Substitution

25.12.2012, 20:55

DC1

Substitution

Meine Frage:
Hey leute ich habe gerade probleme dieses Integral zu lösen:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! tan^3(3x) \, dx \end{eqnarray*}$

Wie löse ich dieses Integral?

Meine Ideen:
keine

25.12.2012, 21:12

Cheftheoretiker

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RE: Substitution
Hi,

ich würde erstmal $\begin{eqnarray*} u=3x \end{eqnarray*}$ substituieren und anschließend ausnutzen das $\begin{eqnarray*} tan^2=sec^2-1 \end{eqnarray*}$ ist. smile

25.12.2012, 21:18

klaus1111

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Unbestimmt so:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! tan^3(3x) \, dx = \frac{1}{3} \int_a^b \! tan^3(3x) \, d(3x) = \frac{1}{3*(1+tan^2x)} \int_a^b \! tan^3(3x) \, d(tan(3x)) = \frac{1}{12} *\frac{tan^4(3x)}{1+tan^2x} + C \end{eqnarray*}$

25.12.2012, 21:20

DC1

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Ich post mal meinen Ansatz aber ich weiss nicht wie ich weiter vorgehen soll.

25.12.2012, 21:24

Cheftheoretiker

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Jop, du hast allerdings die Hoch $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ vergessen.

Wir haben demnach das Integral $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\int tan^3(u)du \end{eqnarray*}$

Das umschreiben wir nun folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\int tan^2(u)\cdot tan(u)du \end{eqnarray*}$

Nun nutzt du das Additionstheorem aus $\begin{eqnarray*} tan^2-sec^2=1 \end{eqnarray*}$ smile

25.12.2012, 21:51

DC1

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*\int_a^b \! 1+sec^2*tan u \, du \end{eqnarray*}$

Aber wie gehe ich weiter vor?

25.12.2012, 21:52

Cheftheoretiker

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Du musst wenn schon eine Klammer setzen.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\int \! (1+sec^2)\cdot tan u \, du \end{eqnarray*}$

Nun die Klammer ausmultiplizieren und die Integrale aufteilen. smile

25.12.2012, 22:00

Calvin

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Und beide die Variable nicht vergessen. Es heißt

$\begin{eqnarray*} sec^2(u) \end{eqnarray*}$

Und zum Glück ist niemand auf klaus1111 Beitrag eingegangen. Das stimmt nämlich überhaupt nicht.

25.12.2012, 22:03

klaus1111

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Zitat:

` Und zum Glück ist niemand auf klaus1111 Beitrag eingegangen. Das stimmt nämlich überhaupt nicht.

Ok, da hast du recht, das simmt wirklich nicht, da warich wohl zu eilig unglücklich

((
Sry

25.12.2012, 22:03

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von Calvin
Und beide die Variable nicht vergessen. Es heißt

$\begin{eqnarray*} sec^2(u) \end{eqnarray*}$

Und zum Glück ist niemand auf klaus1111 Beitrag eingegangen. Das stimmt nämlich überhaupt nicht.

Ups, du hast recht. Das u muss natürlich noch dort stehen.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\int \! (1+sec^2u)\cdot tan u \, du \end{eqnarray*}$ smile

25.12.2012, 22:09

Dc1

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Ich habs mal ausmultipliziert aber wie integriere ich das?

25.12.2012, 22:11

Cheftheoretiker

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Ich sehe dort kein Plus, wo ist das denn hin verschwunden? Bitte einmal korrekt aufschreiben und anschließend die Summanden aufteilen und seperat integrieren. smile

25.12.2012, 22:15

DC1

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Oh man ja:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*\int_a^b \! tanu +sec^2*tan u \, du \end{eqnarray*}$

Aber wie ich das integrieren soll?

Keine Ahnung

25.12.2012, 22:16

DC1

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Tschuldigung u vergessen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*\int_a^b \! tanu +sec^2u*tan u \, du \end{eqnarray*}$

25.12.2012, 23:32

DC1

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Weiß jemand wie ich hier weiter Vorgehen soll?

25.12.2012, 23:44

Cheftheoretiker

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Ja, jetzt ist es richtig. Nun ziehst du erstmal die Summanden auseinander und schreibst es als zwei Integrale. smile

26.12.2012, 10:49

Dc1

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} *\int_a^b \! tanu\, du + \int_a^b \! sec^2u*tanu \, du \end{eqnarray*}$

Das Integral von tan u wäre ja nach der Formelsammlung:

-ln|cosx|.

