$

korrekt.

Die doppelte Nullstelle bei x=-2 sagt dir, dass hier die Ableitung gleich Null ist und wir hier somit einen Extrempunkt haben.

Extrempunkte:

Deine Extrempunkte sind falsch berechnet (Fehler bei der pq-Formel?). Die Lösungen sollten

$\begin{eqnarray*} x_1=-\frac23 x_2=-2 \end{eqnarray*}$

sein.

Das x=--2 ein Extrempunkt sein muss könnten wir an der doppelten Nullstelle erkennen. Außerdem siehst du auch in deinem unten angehängtem Bild, dass deine Lösungen nicht passen können.
smile

Deine letzte Frage verstehe ich nicht ganz.

Wenn du eine Funktion zeichnen möchtest, dann musst du nicht zwangsläufig eine Kurvendiskussion durchführen. Solang es nur ums zeichnen geht reicht eigentlich auch eine Wertetabelle. Fürs zeichnen ist es jedoch immer gut markante Punkte zu haben, die man mit einer Kurvendiskussion ermittelt. So ist diese vielleicht zeitaufwendiger, aber bei der Genauigkeit der Skizze tut sich da meistens wenig, obwohl man mit weit weniger Punkten auskommt.

Ich hoffe ich konnte erstmal einige Fragen beantworten.

Edit: Aiaiai, da bin ich ja reichlich zu spät. Bin weg. Wink

24.12.2012, 02:40

Tipso

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Danke.

Schöne Weihnachten.

lg

24.12.2012, 16:25

Tipso

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RE: Kurvendiskussionen - Aufgabe
Hallo,

Danke für deine Tipps, leider verstehe ich vieles einfach nicht. Es wäre nett wenn du dazu Bsp. posten könntest, damit ein besseres Verständnis von meiner Seite aus möglich ist/wird.

Zitat:

Original von Tesserakt

Zitat:

1.
Nullstellen

$\begin{eqnarray*} y = x^3 + 4x^2 + 4x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = x^3 + 4x^2 + 4x \end{eqnarray*}$

Nur die zweite Faktorisierung ist zielführend.
Wolltest du bei der ersten "Faktorisierung" den Satz des Nullproduktes anwenden, so ergäbe sich im Nenner des Summanden $\begin{eqnarray*} \frac{4}{x} \end{eqnarray*}$ der Nenner $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , was gewiss nicht definiert ist.

Wir würde dieser aussehen?

Zitat:

Auflösen von $\begin{eqnarray*} x(x^2 + 4x + 4) = 0 \end{eqnarray*}$ liefert die Nullstellen $\begin{eqnarray*} x_1 = 0, x_{2,3} = -2 \end{eqnarray*}$
Demnach liegt also eine doppelte Nullstelle bei $\begin{eqnarray*} x_2 = x_3 = -2 \end{eqnarray*}$ vor. Somit berührt der Graph an dieser Stelle die x-Achse (wie auch im GeoGebra-Bildschirmfoto zu sehen ist).

Wo ist hier ein Unterschied zwischen einer normalen und einer doppelten Nullstelle?!

Zitat:

Die Summe der Vielfachheiten der Nullstellen einer ganzrationalen Funktionen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Grades ist $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Was bedeutet dieser Satz?

3^2 = 3 Nullstellen?

lg

24.12.2012, 16:48

Tipso

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Zitat:

x^2 auszuklammern ist in sofern falsch, bzw. nicht sinnvoll, da so ein Bruch mit einem x im Nenner entsteht. So haben wir einmal die Null als Lösung, aber müssen diese direkt wieder ausschließen, da man durch 0 nicht teilen darf.

$\begin{eqnarray*} \frac4x \end{eqnarray*}$

hier darfst du die Null nicht einsetzen.

Warum darf ich hier nicht einsetzen?

Zitat:

Die doppelte Nullstelle bei x=-2 sagt dir, dass hier die Ableitung gleich Null ist und wir hier somit einen Extrempunkt haben.

Warum sagt mir eine doppelte Nullstelle das ich hier einen Extrempunkt habe?
Warum ist hier die Ableitung 0?

