Integrieren - Flächen berechnen

24.12.2012, 22:10

Tipso

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Integrieren - Flächen berechnen

Hallo,

Meine letzte Integral Aufgabe für Weihnachten:

Gegeben ist eine Kurve mit der Funktionsgleichung $\begin{eqnarray*} y = x^3 - 4x^2 - x + 4 \end{eqnarray*}$ .

Ermittle die Nullstellen $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (x_1< x_2 <x_3) \end{eqnarray*}$ und berechne

Frage:
Was bedeutet bzw. sagt mir dies:

$\begin{eqnarray*} (x_1< x_2 <x_3) \end{eqnarray*}$

(1)
den Flächeninhalt zwischen $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ .

(2)

(3)

-----------------------------------------------------------------------------------

Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} y = x^3 - 4x^2 - x + 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = x^3 - 4x^2 - x + 4 \end{eqnarray*}$

Faktorisieren

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x\left(x^2 - 4x -1 + \frac{4}{x} \right) \end{eqnarray*}$

Geht dies so??

N_1 = 0

Horner:

1. Lösung durch Teiler

N_1= 1

x^2 - 3x - 4

Zitat:

Geht hier Pq-Formel also die kleine Formel?

N_2 = 3,845

N_3 = - 0,845

Edit:
Habe nun die richtigen Ergebnisse erhalten:

N_2 = 4

N_3 = -1

lg

24.12.2012, 22:30

Tipso

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Ich versuche den Integral für die Flächenberechnung aufzustellen, bitte um Überprüfung ob dieser stimmt, da meine Ergebnisse nicht stimmen.

lg

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 \! x^3-4x^2-x+4 \, dx + \int_1^4 \! x^3-4x^2-x+4 \, dx \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{x^4}{4}-4\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2} + 4x \right]_{-1}^{1} + \left[\frac{x^4}{4}-4\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2} + 4x \right]_{1}^{4} \end{eqnarray*}$

lg

25.12.2012, 17:22

Stefan03

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RE: Integrieren - Flächen berechnen

Zitat:

Original von Tipso

Frage:
Was bedeutet bzw. sagt mir dies:

$\begin{eqnarray*} (x_1< x_2 <x_3) \end{eqnarray*}$

Das sagt dir nur, dass du die NS der Größe nach anordnen sollst/kannst.

und zu deiner Fläche:

Inwiefern stimmt dein Ergebnis nicht? Wenns um Flächen geht, sollte man immer den Betrag nehmen...Weil bei deiner Lsg. ist das Integral ja negativ, aber einen neg. Flächeninhalt gibts nicht.

Und beim 1 .Summanden hast du dich wohl bei der oberen Grenze verschrieben, die muss 1 statt 4 sein...

edit: Und 0 ist keine NS...Aber die richtigen NS hast ja eh in der 2. Hälfte deines Posts stehen

25.12.2012, 19:49

Tipso

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Zitat:

Original von Tipso
Ich versuche den Integral für die Flächenberechnung aufzustellen, bitte um Überprüfung ob dieser stimmt, da meine Ergebnisse nicht stimmen.

lg

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 \! x^3-4x^2-x+4 \, dx + \int_1^4 \! x^3-4x^2-x+4 \, dx \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{x^4}{4}-4\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2} + 4x \right]_{-1}^{1} + \left[\frac{x^4}{4}-4\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2} + 4x \right]_{1}^{4} \end{eqnarray*}$

Hallo, habe es ausgebessert:

Ergebnis:

2,41666 - (-2,583333) = 5

- 13,33333 - 2,416666 = 15,75

= 20,75

Lösung laut Lösungsbuch:
21,0833333

Dazu ist es sehr verwirrend mit den Flächenergebnissen, da diese von einander abgezogen werden.
Also ich nehme immer positive Werte?

Demnach hätte ich:

2,41666 - 2,583333 =

13,33333 - 2,416666 =

Die Ergebnisse sind falsch..

lg

26.12.2012, 09:29

Stefan03

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Hi,

also wenn ich die Integrale ausrechne, komme ich auch das richtige Ergebnis. Das 1. Integral ist 5,33.