Und soll ich jetzt das zweite Integral partiell integrieren oder wie ?

Aber ich würde da gar nicht verstehen wie sec^2 u ableiten soll.

26.12.2012, 10:55

Cheftheoretiker

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Du hast bei dem zweiten Integral die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ vergessen.

Nun kannst du dir die Integrale erstmal separabel anschauen.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\int tanu~du \end{eqnarray*}$

Wenn du nicht die Formelsammlung benutzen darfst dann würde ich folgendes machen.
Man sollte erstmal das Integral umschreiben: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\int\frac{sinu}{cosu}~du \end{eqnarray*}$

Nun könntest du die Substitution $\begin{eqnarray*} v=cosu \end{eqnarray*}$ wählen, damit sollte das erste Integral knackbar sein. smile

26.12.2012, 11:02

DC1

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Ah ja dann hab ich 1/3 *-ln|cosu| raus .

Aber wie gehe i h beim zweiten Integral vor ?
Der erscheint mir schwieriger.

26.12.2012, 11:08

Cheftheoretiker

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Bei dem zweiten Integral würde ich erstmal $\begin{eqnarray*} sec^2u\cdot tanu \end{eqnarray*}$ zusammenfassen. Also den Sekans und den Tangens erstmal umschreiben. smile

26.12.2012, 12:16

DC1

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Gut dann hätte ich das stehen:

Jetzt stecke ich wieder fest .

Wie gehe ich weiter vor?

26.12.2012, 12:18

Cheftheoretiker

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Also die Rechnung gibt ehrlich gesagt garkeinen Sinn. verwirrt

Was ist denn der Sekans und was der Tangens umschrieben?

26.12.2012, 12:21

DC1

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Ich hab sec einfach nach dieser Formel umgeschrieben:

tan^2 - sec^2 = 1

Also

sec^2 u = -1 + tan^2u

tan u umgeschrieben wäre doch sinu /cos u oder?

26.12.2012, 12:28

Cheftheoretiker

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Ich meinte eigentlich $\begin{eqnarray*} sec=\frac{1}{cos} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} tan=\frac{sin}{cos} \end{eqnarray*}$

Jetzt umschreiben und zusammenfassen. smile

26.12.2012, 12:36

Calvin

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@DC1

Da du das Thema im Hochschulbereich eingestellt hast ist nicht nur Mitarbeit sondern vor allem auch Mitdenken gefordert. Das bedeutet auch, dass Antworten aus mehr als nur dem (sinngemäßen) Satz "Habe ich gemacht. Und jetzt?" bestehen.

Mit dem Zusammenhang sec^2u=tan^2u-1 hast du deine letzte Umformung doch genau wieder rückgängig gemacht.

Vielleicht schreibst du dir die bisherigen Schritte nochmal vollständig zusammen, damit du ein komplettes Bild der Rechnung hast.

26.12.2012, 13:05

DC1

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Kann ich jetzt mit t = cos u substitieren?

26.12.2012, 13:16

Cheftheoretiker

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Genau!

Wir haben also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\int\frac{sinu}{cos^3u}du \end{eqnarray*}$ und nun die Substitution $\begin{eqnarray*} t=cosu \end{eqnarray*}$

26.12.2012, 13:28

DC1

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Ich glaube ich habs:

Richtig?

26.12.2012, 13:40

Cheftheoretiker

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Leider nein. $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3}\int\frac{1}{t^3}dt=-\frac{1}{3}\int t^{-3}dt \end{eqnarray*}$

Jetzt nochmal integrieren. smile

26.12.2012, 13:43

DC1

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Kommt das raus?

1/6 t^-2

26.12.2012, 13:52

Cheftheoretiker

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Ja, wir haben also: $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3}\int\frac{1}{t^3}dt=\frac{1}{6t^2}+c \end{eqnarray*}$

Um nun beide Integrale mal zusammenzuführen erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3}\cdot ln|cosu|+\frac{1}{6t^2}+c \end{eqnarray*}$

Das muss jetzt nur noch rücksubstituiert werden und du hast dein Ergebnis. smile

26.12.2012, 13:58

DC1

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Boah endlich geschafft.

Danke

26.12.2012, 15:53

Cheftheoretiker

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Keine Ursache. smile

26.12.2012, 15:57

DC1

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Kannst du mir bei meiner neuen Substitutions aufgabe auch helfen , die ich gepostet hab.

Die ist auch ziemlich schwer.