Zitat:

Extrempunkte:

Deine Extrempunkte sind falsch berechnet (Fehler bei der pq-Formel?). Die Lösungen sollten

$\begin{eqnarray*} x_1=-\frac23 x_2=-2 \end{eqnarray*}$

Ich erhalte die Ergebnisse leider nicht:

Hier mein Rechenweg:

$\begin{eqnarray*} y' = 3x^2 + 8x + 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 3x^2 + 8x + 4 \end{eqnarray*}$ /3

$\begin{eqnarray*} 0 = x^2 + \frac{8x}{3} + \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

PQ

$\begin{eqnarray*} - \frac{8}{3} \pm \sqrt{\left(\frac{8}{3} \right) - \frac{4}{3} } \end{eqnarray*}$

Ich erhalte leider nicht die gewünschten Ergebnisse..

Zitat:

Das x=--2 ein Extrempunkt sein muss könnten wir an der doppelten Nullstelle erkennen. Außerdem siehst du auch in deinem unten angehängtem Bild, dass deine Lösungen nicht passen können.
smile

Warum sieht man es an der doppelten Nullstelle?`

Zitat:

Deine letzte Frage verstehe ich nicht ganz.

Zitat:

Warum darf ich $\begin{eqnarray*} \frac{8x}{3} \end{eqnarray*}$ hier $\begin{eqnarray*} \frac{8}{3} \end{eqnarray*}$ entnehmen, da mein x ja dann nicht durch 3 dividiert wird...

$\begin{eqnarray*} y' = 3x^2 + 8x + 4 \end{eqnarray*}$

Ob es Äquivalent ist, das ich es hier für die Pq-Formel entnehme, von $\begin{eqnarray*} \frac{8x}{3} \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} \frac{8}{3} \end{eqnarray*}$ zur Berechnung des Extrempunktes.

Danke für deine Hilfe!
Frohe Weihnachten.

24.12.2012, 22:56

Tesserakt

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Um deine Fragen zu beantworten:

Ausklammern: Ausklammern und eine darauffolgende Anwendung des Nullproduktes ist nur dann erlaubt, wenn durch das Ausklammern kein Summand entsteht, in dessen Nenner die Funktionsvariable $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in einer Potenz größer gleich $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ auftritt.

Beispiel: $\begin{eqnarray*} x^5 + 2x^4 + x^3 + 7x^2 + x \end{eqnarray*}$

Richtig ausgeklammert wäre es $\begin{eqnarray*} x(x^4 + 2x^3 + x^2 + 7x + 1) \end{eqnarray*}$ , während $\begin{eqnarray*} x^2\left(x^3 + 2x^2 + x + 7 + \frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ zwar formal richtig ist für $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ , allerdings nicht zielführend ist bei der Bestimmung der Nullstellen.

Ist das soweit klar?

24.12.2012, 23:02

Tipso

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Zitat:

[quote]Original von Tesserakt
Um deine Fragen zu beantworten:

Ausklammern: Ausklammern und eine darauffolgende Anwendung des Nullproduktes ist nur dann erlaubt, wenn durch das Ausklammern kein Summand entsteht, in dessen Nenner die Funktionsvariable $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in einer Potenz größer gleich $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ auftritt.

Beispiel: $\begin{eqnarray*} x^5 + 2x^4 + x^3 + 7x^2 + x \end{eqnarray*}$

Richtig ausgeklammert wäre es $\begin{eqnarray*} x(x^4 + 2x^3 + x^2 + 7x + 1) \end{eqnarray*}$ , während $\begin{eqnarray*} x^2\left(x^3 + 2x^2 + x + 7 + \frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ zwar formal richtig ist für $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ , allerdings nicht zielführend ist bei der Bestimmung der Nullstellen.

Ist das soweit klar?

Das Warum verstehe ich zwar nicht aber Wann, habe ich verstanden.
Z.b Beim berechnen des Asymptotischen Verhaltens ist es erlaubt. x)

lg

24.12.2012, 23:40

Tesserakt

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Kommen wir zur nächsten Frage:

Vielfachheiten von Nullstellen:
Man betrachte die Funktion $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(x) = x^3 - 8x^2 + 21x - 18 \end{eqnarray*}$ und berechne die Nullstellen dieser Funktion.

