Alle Stellen, an denen die Funktion f(x) = sin(1/x) eine waagerechte Tangente hat.

26.12.2012, 10:42

Darrit

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Alle Stellen, an denen die Funktion f(x) = sin(1/x) eine waagerechte Tangente hat.

Meine Frage:
Hallo liebe Leute smile

smile

ich komme bei dieser Aufgabe nicht so ganz weiter.
Ich muss hier die Tangenten bestimmen bzw die Tangente.
erste Ableitung der Funktion ist ja
(-cos(1/x))/(x^2)

Meine Ideen:
Ich muss ja nun um die Tangente zu berechnen diese erste Ableitung 0 setzen also: 0 = (-cos(1/x))/(x^2)
Aber bereits ab hier bin ich mir absolut nicht sicher. Ich würde ja vllt ddas cos(1/x) rüberholen nur wäre dann ja auch nur 0 = x^2 und das wäre doch bescheuert meine ich mal. Vielleicht denke ich auch zu kompliziert dabei, ich hoffe Ihr könnt mir dabei eine Hilfstellung leisten bzw. einen Ansatz geben smile

smile

Danke schön im vorraus smile

smile

26.12.2012, 11:06

Stefan03

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RE: Alle Stellen an den die Funktion f(x) = sin(1/x) eine waagerechte Tangente hat.

Zitat:

Original von Darrit
0 = (-cos(1/x))/(x^2)

Soweit ist alles richtig.

Und wann ist der Ausdruck gleich 0? Genau dann, wenn der Zähler 0 ist. Wann ist der Zähler 0, also wo hat der cos seine Nullstellen

26.12.2012, 11:27

Darrit

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RE: Alle Stellen an den die Funktion f(x) = sin(1/x) eine waagerechte Tangente hat.
Achso ja also die Nullstelle vom cos ist ja bei pi/2, sollte ja für den -cos genauso gelten nun hab ich ja aber -cos(1/x) statt cos(x) da sieht die cos kurve ja deutlich anders aus wie bekomm ich das dann da raus ?
Ich hab noch was vergessen mit einzubringen in meine Frage, ich habe auch noch ein Intervall gegeben von (0,1) da muss das mit der waagerechten Tangente sein. Sry das ich das vorhins noch vergass :/

26.12.2012, 14:04

Stefan03

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Stimmt soweit, bzw. du hast "einige" Nullstellen vergessen, nämlich alle ungeraden ganzzahligen Vielfachen von pi/2 sind deine NS von cos.

Also $\begin{eqnarray*} \cos (x) = 0 \leftrightarrow x \in \{(2k+1)\cdot \frac{\pi}{2}\} \end{eqnarray*}$

Nun hast du $\begin{eqnarray*} -\cos (\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ , aber auch hier ist der cos 0 ,wenn das Argument ein ungeradezahliges Vielfaches von pi/2 ist...

Und jetzt kannst du deine Gl. lösen.

26.12.2012, 14:19

Darrit

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Stefan könntest du mir vielleicht noch etwas genauer erklären was genau es sich mit dieser formel:
$\begin{eqnarray*} \cos (x) = 0 \leftrightarrow x \in \{(2k+1)\cdot \frac{\pi}{2}\} \end{eqnarray*}$

auf sich hat ? was z.b. das 2k+1 dort ist und so ich bin etwas raus und komme leider nur schwer in diese themen momentan rein :/

26.12.2012, 14:20

sulo

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http://www.onlinemathe.de/forum/Waagerechte-Tangenten-33

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26.12.2012, 16:22

Stefan03

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Zitat:

Original von Darrit

auf sich hat ? was z.b. das 2k+1 dort ist

Das ist lediglich die mathematische Ausdrücksweise für alle ungeradzahligen Vielfachen von pi/2 smile

smile

Ums exakt zu machen, sollte man noch $\begin{eqnarray*} k \in Z \end{eqnarray*}$ schreiben...

