Lineare Gleichungssysteme

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26.12.2012, 03:49

Tipso

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Lineare Gleichungssysteme

Hallo,

Da ich nicht Einschlafprobleme habe, lese ich mich zu diesem Thema durch. Wink

Ich lese mich gerade zu diesem Thema durch.

Einen Teil der Einführung verstehe ich leider überhaupt nicht.

Zitat:

Viele Gleichungen mit zwei Variablen lassen sich durch geeignete (Äquivalenz)-Umformungen eine Gleichung dieses Typs überführen.

Was ist mit "eine Gleichung dieses Typs überführen" gemeint?

$\begin{eqnarray*} 4\left(x + y\right) - 3y = 2x - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 - \left(x - y\right) * \left(x + 3 \right) = \left(4 - x \right) * \left(2 - y\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x / y = 3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

1. Definition, Grundmenge und Lösungsmenge

Definitioin: Eine Gleichung der Bauart

$\begin{eqnarray*} ax + by = c a, b, c\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , a und b nicht zugleich null
heißt lineare Gleichung mit zwei Variablen x und y (bzw. zwei Unbekannten x und y). Im Fall c = 0 heißt die Gleichung homogen, im Fall $\begin{eqnarray*} c \neq 0 \end{eqnarray*}$ inhomogen.

Was wenn a oder b = 0 ?

26.12.2012, 06:43

Kasen75

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Hallo Tipso,

mit "diesen Typs" ist anscheinend dieser Typ gemeint:

$\begin{eqnarray*} ax+by=c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a,b,c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} a,b \neq 0 \end{eqnarray*}$

Es ist eine Gleichung, bei der die Variablen x und y vorkommen und zwar nur in der ersten Potenz. Es kommen also nach der Äquivalenzumformung keine $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \neq 1 \end{eqnarray*}$ vor. Sondern nur ganz normale x und y.

Somit kommen keine $\begin{eqnarray*} x^2, x^3,..., x^n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y^2, y^3,...,y^n \end{eqnarray*}$ vor.

Ausdrücke bei denen die Variablen x und y multiplikativ verbunden sind, sind durch die Definition auch ausgeschlossen: z.B. ein Term mit xy kommt nicht vor.

Bei der dritten Gleichung kann ich dir ja mal zeigen, dass die Gleichung der obigen Definition entspricht:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{y}=3 \ \ \ \ | \ \cdot y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=3y \ \ \ \ | \ \ -3y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-3y=0 \end{eqnarray*}$

Das entspricht $\begin{eqnarray*} ax+by=c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a=1,b=-3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$

Bei der ersten Gleichung würde ich erstmal die Klammer ausmultiplizieren und dann die Terme mit y und x auf die linke Seite der Gleichung bringen. Dann die Terme mit x zusammenfassen. Danach die Terme mit y zusammenfassen.
Dann kommst du auf die Form in der Definition.

Das Gleiche gilt für die Gleichung 2. Hier kommen nach der Auflösung der Klammer auch Ausdrücke mit $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ vor. Diese heben sich aber zum Glück gegenseitig auf.

Zitat:

Was wenn a oder b = 0 ?

Wenn a oder b gleich Null sind, dann hat die Gleichung nur eine Variable und nicht zwei. Es soll aber eine Gleichung des Typs sein, bei der sowohl die Variable x als auch die Variable y vorkommt.

Grüße.

Falls ich noch nicht online bin, kann gerne jemand anderes für mich weitermachen. Wink

26.12.2012, 18:22

Tipso

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Hi,

Danke für deine ausführliche Antwort. Freude

Zitat:

Ausdrücke bei denen die Variablen x und y multiplikativ verbunden sind, sind durch die Definition auch ausgeschlossen: z.B. ein Term mit xy kommt nicht vor.

Warum?
Das ist mir nicht so klar.

lg

26.12.2012, 19:10

Kasen75

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Die allgemeine Gleichung ist:

$\begin{eqnarray*} ax+by=c \end{eqnarray*}$

Die Variablen sind x und y. Somit stimmt zum Beispiel die Gleichung $\begin{eqnarray*} 3xy + 6y=9 \end{eqnarray*}$ nicht mit der obigen Definition überein.

Es heißt ja $\begin{eqnarray*} ax \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} axy \end{eqnarray*}$ .

26.12.2012, 19:29

Tipso

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Sehr anschaulich.

Danke.

26.12.2012, 19:33

Kasen75

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Gerne.

Du kannst ja mal bei Gelegenheit deine ersten beiden Beispielgleichungen in die gewünschte Form bringen.

