Integral - Flächen berechnen

24.12.2012, 21:29

Tipso

Integral - Flächen berechnen

Hallo,

Hier eine Aufgabe, die es in sich hat und mich vor mehreren Problemen stellt:

Wie groß ist das endliche Flächenstück, welches die Abszissenachse mit der Kurve

$\begin{eqnarray*} y = x^4 - 2x^2 + 1 \end{eqnarray*}$ bildet?

Was muss ich machen?

Integral von der Fläche berechnen, die gesucht ist.
Wie berechne ich diese Fläche?
Ich zuerst eine Skizze anfertigen?
Oder woher weiß ich, wie meine Fläche aussieht, nur rechnerisch?
Brauche ich da unbedingt einen Graphen?

Weitere Berechnungen:

Nullstellen:
$\begin{eqnarray*} 0 = x^4 - 2x^2 + 1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Alternative Vorgehensweise?
Faktorisieren geht ja hier nicht, da ich durch x dividieren würde und durch 0 darf man nicht dividieren??

Horner
N_1 = -1
Durch Teiler herausgefunden.

3. Grad
x^3 -x^2-x+1

2.Grad
x^2-1

Zitat:

Ich erhalte 2x die Nullstelle 1. Warum? Was sagt dies mir?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Extrempunkte:

$\begin{eqnarray*} y' = 4x^3 - 4x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 4x^3 - 4x \end{eqnarray*}$ /4

$\begin{eqnarray*} 0 = x^3 - x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\left(x^2-x\right) \end{eqnarray*}$

1. Extrempunkt = 0?

$\begin{eqnarray*} \left(1^2-1\right) = 0 \end{eqnarray*}$

2. Extrempunkt = 1

$\begin{eqnarray*} y' = 4x^3 - 4x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'' = 12x^2 - 4 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Mir fehlt ein Extrempunkt auf -1???

(0) = 12*0^2 - 4= 0

Zitat:

Bei 0 ist kein Extrempunkt aber wir haben 0 als Extrempunkt erhalten??

(1) = 12*1^2 - 4 = 8
Tiefpunkt bei 1?

lg

24.12.2012, 21:36

Mulder

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RE: Integral - Flächen berechnen
Du schießt irgendwie mit Kanonen auf Spatzen. Horner? verwirrt

$\begin{eqnarray*} x^4-2x^2+1 = (x^2-1)^2 \end{eqnarray*}$

Da kann man die Nullstellen 1 und -1 direkt abesen. Dass du diese Nullstellen zwei Mal erhälst, bedeutet eben, dass es doppelte Nullstellen sind. Hat für diese Rechnungen hier eigentlich keine weitere Bedeutung.

Warum rechnest du eigentlich Extrempunkte aus? Brauchst du doch gar nicht.

Du willst nur die Fläche berechnen.

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^1 (x^4-2x^2+1) \, \dd x \end{eqnarray*}$

Einfach ausrechnen jetzt.

PS: Eine Extremstelle geht dir verloren, weil du falsch ausklammerst. Aus

$\begin{eqnarray*} 0 = x^3 - x \end{eqnarray*}$

machst du

$\begin{eqnarray*} 0=x(x^2-x) \end{eqnarray*}$

Ist aber falsch. Richtig wäre

$\begin{eqnarray*} 0=x(x^2-1) \end{eqnarray*}$

24.12.2012, 21:37

Cheftheoretiker

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RE: Integral - Flächen berechnen
Hi,

um die Fläche zu berechnen musst du von Nullstelle zu Nullstelle integrieren. D.h. du musst als erstes die Nullstelle von $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ berechnen. Als Tipp, versuch mal zu substituieren oder eben direkt ablesen. smile

Edit: Zu spät

24.12.2012, 21:42

Tipso

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Die Berechnung des Flächenstücks:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 \! x^4 - 2x^2 + 1 \, dx \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{x^5}{x}- 2*\frac{x^3}{3}+ x \right]_{-1}^{1} \end{eqnarray*}$

Hoffe, es ist soweit richtig.
Nach einsetzen erhalte ich folgende Ergebnisse, welche falsch sind.

