Inhaltsfehler in Mathworld?

12.02.2007, 22:34

akechi90

Inhaltsfehler in Mathworld?

Hallo, allerseits
Ich habe mir vorhin diesen Artikel genauer angesehen und einen offenbaren inhaltlichen Fehler entdeckt:

http://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html

In der Tabelle wird der Nachweis der Transzendenz der Zahlen ln 2 bzw. ln 3/ ln 2 den Mathematikern Hardy und Wright zugeschrieben, was aber nicht sein kann.
Schließlich folgt die Transzendenz von ln 2 direkt aus dem Lindemannschen Theorem, und die von ln 3/ ln 2 aus dem Gelfond-Schneider-Theorem, und das war lange vor Hardy und Wright.
Ich bin verwirrt.
EDIT: Genauso stört mich, dass das vermeintliche Resultat von Nesterenko ebenfalls aus dem Gelfond-Schneider-Theorem folgt, sogar für $\begin{eqnarray*} d \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Ist das nun ein inhaltlicher Fehler, oder ist dieser Eintrag nur darauf zurückzuführen, dass sich niemand vor Hardy und Wright für die Transzendenz dieser Zahlen interessiert hat?
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen

12.02.2007, 23:15

sqrt(2)

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In der angegebenen Quelle steht lediglich

Zitat:

Few classes of transcendental numbers are known even now. These classes include, for example, the numbers

$\begin{eqnarray*} e,\pi,\sin 1,J_0(1),\log 2,\frac{\log 3}{\log 2},e^\pi,2^{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

but not $\begin{eqnarray*} 2^e \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 2^\pi \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \pi^e \end{eqnarray*}$ , or Euler's constant $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ . It has never been proved even that any of these last numbers are irrational.

Lediglich die Transzendenz von $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist in dem Buch bewiesen (§§11.13-14). Zumal es der Klassiker der Zahlentheoretischen Lehrbücher ist, findest du es mit Sicherheit in der nächsten Universitätsbibliothek, Kapitel 11 wird dich interessieren.

12.02.2007, 23:20

akechi90

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Herzlichen Dank, für Pi und die Eulersche Zahl würde mich auch ein anderer Transzendenzbeweis als der Hilbert'sche Beweis mal reizen.
Ich beschäftige mich nämlich zurzeit intensiv mit Transzendenz von Zahlen, insbesondere mit den "härteren" Problemen wie den Werten der Zeta-Funktion, allerdings komm ich da grade nicht sonderlich gut weiter.

Übrigens hätte ich eine neue Vermutung, bei der ich nicht so glücklich vorankomme, vllt könnt ihr mir da eher helfen. Es hat was mit Transzendenz und Logik zu tun.

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