Spiegelung an der Geraden ist ein Endomorphismus

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mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
Spiegelung an der Geraden ist ein Endomorphismus
Meine Frage:
Hallo alle zusammen.
Erstmal wünsche ich jedem frohe Weihnachten bzw. schöne Feiertage.

So, nun zu der Aufgabe. Augenzwinkern
Die Spiegelung an der Geraden ist ein Endomorphismus .
a) Beschreiben Sie durch eine Matrix bzgl. der Standardbasis.
b) Beschreiben Sie durch eine Matrix bzgl. der Basis .

Meine Ideen:
zu a)
Ich habe mir ein Koordinatensystem gezeichnet. Und dann durch den Punkt (1/1) die Spiegelgerade gezeichnet. Dann habe ich einfach die Vektoren und genommen. Das bedeutet dann: und . Also wäre die Matrix .
Stimmt das so? Ich bin mir bei dem Vorzeichen von nicht sicher.

zu b)


Bedeutet:


Damit ist die Matrix:.
Stimmt das so?

Danke schonmal.
Sorall Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

zu deiner Aufgabe a)

meiner Meinung nach ist die Matrix nicht richtig. Du sollst ja die Matrix bzgl. der "Standardbasis" bestimmen. Überlege dir hierzu, wohin die beiden Vektoren gespiegelt werden. Anhand davon kann man dann die Matrix recht einfach bestimmen, denn der erste Einheitsvektor ergibt die erste Spalte der MAtrix und der zweite die zweite Spalte.
Zum überprüfen bietet sich hier an, dass du die Gerade an der du spiegelst mit der Matrix abbildest. Was müsste da herrauskommen?
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »

Na klar ... dumm von mir.
Wenn ich das spiegel heißt das:


Damit ist die Matrix:


Stimmt das? Bezweifel es irgendwie, da ich jetzt sozusagen die selben Werte dastehen habe mit denen e1 und e2 beschrieben werden.

Ist meine Lösung bei b richtig? (man müsste dort dann das e2 wegnehmen...)
Sorall Auf diesen Beitrag antworten »

Also zu a). Freude
Ja das Ergebnis ist richtig. Die Matrix spiegelt um die gegebene Achse.

zu b) da ist meine ich auch noch nen Fehler drinne. Bei der Linearkombination musst du gucken, wie du die neuen Basisvektoren aus den alten errechnen kannst.

Rangehen würde ich hier nun so, dass du dir erstmal überlegst, wie dein neues Koordinatensystem bzgl. des alten aussieht (vllt. liegt ja irgendein Punkt von vorher auf einer der neuen Koor.-Achsen). Dazu kannst du dir dann eine Matrix überlegen, der die alten Achsen auf die neuen Achsen abbildet. Die "Matrix" dazu hast du "imprinzip" schon irgendwo, irgendwie stehen.

Wenn du dann diese Matrix, womit das Koordinatensystem gedreht wurde auf deine Spiegelungsachse anwendest, erhälst du die neue Drehachse mit der du dann analog wie in a) die Spiegelungsmatrix berechnen kannst.

btw. Dreh- bzw. Spiegelungsmatrizen haben immer die Determinante +1 oder -1.
Ist ganz hilfreich um zu sehen, ob deine Matrix (im ) denn nun auch spiegelt (-1) oder dreht (+1).
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Jetzt scheint's ein bissl verwirrender zu werden.

Also, wenn ich wieder ein Koor.-system nehme, und die Spiegelgerade reinzeichne, so wie die Vektoren die gegeben sind, dann stell ich fest, der zweite Vektor (b2) liegt auf der Geraden. Was bedeuten würde, wenn ich ihn spiegel, komme ich wieder auf dasselbe. Oder? Und wenn ich jetzt den ersten Vektor (b1) nehme, dann landet der bei (1/-1) oder?

Ist das bis hierhin richtig?
Sorall Auf diesen Beitrag antworten »

Hoffe im folgenden kann ich deine Unklarheiten beseitigen (und nicht nochmehr aufwerfen...:-P)

Also deine Beobachtungen sind "richtig" jedoch musst du beachten, dass du die Spiegelungschse bei dem Basiswechsel auch noch umrechnen musst. du kannst ja nicht einfach nur das Koordinatenkreuz drehen und dann die alte Spiegelungsgerade betrachten...soweit klar?

Sprich überlege dir inwievern sich dein neues Koordinatensystem vom alten unterscheidet, bzw. was mit dem alten gemacht wurde...vllt. gedreht oder gespiegelt!?
Das selbe was du mit dem Koordinatenkreuz gemacht hast wendest du dann auch auf die Spiegelungsachse an.
Sprich wenn das Koordinatenkreuz, um sage ich mal bzw. gedreht wurde verändert dass die Spiegelungsachsachse

Wenn du dir dass überlegt hast, wo deine Spiegelungsachse im neuen Koordinatensystem liegt, dann hast du die neue Achse und dann überlegst du dir, was diese Spiegelungsachse mit deinen ALTEN Basisvektoren macht. Der daraus resultierende Zusammenhang stellt dann deine Matrix dar.