27.12.2012, 11:05

Darrit

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Achja xD ok blöde frage stimmt ^^
das mit dem lösen mit dieser formel erstellt sich für mich iwie etwas schwierig hab zwar nun die formel eingesetzt für x

$\begin{eqnarray*} 0 = (\frac{-cos(\frac{1}{(2k+1)*\frac{pi}{2}}}){(2k+1)*(\frac{pi}{2})^2} \end{eqnarray*}$

dann hab ich das noch vereinfacht bzw ausmultipliziert oder wie auch immer:

$\begin{eqnarray*} 0 = (-cos(\frac{\frac{1}{k+2pi}}{(k^2+2pi^2}) \end{eqnarray*}$

Ich bin der Meinung das das cos iwie stört weil so bin ich draus auch nicht schlau geworden hab noch andere sachen rumprobiert und iwo was nachgelesen aber naja nicht wirklich ^^ hab mir auch gedacht vllt einfach das obere mit dem unteren zu kürzen jedoch geht das wie gesagt durch den cos ja ehh nicht und rüber holen hab ich das gleiche problem ich gehe entweder zu kompliziert oder mit zu einfachen denken ran :O

bin dann auch selber auf $\begin{eqnarray*} (2k+1)*(\frac{pi}{2}) \end{eqnarray*}$ in einer kleinen ecke von einer seite meines buches gestoßen ^^

27.12.2012, 11:22

Darrit

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formel von oben nochma korrigiert ^^
$\begin{eqnarray*} (\frac{-cos(\frac{1}{(2k+1)*(\frac{\pi}{2})})}{((2k+1)*(\frac{\pi}{2}))^2}) \end{eqnarray*}$

28.12.2012, 19:36

Stefan03

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Hi,

warum denn so kompliziert?

Du musst folgende Gleichung nach x auflösen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}=(2k+1)\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

28.12.2012, 23:15

Darrit

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naja hab ich jetzt umgestellt ja
hab ich jetzt nun
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} = (2k+1)*\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{2k*\pi}{2*1}+\frac{\pi}{2*1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \pi*k+\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

nun selbst wenn ich das jetzt bei $\begin{eqnarray*} \frac{-cos(\frac{1}{x})}{x^2} \end{eqnarray*}$ mit einsetze werd ich nicht gerade schlau daraus was ich noch damit machen koennte, ich würds dann wenn vllt noch nach $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ um stellen jedoch würde da auch nix weiter übrig bleiben als $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ und ich mein das wäre doch nicht gewollt bzw. frage ich mich wie das mir jetzt weiterhilft die stellen zu finden an denen ich eine waagerechte tangente in dem intervall (0 und 1) habe ? :/ ich versteh das nicht so recht. ich schätz ich stell mich dabei echt zu blöde an

29.12.2012, 20:43

Stefan03

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Hi,

da hast du falsch nach x aufgelöst...

Dann kannst du ein beliebiges k aus den ganzen Zahlen wähen und schon hast du deine Stelle, an denen deine Fkt. eine waag. Tangente hat. Nun musst du halt dein k so "geschickt" wählen, dass dein x in (0,1) liegt...

29.12.2012, 23:19

Darrit

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hey stefan,

warum habe ich das denn falsch aufgelöst ? das x wird ja extrem klein
zeigt das x die stellen dann wo die waagerechte Tangente auftaucht ?
muss ich das nicht mit dem cosinus oder sinus berechnen ??

31.12.2012, 18:23

Stefan03

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Zitat:

Original von Darrit

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} = (2k+1)*\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Du musst diese Gleichung nach x auflösen und so wie du das machst, stimmt das eben nicht...Du hast du 1 / x wohl einfach weggelassen und x=... geschrieben.

02.01.2013, 17:31

Darrit

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dann sollte das nun richtig nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aufgelöst sein:
$\begin{eqnarray*} x=(\frac{1}{(2k+1)*\frac{\pi}{2}}) \end{eqnarray*}$
aber wie verhält sich das dann ? weil wenn ja $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ dann, nachdem man ieine zahl für k eingesetzt so zwischen 1 und 0 ist, muss das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht noch in die gleichung von $\begin{eqnarray*} cos(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ bzw.
$\begin{eqnarray*} sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ eingesetzt werden um den genauen punkt zu haben ? kann mir nicht vorstellen wie das aussehen soll u7nd mir iwie nicht vorstellen das es das schon war verwirrt

verwirrt

03.01.2013, 15:50

moonbat

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hey, also ich muss grad die gleiche Aufgabe lösen, welch ein Zufall Augenzwinkern

Augenzwinkern

meiner Meinung nach sollte die Gleichung aufgelöst so aussehen:

$\begin{eqnarray*} x = 2 / (\pi (2k+1)) \end{eqnarray*}$

wenn ich mich nicht irre, kann man ja die Regel anwenden, dass man einfach beide Seiten auf den "Kopf" stellt..?