Grüße. Wink

26.12.2012, 20:03

Tipso

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$\begin{eqnarray*} 4\left(x + y\right) - 3y = 2x - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x + 4y - 3y = 2x - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x + y = 2x - 1 \end{eqnarray*}$ | -y|-4x

$\begin{eqnarray*} 0 = -y -2x - 1 \end{eqnarray*}$ |+1

$\begin{eqnarray*} 2x + y =1 \end{eqnarray*}$

Hoffe so passt das Erste.

lg

26.12.2012, 20:10

Kasen75

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Zitat:

Original von Tipso

$\begin{eqnarray*} 4x + y = 2x - 1 \end{eqnarray*}$

Hier hättest du nur noch -2x rechnen müssen, dann wärst du fertig gewesen. Dann hättest du auch den Vorzeichenfehler auf der rechten Seite vermieden.

26.12.2012, 20:28

Tipso

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Zitat:

Original von Kasen75

Zitat:

Original von Tipso

$\begin{eqnarray*} 4x + y = 2x - 1 \end{eqnarray*}$

Hier hättest du nur noch -2x rechnen müssen, dann wärst du fertig gewesen. Dann hättest du auch den Vorzeichenfehler auf der rechten Seite vermieden.

upps.

lol
Freude

Dann mal zum nächsten:

$\begin{eqnarray*} x^2 - \left(x - y\right) * \left(x + 3 \right) = \left(4 - x \right) * \left(2 - y\right) \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} x^2 - x^2 + 3x - xy - 3 y=6 - 4y - 2x + xy \end{eqnarray*}$

- xy - + xy hebt sich auf.

x^2 - x^2 hebt sich auf.

$\begin{eqnarray*} 3x - 3 y=6 - 4y - 2x \end{eqnarray*}$ | + 4y + 2x

$\begin{eqnarray*} 5x + y = 6 \end{eqnarray*}$

Hoffe das das so passt.
Möglichkeit dies auszutesten bzw. zu Proben?

26.12.2012, 20:40

Kasen75

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^2 - x^2 + 3x - xy - 3 y=6 - 4y - 2x + xy \end{eqnarray*}$

Auf der linken Seite stimmen die drei letzten Vorzeichen nicht. Auf der rechten Seite müsste eine 8 stehen, statt einer 6.

26.12.2012, 20:55

Tipso

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Hi,

Weil dieser Teil eigentlich in einer lammer steht.
$\begin{eqnarray*} \left(\left(x - y\right) * \left(x + 3 \right)\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 - x^2 - 3x + xy + 3 y=8 - 4y - 2x + xy \end{eqnarray*}$ |- xy

x^2 - x^2 - hebt sich auf

$\begin{eqnarray*} - 3x + 3 y=8 - 4y - 2x \end{eqnarray*}$ |+ 4y + 2x

$\begin{eqnarray*} - x + 7y=8 \end{eqnarray*}$

Passt es jetzt?
Probe möglich?

lg

26.12.2012, 21:11

Kasen75

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Soweit so richtig. Freude

Du hast jetzt folgendes dastehen:

$\begin{eqnarray*} - x + 7y=8 \end{eqnarray*}$

Zur Probe:
Entweder du siehst, dass die Gleichung für x=-1 und y=1 erfüllt ist oder du formst die Gleichung noch ein bisschen um.

$\begin{eqnarray*} -x=8-7y \ \ \ \ | \ \cdot (-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=7y-8 \end{eqnarray*}$

Wenn du hier für $\begin{eqnarray*} y=\textcolor{red}{+1} \end{eqnarray*}$ einsetzt, dann kommt für x=-1 raus. Diese beiden Werte kannst du jetzt hier einsetzen:

$\begin{eqnarray*} x^2 - \left(x - y\right) * \left(x + 3 \right) = \left(4 - x \right) * \left(2 - y\right) \end{eqnarray*}$
Es muss auf beiden Seiten der Gleichung das Gleiche herauskommen.

Es gibt aber auch noch weitere Lösungen dieser Gleichung. Du kannst z.B. auch y=0 und somit x=-8 einsetzen. Auch für diese Werte muss die Gleichung erfüllt sein.

26.12.2012, 21:27

Tipso

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Es gibt also mehrere Lösungen für dieselbe Gleichung.

Das ist etwas irritierend.

Den Rest habe ich verstanden.
Danke nochmals für deine Hilfe. Freude

26.12.2012, 21:38

Kasen75

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Die Gleichung hat deswegen unendlich viele Lösungen, da es zwei Variablen gibt aber nur ein Gleichung.

Ich habe übrigens eben meinen letzten Beitrag editiert (rot). Es muss y=+1 heißen.
Du solltest meine Zahlenbeispiele ruhig mal nachrechnen.

Ansonsten freut es mich, dass dir einiges klar geworden ist.

Grüße.

26.12.2012, 21:46

Tipso

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Habe es erst jetzt bemerkt. Hab ich davor nicht gesehen. unglücklich

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