Alternativ kannst du es aber auch übere eine Basiswechselmatrix machen (falls schon bekannt).
Sprich überlegst dir wie eine Basiswechselmatrix aussieht, die die alten & neuen Basisvektoren aufeinander abbildet.
Letzteres ist wahrscheinlich "einfacher" durchzuführen, jedoch bleibt da unter Umständen das Verständnis für das was man macht auf der Strecke....Augenzwinkern
 
 
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist dir gelungen Augenzwinkern .

Also ... (hoffe, dass es stimmt.)
Ich würde jetzt sagen, dass die Spiegelgerade um 45° gedreht wurde. Sprich, wenn man es in der !alten" Form lässt wären e1 und e2 das b1 und b2. Wenn nun die Spiegelgerade in der "neuen" Form auf der y- Achse liegt, wäre sowohl die x- als auch die y-Koord. 0 (=(0/0)).
Sorall Auf diesen Beitrag antworten »

Also inwieweit die Achse gedreht wurde ist korrekt... Um 45° sodass die Achse im alten Koordinatensystem auf der Y-Achse liegt, sprich
Was passiert nun entsprechend mit dem Neuem Koordinatensystem, wenn du sie an der Stelle spiegelst?
Worauf wird & und worauf abgebildet?
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »

b1 wird dann auf b2 gespiegelt und b2 auf b1.
Und da mach ich jetzt dasselbe wie bei a) oder?
Sorall Auf diesen Beitrag antworten »

Genau Freude .

Dann wieder analog zu a) das ganze Augenzwinkern

Dabei erhälst du eine Matrix mit Determinante = -1 Spieglung im

Tipp: Für alle Einträge mit müsste gelten
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »

Also komme ich dann auf:


Und damit ist jetzt die Aufgabe gelöst, richtig?

Was meinst du mit dem Tipp bzw. brauch ich den noch?
Sorall Auf diesen Beitrag antworten »

Jein...xD
Du hast jetzt, so wie ich es sehe eine Matrix aufgestellt die die Vektoren und abbildet, richtig?

Die Determinante ist hier aber nicht gleich , daher handelt es sich bestimmt nicht um eine Spiegelung.
Was du hier gemacht hast ist die Basiswechselmatrix aufgestellt (Wechsel von alten in neue Basis).
Ich meinte jedoch, du sollst die Matrix aufstellen die folgenden Sachverhalt darstellt

& .

Du kannst nun entweder die Matrix selbst aufstellen oder einfach deine Basiswechselmatrix (Ich nenne sie mal ) wie folgt auf deine Spiegelungsmatrix () aus a) anwenden...

= Spiegelungsmatrix bzgl. der neuen Koordinaten.

Vllt. solltest du Beides machen, dann hast du gleich die Probe, ob dein Ergebnis richtig ist...

Mein Tipp war so gemeint, dass in deiner Mtrix die Einträge auftretten werden.
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »

Schade.

Also ich hatte das jetzt so gemacht:





Dann bin ich halt auf das B gekommen.

So, und wenn ich jetzt machen will, mach ich erst und dann den Rest. Da komm ich also, bei dem ersten Teil auf:



Und dann den zweiten Teil, was dann auch das Endergebnis ist:

.

Oder? Weil ich komm ja jetzt nicht auf deinen Tipp. Sprich: das ist falsch.
(Du meinst doch mit Spiegelmatirx das Ergebnis aus a oder?)
Sorall Auf diesen Beitrag antworten »

Also der Ansatz ist gut, sprich die Bilder von f zu betrachten.

Erste Variante:
Nun musst du aber eigentlich nur schauen welche Matrix mit verknüpft ergibt und andersherum ist.

Die Matrix die du aber rausgelesen hast folgt dieser Bedingung nicht:


Zweite Variante:
Für den anderen Weg, da ist dir ein kleiner Fehler unterlaufen, eventuell beim Invertieren.
Bis zu deinem stimmt noch alles. Aber

Überprüfe das einfach nochmal Augenzwinkern
Kommste bestimmt schnell drauf.

Und ja ich meinte mit Spiegelungsmatrix das Ergebnis aus a).
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »

Du hattest recht, es ging wirklich schnell. Augenzwinkern

Komme mit beiden Varianten jetzt auf: .
Sorall Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
Da stimme ich Dir nun auch zu Augenzwinkern

MfG Sorall Wink
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »

Dann vielen Dank für deine Hilfe. Gott

Und guten Rutsch ins neue Jahr. Augenzwinkern
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