limes sin(x^2)/x

24.12.2012, 13:15

seems

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limes sin(x^2)/x

Meine Frage:
Hi!
Ich hoffe ich hab nichts falsch reingestellt. Bin grad neu hier.

Mein Problem betrifft Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2) }{x} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Man sieht ja sofort, dass ein unbestimmter Ausdruck (" $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ ") herauskommt.
Deshalb hab ich erstmal l'Hospital angewendet:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{2x\cos(x²)*x-\sin(x²)}{x²} \end{eqnarray*}$
Etwas vereinfacht:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} 2\cos(x²)-\frac{\sin(x²) }{x²} \end{eqnarray*}$ = " $\begin{eqnarray*} 2-\frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ "
An dieser Stelle komme ich nicht weiter, weil man ja immer noch einen unbestimmten Ausdruck hat und je mehr ich l'Hospital anwende desto mehr drehe ich mich im Kreis, weil das Problem mit $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ " immer bestehend bleibt.

24.12.2012, 13:22

Che Netzer

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RE: limes sin(x^2)/x

Zitat:

Original von seems
Deshalb hab ich erstmal l'Hospital angewendet
\Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{2x\cos(x²)*x-\sin(x²)}{x²}

Hast du nicht... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber auch bei richtiger Anwendung von l'Hospital würde man $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ schreiben. Die Aussage ist ja gerade, dass die Grenzwerte gleich sind – außerdem verknüpfen Implikationspfeile nur Aussagen.

24.12.2012, 13:24

seems

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RE: limes sin(x^2)/x
versteh ich nich ganz ^^ warum hab ich l'Hospital nicht angewendet ich hab doch abgeleitet? Ist die ableitung falsch? Und danke für die Anmerkung bei den Formfehlern :p

24.12.2012, 13:26

Che Netzer

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RE: limes sin(x^2)/x
Ja, aber sieh dir nochmal an, was l'Hospital überhaupt aussagt.
Es ist ja auch $\begin{eqnarray*} 0=\lim_{x\to0}x\neq\lim_{x\to0}\frac\dd\dx x=\lim_{x\to0}1=1 \end{eqnarray*}$ .

Edit: Die Ableitung des Quotienten sieht aber richtig aus.

24.12.2012, 13:35

seems

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RE: limes sin(x^2)/x
Ja aber hier liegt doch ein unbestimmter Ausdruck vor. Dann gilt l'Hospital doch. Dann müsste also der Grenzwert = der Ableitung des Grenzwertes sein. Das blöde ist nur hierbei, dass ich so oft ich l'Hospital auch anwende immer mehr unbestimmte Ausdrücke herausbekommen. Ich hab mich auch schon gefragt ob es vllt. ne Rechenregel bei Grenzwerten gibt, die ich übersehen haben könnte oder ob ich die Ableitung nicht weit genug vereinfacht hab. smile

smile

24.12.2012, 13:38

Che Netzer

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RE: limes sin(x^2)/x
Ich kann mich nur wiederholen:

Zitat:

Original von Che Netzer
sieh dir nochmal an, was l'Hospital überhaupt aussagt.

Wenn du in meinem Gegenbeispiel $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}x \end{eqnarray*}$ schreibst, erhältst du auch einen unbestimmten Ausdruck.

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24.12.2012, 13:41

seems

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RE: limes sin(x^2)/x
Wenn ich dich jetzt richtig verstehe liefert mir l'Hospital kein Ergebnis, oder? Wie komme ich denn dann zu dem Grenzwert? :/

24.12.2012, 13:42

Che Netzer

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RE: limes sin(x^2)/x

Zitat:

Original von seems
Wie komme ich denn dann zu dem Grenzwert? :/

Mit l'Hospital Big Laugh

Big Laugh

– richtig angewandt.
Und um ihn richtig anwenden zu können, solltest du nachsehen, was die Aussage ist.

24.12.2012, 13:53

seems

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RE: limes sin(x^2)/x
Für Grenzwerte, die auf unbestimmte Ausdrücke der Form " $\begin{eqnarray*} \frac{\infty }{\infty } \end{eqnarray*}$ " oder " $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ " führen gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0} } \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_{0} } \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$
In meinem Fall ist das $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0 } \frac{sin(x^2)}{x^2} \end{eqnarray*}$ = " $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ ".
Daher gilt l'Hospital: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0 } \frac{sin(x^2)}{x^2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0 } 2cos(x^2)-\frac{sin(x^2)}{x^2} \end{eqnarray*}$ . Wo liegt jetzt mein Fehler? verwirrt

verwirrt

24.12.2012, 13:55

Che Netzer

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RE: limes sin(x^2)/x
Was ist dein $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und was dein $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ ?
Sieh dir genau an, was du ableiten musst.

24.12.2012, 14:00

seems

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RE: limes sin(x^2)/x
OH jetzt seh ichs. Ich hab den ganzen Term mithilfe der Quotientenregel abgleitet aber ich muss einfach nur sin(x²) und x ableiten ^^.
Also $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to } \frac{\sin(x^2)}{x} = \lim_{x \to 0} 2xcos(x^2) \end{eqnarray*}$

24.12.2012, 14:11

Che Netzer

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RE: limes sin(x^2)/x
So stimmt es. Und der Grenzwert dürfte jetzt leichter zu berechnen sein.