Durch gezieltes Raten (Teiler des Absolutgliedes sind Kandidaten für Nullstellen) erhalten wir die Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_1 = 3 \end{eqnarray*}$ . Tatsächlich ist $\begin{eqnarray*} P(x_1) = P(3) = 0 \end{eqnarray*}$
Durch Polynomdivision erhalten wir $\begin{eqnarray*} \frac{x^3 - 8x^2 + 21x - 18}{x - 3} = x^2 - 5x + 6 \end{eqnarray*}$ .
Die weiteren Nullstellen von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ sind also Nullstellen des Polynoms $\begin{eqnarray*} Q(x) = x^2 - 5x + 6 \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} P(x) = 0 \Leftrightarrow x_1 = 3 \vee Q(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Es ist also $\begin{eqnarray*} x_1 = 3 \vee x^2 - 5x + 6 = 0 \end{eqnarray*}$
Die zweite Gleichung lässt sich mit Hilfe der pq-Formel lösen.
Also gilt $\begin{eqnarray*} x_1 = 3 \vee x_{2,3} = -\frac{-5}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-5}{2}\right)^2 - 6} \Leftrightarrow x_1 = 3 \vee x_2 = 3 \vee x_3 = 2 \end{eqnarray*}$ .

Wir stellen fest: Bei der Berechnung der Nullstellen ergab sich zweimal die Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_1 = x_2 = 3 \end{eqnarray*}$ . Man nennt diese Nullstelle also doppelte Nullstelle der Funktion $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ .
Und tatsächlich ist die (so weit wie möglich vereinfachte) faktorisierte Darstellung von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} P(x) = (x - 2) \cdot (x - 3)^2 \end{eqnarray*}$ .
Am Exponenten des Linearfaktors lässt sich also erkennen, welche Vielfachheit die Nullstelle $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ hat.
$\begin{eqnarray*} x_3 = 2 \end{eqnarray*}$ wäre entsprechend eine einfache Nullstelle.

Wir haben beispielhaft eine Polynomfunktion dritten Grades betrachtet mit der einfachen Nullstelle $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ (Vielfachheit $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ) sowie der doppelten Nullstelle $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ (Vielfachheit $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ).
Summieren wir die Vielfachheiten der Nullstellen, so ergibt sich $\begin{eqnarray*} 1 + 2 = 3 \end{eqnarray*}$ , was gleich dem Grad der Polynomfunktion ist.
Allgemein lässt sich sagen: Die Summe der Vielfachheiten der Nullstellen einer Polynomfunktion ist gleich dem Grad dieser Polynomfunktion.

An einer doppelten Nullstelle beträgt die Steigung des Graphen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Polynomfunktion $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Grades. $\begin{eqnarray*} x_{\text{N}} \end{eqnarray*}$ sei eine doppelte Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .
Folglich existiert ein Polynom $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ vom Grad $\begin{eqnarray*} n - 2 \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} f(x) = (x - x_{\text{N}})^2 \cdot r(x) \end{eqnarray*}$ .
Die Steigung des Graphen der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_{\text{N}} \end{eqnarray*}$ ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} f'(x_{\text{N}}) \end{eqnarray*}$ .
Man leite also $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ab.

Nach der Produkt- sowie der Kettenregel ist
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}((x - x_{\text{N}})^2) \cdot r(x) + (x - x_{\text{N}})^2 \cdot r'(x) = 2(x - x_{\text{N}}) \cdot r(x) + (x - x_{\text{N}})^2 \cdot r'(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r'(x) \end{eqnarray*}$ Ableitung von $\begin{eqnarray*} r(x) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Folglich gilt $\begin{eqnarray*} f'(x_{\text{N}}) = 2(x_{\text{N}} - x_{\text{N}}) \cdot r(x_{\text{N}}) + (x_{\text{N}} - x_{\text{N}})^2 \cdot r(x_{\text{N}}) = 0 \end{eqnarray*}$

q.e.d.

Geometrisch betrachtet bedeutet dies, dass der Graph der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_{\text{N}} \end{eqnarray*}$ berührt.

Ich hoffe, dies hilft dir.

25.12.2012, 15:18

Tipso

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Hi,

Frohe Weihnachten. x)

Ich lege auch schon los smile

Zitat:

An einer doppelten Nullstelle beträgt die Steigung des Graphen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

An einer einfachen doch auch.

Zitat:

Die Summe der Vielfachheiten der Nullstellen einer Polynomfunktion ist gleich dem Grad dieser Polynomfunktion.