Die Lösung, laut Lösungsbuch lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

für

1 = 0,2 - 0,677 + 1 = 0,53333333

-1 = -0,2 - (-0,677) - 1 =

A = - 1,333366667

Es ist eine negative Zahl..
$\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ = 1,333333

lg

24.12.2012, 21:43

Tipso

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RE: Integral - Flächen berechnen

Zitat:

Original von Cheftheoretiker
Hi,

um die Fläche zu berechnen musst du von Nullstelle zu Nullstelle integrieren. D.h. du musst als erstes die Nullstelle von $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ berechnen. Als Tipp, versuch mal zu substituieren oder eben direkt ablesen. smile

Edit: Zu spät

Ich lese immer ab, jedoch muss ich lernen, diese rechnerisch zu erhalten.

Bitte um Links zur Lektüre dazu.

lg

24.12.2012, 21:54

Cheftheoretiker

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RE: Integral - Flächen berechnen

Zitat:

Original von Tipso
Ich lese immer ab, jedoch muss ich lernen, diese rechnerisch zu erhalten.

Bitte um Links zur Lektüre dazu.

lg

Du hast hier die Möglichkeit zu substituieren oder wenn du es direkt siehst handelt es sich hierbei um eine binomische Formel. smile

Weißt du wie man Gleichungen per Substitution löst? In dem Fall ist es aber wesentlich ökonomischer wenn man direkt die binomische Formel erkennt. smile

24.12.2012, 22:14

Tipso

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RE: Integral - Flächen berechnen

Zitat:

Original von Mulder
Du schießt irgendwie mit Kanonen auf Spatzen. Horner? verwirrt

Alles klar.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^1 (x^4-2x^2+1) \, \dd x \end{eqnarray*}$

Einfach ausrechnen jetzt.

Habe ich gemacht, siehe oben.

Zitat:

PS: Eine Extremstelle geht dir verloren, weil du falsch ausklammerst. Aus

$\begin{eqnarray*} 0 = x^3 - x \end{eqnarray*}$

machst du

$\begin{eqnarray*} 0=x(x^2-x) \end{eqnarray*}$

Ist aber falsch. Richtig wäre

$\begin{eqnarray*} 0=x(x^2-1) \end{eqnarray*}$

24.12.2012, 22:16

Tipso

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RE: Integral - Flächen berechnen

Zitat:

Original von Cheftheoretiker

Zitat:

Original von Tipso
Ich lese immer ab, jedoch muss ich lernen, diese rechnerisch zu erhalten.

Bitte um Links zur Lektüre dazu.

lg

Du hast hier die Möglichkeit zu substituieren oder wenn du es direkt siehst handelt es sich hierbei um eine binomische Formel. smile

Weißt du wie man Gleichungen per Substitution löst? In dem Fall ist es aber wesentlich ökonomischer wenn man direkt die binomische Formel erkennt. smile

Ich weiß leider weder das eine noch das andere..

Ich substituiere y(1) und y(-1)

lg

25.12.2012, 17:27

Stefan03

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Weißt du überhaupt, was Substitution bedeutet?

Vielleicht hilft dir das weiter:

www.arndt-bruenner.de/mathe/pdf/biquadra...leichungen1.pdf

25.12.2012, 20:03

Tipso

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Zitat:

Original von Stefan03
Weißt du überhaupt, was Substitution bedeutet?

Vielleicht hilft dir das weiter:

www.arndt-bruenner.de/mathe/pdf/biquadra...leichungen1.pdf

Danke, hab es mir durchgelesen. Ist mir neu. Wir machen das immer (nur)mit dem Horner. smile

Offen ist noch die Berechnung der richtigen Fläche:

Zitat:

Original von Tipso
Die Berechnung des Flächenstücks:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 \! x^4 - 2x^2 + 1 \, dx \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{x^5}{5}- 2*\frac{x^3}{3}+ x \right]_{-1}^{1} \end{eqnarray*}$

Hoffe, es ist soweit richtig.
Nach einsetzen erhalte ich folgende Ergebnisse, welche falsch sind.

Die Lösung, laut Lösungsbuch lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

für

1 = 0,2 - 0,677 + 1 = 0,53333333

-1 = -0,2 - (-0,677) - 1 = -1,86666

A = - 1,333366667

Es ist eine negative Zahl..
$\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ = 1,333333

lg

Da die Fläche immer positiv ist, stimmt mein Ergebnis.(Etwas aufgerundet).

lg

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