Du bei Flächeninhalten nimst du den Betrag des gesamten Ingetrals...sprich

$\begin{eqnarray*} A= \left| \left[\frac{x^4}{4}-4\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2} + 4x \right]_{-1}^{1} \right|+ \left| \left[\frac{x^4}{4}-4\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2} + 4x \right]_{1}^{4}\right| \end{eqnarray*}$

Die Integrale ansich rechnest du ganz normal aus...

26.12.2012, 17:14

Tipso

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Hi,

Habe es nochmals berechnet.

1. Integral

5,3333

Wenn dieser negativ wäre, würde ich dennoch als positive Zahl mitnehmen wegen dem Betrag, wenn ich mich nicht irre?

2. Integral

- 13,33333 - 2,416666 = 15,75

Gesamtintegral

21,08

lg Freude

Freude

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26.12.2012, 17:15

Stefan03

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Zitat:

Original von Tipso

Wenn dieser negativ wäre, würde ich dennoch als positive Zahl mitnehmen wegen dem Betrag, wenn ich mich nicht irre?

ja, so machst du es ja beim 2. Integral auch...

26.12.2012, 17:16

Tipso

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Die Aufgabe geht dann noch weiter:

(2)
das bestimmte Integral von f zwischen x_1 und x_2!

f = dabei meine Funktion.

(3)
Warum muss man bei (1) auf x_2 achte, bei (2) nicht?

Weil es sich beim ersten um das Flächenintegral handelt und beim zweiten nur um das Integral.

Beim Flächenintegral gibt es kein negative, da es keine negativen Flächen gibt.

lg

26.12.2012, 17:24

Stefan03

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Die (2) hast du ja schon gelöst...

Und bei der (3) ist dein Argument falsch.

Was ist denn x2=1 bei deinem Graphen? Was muss man mit "solchen Stellen" machen, wenn man integriert bzw. warum darf man nicht einfach drüberintegrieren?

26.12.2012, 17:28

Tipso

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Zitat:

Original von Stefan03
Die (2) hast du ja schon gelöst...

Und bei der (3) ist dein Argument falsch.

Was ist denn x2=1 bei deinem Graphen? Was muss man mit "solchen Stellen" machen, wenn man integriert bzw. warum darf man nicht einfach drüberintegrieren?

Ich habe doch den Flächeninhalt berechnet.
a.
Also ich müsste 5,333 - 13,333 berechnen um das Integral zu erhalten?
Also A = - 8

b.
Verstehe ich leider nicht.

lg

26.12.2012, 17:46

Stefan03

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Bei der (2) sollst du nur das Integral von -1 bis 1 berechnen und nicht den gesamten Flächeninhalt (also nicht zusätzlich von 1 bis 4)

Und bei der (3) x2=1 ist eine Nullstelle und man darf nicht über Nullstellen integrieren...

26.12.2012, 18:16

Tipso

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Zitat:

Original von Stefan03
Bei der (2) sollst du nur das Integral von -1 bis 1 berechnen und nicht den gesamten Flächeninhalt (also nicht zusätzlich von 1 bis 4)

Und bei der (3) x2=1 ist eine Nullstelle und man darf nicht über Nullstellen integrieren...

Also (1) haben wir gemacht. Bzw. (2)

von -1 bis 1 und von 1 bis 4

Beim (3)

x_2 = 1
Wir dürfen nicht über eine Nullstelle integrieren, was machen wir hier?
Wir berechnen einfach von -1 bis 1 und von 1 bis 4, wie üblich?

Oder wir ziehen -1 bis 1 von 1 bis 4 ab, da diese negativ ist?
Ehrlich gesagt, verstehe ich das Problem nicht.

lg

26.12.2012, 18:28

Stefan03

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Naja, du spaltest das Integral von -1 bis 4 in 2 Integrale auf, wenn du den Flächeninhalt berechnen willst, nämlich bin -1 bis 1 und von 1 bis 4.