Muss es aber nicht, es kann sowohl eine oder auch 0 oder zwei haben.
Bei zwei bin ich mir nicht ganz sicher.

Aber maximal dem höchsten Grad einer Polynomfunktion, wenn ich mich nicht irre.

Zitat:

[/QUOTE]

Habe ich verstanden.
Ich wollte im speziellen wissen ob es einen Unterschied zwischen einem einfachen oder doppelten Nullstelle gibt, dieser ist demnach rein vom Geometrischen betrachtet nicht so. Freude

Danke

25.12.2012, 15:26

Tipso

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offen ist noch der Extrempunkt

Zitat:

Warum darf ich hier nicht einsetzen?

Zitat:

Die doppelte Nullstelle bei x=-2 sagt dir, dass hier die Ableitung gleich Null ist und wir hier somit einen Extrempunkt haben.

Warum sagt mir eine doppelte Nullstelle das ich hier einen Extrempunkt habe?
Warum ist hier die Ableitung 0?

Zitat:

Extrempunkte:

Deine Extrempunkte sind falsch berechnet (Fehler bei der pq-Formel?). Die Lösungen sollten

$\begin{eqnarray*} x_1=-\frac23 x_2=-2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Das x=--2 ein Extrempunkt sein muss könnten wir an der doppelten Nullstelle erkennen. Außerdem siehst du auch in deinem unten angehängtem Bild, dass deine Lösungen nicht passen können.
smile

Warum sieht man es an der doppelten Nullstelle?`

Zitat:

Deine letzte Frage verstehe ich nicht ganz.

Zitat:

Warum darf ich $\begin{eqnarray*} \frac{8x}{3} \end{eqnarray*}$ hier $\begin{eqnarray*} \frac{8}{3} \end{eqnarray*}$ entnehmen, da mein x ja dann nicht durch 3 dividiert wird...

25.12.2012, 16:41

Tesserakt

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An einer einfachen Nullstelle ist die Steigung eben nicht $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , da der Graph ja die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse schneidet (also in diesem Punkt entweder steigt oder fällt).

Zitat:

Warum sagt mir eine doppelte Nullstelle das ich hier einen Extrempunkt habe? Warum ist hier die Ableitung 0?

Weshalb die Ableitung an diesem Punkt $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist, habe ich in meinem vorhergehenden Beitrag doch ausführlich mit einem Beweis abgehandelt.

Was dir sagt, dass hier ein Extremum vorliegt/vorliegen könnte? Nun, schaue dir doch die notwendige Bedingung für Extremstellen an. Augenzwinkern

Zitat:

Ich erhalte die Ergebnisse leider nicht: Hier mein Rechenweg:
[...]

Was daran liegt, dass du die pq-Formel schlichtweg falsch anwendest.
Es ist $\begin{eqnarray*} x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} \end{eqnarray*}$ .
Setze jetzt mal $\begin{eqnarray*} p = \frac{8}{3} \end{eqnarray*}$ (folglich $\begin{eqnarray*} \frac{p}{2} = \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ ) und $\begin{eqnarray*} q = \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ ein.

25.12.2012, 19:36

Tipso

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Hallo,

Zitat:

Ich erhalte die Ergebnisse leider nicht: Hier mein Rechenweg:
[...]

Zitat:

Original von Tesserakt
An einer einfachen Nullstelle ist die Steigung eben nicht $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , da der Graph ja die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse schneidet (also in diesem Punkt entweder steigt oder fällt).

Zitat:

Warum sagt mir eine doppelte Nullstelle das ich hier einen Extrempunkt habe? Warum ist hier die Ableitung 0?

Weshalb die Ableitung an diesem Punkt $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist, habe ich in meinem vorhergehenden Beitrag doch ausführlich mit einem Beweis abgehandelt.

Jetzt habe ich es verstanden. Leider kenne ich Polynomdivision nicht, jedoch habe ich es dennoch verstanden.

Zitat:

Was dir sagt, dass hier ein Extremum vorliegt/vorliegen könnte? Nun, schaue dir doch die notwendige Bedingung für Extremstellen an. Augenzwinkern

Erste Ableitung der Ausgangsfunktion 0 ist.

Freude

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Kurvendiskussionen - Aufgabe

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