24.12.2012, 14:14

seems

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RE: limes sin(x^2)/x
vielen dank ^^

24.12.2012, 14:25

Mystic

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RE: limes sin(x^2)/x
Noch einfacher wäre m.E. gewesen wie folgt umzuformen

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x^2)}x=\lim_{x\to 0} x \cdot \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^2)}{x^2} \end{eqnarray*}$

wobei man natürlich wissen muss, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}h \end{eqnarray*}$

die Ableitung des Sinus an der Stelle 0 ist...

24.12.2012, 14:29

Che Netzer

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RE: limes sin(x^2)/x
Ich fände es mit $\begin{eqnarray*} \left\lvert\frac{\sin x^2}x\right\rvert\leq\left\lvert\frac{x^2}x\right\rvert \end{eqnarray*}$ am einfachsten, wenn $\begin{eqnarray*} \sin y\leq y \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y\geq0 \end{eqnarray*}$ bekannt ist.

24.12.2012, 14:45

mr. m

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Ich benutze einfach immer stumpf l hospital, egal ob undefinierter ausdruck oder nicht.
so lässt sich der grenzwert viel besser ablesen.
bisher klappte es immer idiotensicher

24.12.2012, 14:49

Che Netzer

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Bei etwas wie $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}\frac x{\cos x} \end{eqnarray*}$ klappt das aber ganz sicher nicht verwirrt

verwirrt

26.12.2012, 01:50

qed

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RE: limes sin(x^2)/x
Hallo!

Ich hoffe, ich darf den Thread kurz für eine kleine Zwischenfrage missbrauchen.

Gehe ich recht in der Annahme, dass folgendes zulässig ist?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x \cdot \lim_{x \to 0} \frac {sin(x^2)} {x^2} = 0 \cdot \lim_{x \to 0} \frac {sin(x^2)} {x^2} = 0. \end{eqnarray*}$

Da man ja auf zwei separate Grenzwertausdrück aufgespalten hat, ist es kein Problem, den einen zu evaluieren, den anderen aber nicht,

Die

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac {sin(x^2)} {x^2} = \lim_{x \to 0} \frac {0} {x^2} \end{eqnarray*}$

ist dagegen aber nicht zulässig, da man den Grenzwert dann gewissermaßen nur auf die Hälfte des Ausdrucks angewandt hätte, oder?

Ein Aufspalten mit jeweil einem Limes in Zähler und Nenner führt dann zum undefinierten Ausdruck aus der Anfangsfrage.

Ist das alles richtig so weit?

Vielen Dank und frohe Feiertage!
LG

26.12.2012, 02:01

Che Netzer

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RE: limes sin(x^2)/x
Genau die erste Rechnung wurde auch von Mystic vorgeschlagen. Edit: Moment. Die erste Rechnung ist nur dann komplett richtig, wenn man weiß, dass der zweite Grenzwert/Faktor existiert. Das scheint dir vielleicht noch nicht klar zu sein.
Die zweite ist natürlich falsch, sonst wäre auch $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}1=\lim_{x\to0}\frac xx=\lim_{x\to0}\frac0x=0 \end{eqnarray*}$ .
Stichwort sind Grenzwertsätze.

26.12.2012, 02:17

qed

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RE: limes sin(x^2)/x
Super!
Danke für deine Hilfe!

Dass der linke Grenzwert existiert ist trivial.
Das der rechte existiert allerdings nicht so ganz smile

smile

Laut dem Post von Mystic existiert der rechte aber auch und hat den Wert 1 - oder?

26.12.2012, 02:32

Che Netzer

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RE: limes sin(x^2)/x
Genau. Ist auch bekannt/verständlich, wieso?

26.12.2012, 02:43

qed

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Nicht so ganz smile

smile

ich versuch das nach zu vollziehen und meld mich gleich nochmal smile

smile

26.12.2012, 03:00

qed

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Ok, also:

$\begin{eqnarray*} \sin'(x_0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac {\sin(x_0+ h) - \sin(x_0)} {h} \end{eqnarray*}$

und für $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sin'(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac {\sin(0+ h) - \sin(0)} {h} \end{eqnarray*}$ .

Aufspalten führt zum berüchtigten sinnlosen Ausdruck "0/0".

Mit L´Hospital folgt dann $\begin{eqnarray*} \sin'(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac {\sin(h) - \sin(0)} {h} = \lim_{h \rightarrow 0} \cos(x) = 1 \end{eqnarray*}$ .

Richtig so weit?

Aufgefallen wär mir das aber selber nicht smile

smile

Könntest du mir vielleicht noch ein Beispiel zeigen - das sich irgendwie ähnlich entwickelt?

26.12.2012, 07:38

Mystic

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Zitat:

Original von qed
Mit L´Hospital folgt dann $\begin{eqnarray*} \sin'(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac {\sin(h) - \sin(0)} {h} = \lim_{h \rightarrow 0} \cos(x) = 1 \end{eqnarray*}$ .

Die Anwendung von L'Hospital ist es gerade, welche ich vermeiden wollte und das wäre hier im Übrigen auch eine Katze, die sich in den Schwanz beißt... geschockt

geschockt

Nein, man verwendet hier einfach das "Wissen", dass der Sinus abgeleitet den Cosinus ergibt und setzt dann an der Stelle 0 ein...

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