Beweis zum Thema Endomorphismus

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donpain Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zum Thema Endomorphismus
Guten Abend und frohe Weihnachten!

Ich komme mit folgender Aufgabe nicht zurecht.

Die Aufgabe:
Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. Sei F: V --> V ein Endomorphismus. Angenommen es gelte F(F(x))=F(x). Beweisen Sie, dass dann gilt:
1) V = Kern(F) + Bild(F)
2) .

Finden Sie ein Beispiel, welches zeigt, dass man die Bedingung F(F(x))=F(x) nicht weglassen kann.

Meine Ideen:
Also erstmal hatte ich aus F(F(x))=F(x) gefolgert, dass ist. Beim finden eines Gegenbeispiel ist mir dann aber aufgefallen, dass das ja garnicht stimmt. Wenn ich einfach alles auf die 1 aus V abbilde, ist die Bedingung ja auch erfüllt. :/
Und nun weiß ich aber nicht, wie ich weiterkommen soll. Also ich hatte die Idee, zu zeigen, dass jedes Element aus V entweder im Kern oder im Bild sein muss, aber ich finde keine Umsetzung.

Über Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Geruhsame Feiertage wünsche ich Euch!
Liebe Grüße
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zum Thema Endomorphismus
Zitat:
Wenn ich einfach alles auf die 1 aus V abbilde

Was ist denn "die 1 aus V"? verwirrt

Für Aufgabe 1 sind zwei Richtungen zu zeigen:





i) ist klar (kannst du noch kurz begründen)

Bei ii) bring die Eigenschaft von F ins Spiel:



Das bedeutet:



Nun weiter. Benutze, dass F linear ist und schau mal, was sich ergibt.
 
 
donpain Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zum Thema Endomorphismus
Hey! Ersteinmal Danke für deine Antwort!

Zitat:
Nun weiter. Benutze, dass F linear ist und schau mal, was sich ergibt.



Weiter komme ich mit dem Term nicht, richtig?
Allerdings kann ich nun folgern, dass .
Aber wie würde es dann weiter gehen? verwirrt
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zum Thema Endomorphismus
Zitat:
Original von donpain
Allerdings kann ich nun folgern, dass .
Aber wie würde es dann weiter gehen?

Das solltest du dir jetzt selber überlegen. Schau nochmal, was genau du eigentlich zeigen willst. Es steht doch eigentlich schon fast da.
donpain Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zum Thema Endomorphismus
Zitat:
Das solltest du dir jetzt selber überlegen. Schau nochmal, was genau du eigentlich zeigen willst. Es steht doch eigentlich schon fast da.


Tut mir Leid, wenn ich mich gerade dumm anstelle. Manchmal sieht man bekanntlicher Weise ja den Wald vor lauter Bäumen nicht. verwirrt Trotz aller Mühe komme ich nicht weiter, mir will wahrscheinlich der eine richtige Gedanke einfach nicht einfallen.

Also ich will zeigen, dass gilt.
Ich weiß:




Jetzt war mein 1. Ansatz einfach Bild(F)+Kern(F) auszurechnen. Sah auf den ersten Blick so schön aus, als wenn einfach v rauskommen würde. Tut es ja aber nicht:
. Und das hilft mir nicht weiter bzw. ich wüsste nicht, wie es mir weiter helfen sollte.
Wenn ich aber versuche mich an die normale Herangehensweise bei Mengeninklusionen zu halten, komme ich nicht weiter.
Sprich ich nehme mir ein beliebiges v aus V und versuche zu zeigen, dass es in Bild(F)+Kern(F) liegt.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zum Thema Endomorphismus
Zitat:
Original von donpain

Diese Zeile ist Unfug, da werden ja Mengen mit einzelnen Elementen gleichgesetzt. Wie soll das denn bitte funktionieren?

Das hier



ist doch völlig gleichbedeutend mit



Denn F(v) liegt doch im Bild, das hast du selbst schon geschrieben.

Und fertig.
donpain Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zum Thema Endomorphismus
Alles klar! Ich bin nicht drauf gekommen, dass auch v-F(v) im Kern liegt. :/ Hätte ich das gesehen, wäre die Idee von meinem 1. Ansatz ja zielführend gewesen.

Ich Danke dir!
donpain Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zum Thema Endomorphismus
Also, Teil 2) des Beweises habe ich hinbekommen.
Jetzt hapert es aber beim Konstruieren eines Beispiels, welches zeigt, dass die Bedingung F(F(x))=F(x) nicht weggelassen werden kann.

Meine Ideen waren wie folgt:
Voraussetzungen:
V ist endlich-dimensionaler K-VR
ist Endomorphismus
Gelte nicht:

Jetzt habe ich versucht mir eine Abbildung zu konstruieren, welche linear ist, die Voraussetzungen erfüllt, im Kern nur die 0 enthält und nicht alle Elemente des Bildraums angenommen werden.
Denn dann würde ja nicht gelten, dass: .
Allerdings bekomme ich keine Abbildung hin, welche alle dieses Sachen erfüllt. :/
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