Archimedische Spirale

24.12.2012, 10:16

mech_92

Archimedische Spirale

Meine Frage:
Eine archimedische Spirale wird
gemäß Formelsammlung durch die
Gleichung
$\begin{eqnarray*} r= r\left(phi\right) = a*phi \end{eqnarray*}$
in Polarkoordinaten beschrieben. In der
Papula-Formelsammlung ist
angegeben, dass die Länge s der
Spirale zwischen den Winkeln (phi)1 und
(phi)2 durch die Gleichung

$\begin{eqnarray*} s= \frac{a}{2} \left[phi*\sqrt{(phi)^2+1}+ln(phi+\sqrt{(phi)^2+1} ) \right] \end{eqnarray*}$

berechnet werden kann. Bestätigen Sie diese Formel, indem Sie in der Formelsammlung
die Gleichung für die Bogenlänge einer in Polarkoordinaten gegebenen
Kurve suchen und das entsprechende Integral lösen.

Meine Ideen:
Mein Problem ist das ich die Frage nicht versteh.. was muss ich überhaupt machen ? Muss ich einfach die eckige Klammer integrieren von phi 1 bis phi 2??

24.12.2012, 10:41

Mathewolf

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$\begin{eqnarray*} = r(\phi) = a\cdot\phi \end{eqnarray*}$ ist nur die r-Komponente der Kurvengleichung.

Die vollständige Gleichung lautet

$\begin{eqnarray*} \gamma(\phi)=r(\phi)\begin{pmatrix}\cos\phi \\ \sin\phi\end{pmatrix} = a\phi\begin{pmatrix}\cos\phi \\ \sin\phi\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du sollst jetzt die Bogenlänge im Intervall $\begin{eqnarray*} [\phi_1,\phi_2] \end{eqnarray*}$ berechnen und so den angegebenen Terem bestätigen.

24.12.2012, 10:57

mech_92

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Warum noch $\begin{eqnarray*} *\frac{cos(phi)}{sin(phi)} \end{eqnarray*}$ ?? In meiner Formelsammlung find ich nichts wo so aussieht ^^

muss ich jetzt also diese vollständige gleichung integrieren und dann müsste die Formel für die Bogenlänge rauskommen ?

24.12.2012, 12:15

Mathewolf

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Nicht $\begin{eqnarray*} \frac{cos(phi)}{sin(phi)} \end{eqnarray*}$

sondern

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\cos\phi \\ \sin\phi\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Letzteres ist ein Vektor, ersteres ein Quotient.

24.12.2012, 12:37

mech_92

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ist r indemfall der Ortsvektor? aber warum dann genau
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos(phi \\ sin(phi) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wie macht man den diese phi zeichen ?

24.12.2012, 13:27

Mathewolf

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Nein. Du musst dir klar machen, wie diese Kurve zustandekommt. Die Kurve wird aus unzählig vielen Punkten gebildet, die in einer bestimmten Beziehung zum Winkel stehen.
Jeder Punkt in einem zweidimensionalen Koordinatensystem, besitzt eine x-Koordinate und eine y-Koordinate. Bei einer parametrisierten Kurve, wie diese hier, sind die beiden Koordinaten der Punkte Funktionen bezüglich des Kurvenparameters.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist ein Ortsvektor zum Punkt P(x|y).

Nun haben wir es mit folgenden Gleichungen zu tun:

$\begin{eqnarray*} x(\phi)=a\phi\cos\phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y(\phi)=a\phi\sin\phi \end{eqnarray*}$ . Damit erhalten wir folgende Darstellung für die archimedische Spirale:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x(\phi) \\ y(\phi)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\phi\cos\phi \\ a\phi\sin\phi\end{pmatrix}=a\phi\begin{pmatrix} \cos\phi \\ \sin\phi\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Alles klar?

24.12.2012, 13:30

Che Netzer

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Zitat:

Original von mech_92
wie macht man den diese phi zeichen ?

Entweder per \phi (ergibt $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ) wie bei Mathewolf oder mit \varphi (ergibt $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ) – was ich persönlich schöner finde. (Aber nicht beides mischen!)

24.12.2012, 17:41

Huggy

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Mir scheint, hier wird ein Umweg zur Lösung der Aufgabe vorgeschlagen. Laut Aufgabe soll die Gleichung für die Bogenlänge einer in Polarkoordinaten gegebenen Kurve verwendet werden. Dazu ist es aber nicht notwendig, die in Polarkoordinaten gegebene Parameterdarstellung der Kurve in kartesische Koordinaten umzurechnen.

Ich habe den Papula nicht, aber dort sollte man folgende Formel finden:

$\begin{eqnarray*} s=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} \sqrt {r^2(\varphi)+r'^2(\varphi)}d \varphi \end{eqnarray*}$

Dieses Integral ist mit $\begin{eqnarray*} r(\varphi)=a \varphi \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

20.01.2013, 12:05

mech_92

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sry für die späte Antwort ich konnte das problem jedoch lösen. Mann musste einfach die Formel im Papula Integrieren und einsetzen trotzdem vielen dank smile

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