Würdest du sofort von -1 bis 4 integrieren, kommt nicht der richtige Flächeninhalt heraus, weil eben bei 1 eine NS des Graphen ist und man nicht über eine NS integrieren darf.

26.12.2012, 19:04

Tipso

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Zitat:

Original von Stefan03
Naja, du spaltest das Integral von -1 bis 4 in 2 Integrale auf, wenn du den Flächeninhalt berechnen willst, nämlich bin -1 bis 1 und von 1 bis 4.

Würdest du sofort von -1 bis 4 integrieren, kommt nicht der richtige Flächeninhalt heraus, weil eben bei 1 eine NS des Graphen ist und man nicht über eine NS integrieren darf.

haben wir ja schon bei der Nr. 1 gemacht.

Wie lautet nun das Integral von f zwischen x_1 und x_3!

Wir haben den Flächeninhalt berechnet indem wir es aufspalten.

21,08.

(2)

Integral zwischen x_1 und x_2

Wir ziehen x_2 von x_1 ab.
Weil x_2 negativ ist. Da sich bei einer Nullstelle die Fläche von negativ in positiv oder umgekehrt ändert, dies muss man beim berechnen des Flächeninhaltes berücksichtigen indem man den Betrag davon nimmt.

Habe ich glaube richtig verstanden.

lg

06.01.2013, 02:04

Tipso

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Zitat:

Original von Stefan03
Hi,

also wenn ich die Integrale ausrechne, komme ich auch das richtige Ergebnis. Das 1. Integral ist 5,33.

Du bei Flächeninhalten nimst du den Betrag des gesamten Ingetrals...sprich

$\begin{eqnarray*} A= \left| \left[\frac{x^4}{4}-4\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2} + 4x \right]_{-1}^{1} \right|+ \left| \left[\frac{x^4}{4}-4\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2} + 4x \right]_{1}^{4}\right| \end{eqnarray*}$

Die Integrale ansich rechnest du ganz normal aus...

Beim ersten Integral könnte der Betrag weggelassen werden.

Wäre nett wenn mir jemand die offenen Fragen beantworten könnte.

lg

09.01.2013, 02:20

Tipso

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Hallo,

Offen ist noch:

Zitat:

Original von Stefan03
Naja, du spaltest das Integral von -1 bis 4 in 2 Integrale auf, wenn du den Flächeninhalt berechnen willst, nämlich bin -1 bis 1 und von 1 bis 4.

Würdest du sofort von -1 bis 4 integrieren, kommt nicht der richtige Flächeninhalt heraus, weil eben bei 1 eine NS des Graphen ist und man nicht über eine NS integrieren darf.

haben wir ja schon bei der Nr. 1 gemacht.

Wie lautet nun das Integral von f zwischen x_1 und x_3!

Wir haben den Flächeninhalt berechnet indem wir es aufspalten.

21,08.

(2)

Integral zwischen x_1 und x_2

Wir ziehen x_2 von x_1 ab.
Weil x_2 negativ ist. Da sich bei einer Nullstelle die Fläche von negativ in positiv oder umgekehrt ändert, dies muss man beim berechnen des Flächeninhaltes berücksichtigen indem man den Betrag davon nimmt.

Habe ich glaube richtig verstanden.

lg

Edit:

Desweiteren eine Frage zu der Berechnung der Nullstellen ohne Horner und ohne Substitutionsmethode.

Faktorisieren ist hier nicht möglich ..

$\begin{eqnarray*} y = x^3 - 4x^2 - x + 4 \end{eqnarray*}$

15.01.2013, 01:10

Tipso

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Hallo,

Vor allem dies wäre schon noch sehr wichtig:

Zitat:

Desweiteren eine Frage zu der Berechnung der Nullstellen ohne Horner und ohne Substitutionsmethode.

Faktorisieren ist hier nicht möglich ..

$\begin{eqnarray*} y = x^3 - 4x^2 - x + 4 \end{eqnarray*}$

lg

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