03.01.2013, 16:05

moonbat

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allerdings weiß ich auch nicht recht, wie es jetzt weiter gehen soll.. wenn ich jetz für k Zahlen einsetze, hab ich doch unendlich viele Lösungen.. ?!? also angefangen bei k=0 wäre x = 2/pi
das geht immer so weiter, x wird immer kleiner aber nie null..

03.01.2013, 22:45

Darrit

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das ist wahrlich ein sehr merkwürdiger zufall ^^
aber warum sollte man das so als reziproke schreiben bzw umformen ? eig wollen wir doch nur nach x umstellen denke nicht das das so gedacht ist selbst wenn du (2k+1) mal den pi halbe nimmst kannst du die 2 von der 2k mit der 2 unterm bruchstrich wegkürzen
also ich würde das ganz einfach ausmultiplizieren wie ich das auch schon gemacht habe aber was dann mit dem x weiter gemacht werden muss ist doch dann die frage unglücklich

unglücklich

05.01.2013, 15:24

moonbat

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naja, wenn man den Rezibroken Wert beider Seiten bildet, hat man ja automatisch da stehen, was x ist^^
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}= \frac{(2*k+1)*\pi }{2} \end{eqnarray*}$

--> Term umdrehen:

$\begin{eqnarray*} x = \frac{2}{(2*k+1)*\pi } \end{eqnarray*}$

und nein, du kannst nicht einfach die 2 rauskürzen, weil du doch im Zähler eine Summe hast.
um die 2 rauskürzen zu können, müsstest du das dann schon so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} = \frac{2* (k+\frac{1}{2} ) * \frac{\pi }{2}}{2} \end{eqnarray*}$

aber ich wüsste jetzt nicht was das nützt, und da mein Taschenrechner Gleichungen nach x auflösen kann, weiß ich, dass mein Ergebnis richtig ist.. die Frage ist eher, wie es weitergeht... vlt kann uns ja noch mal jemand weiterhelfen? das wäre wirklich lieb.. smile

smile

05.01.2013, 18:17

Stefan03

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Zitat:

Original von moonbat

$\begin{eqnarray*} x = \frac{2}{(2*k+1)*\pi } \end{eqnarray*}$

Das stimmt...

Jetzt kann du für k ALLE ganzen Zahlen einsetzen und du bekommst somit einen x-Wert, an dem die Fkt. $\begin{eqnarray*} \sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ eine waagrechte Tangente hat. Somit gibt es unendlich viele Stellen, wenn x aus ganz R sein darf. Natürlich ist auch klar, dass je größer dein k wird, x gegen 0 konvergiert...

Da in eurer Aufgabe das x ja zw 0 und 1 liegen soll, müsst ihr noch eine Bedinung an das k stellen, damit das x für alle k, die ihr einsetzen dürft, auch wirklich zw. 0 und 1 liegt.

Hinweis: Was geschieht mit x bei postiven k?
Was bei negativen k?

Dann seid ihr fertig.

06.01.2013, 14:36

Darrit

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hab ja leider nicht so ein tollen taschenrechner der mir das ausrechnet falls ich mir mal nicht sicher bin wenn ich mal iein scheiß beim umstellen gemacht habe unglücklich

unglücklich

naja wenn k ins minus geht dann ists am ende ja auch minus ist ja klar
sind ja dann alle zahlen ab 0 für das k relevant

$\begin{eqnarray*} k \in R^+ \end{eqnarray*}$

06.01.2013, 18:34

Stefan03

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Zitat:

Original von Darrit
sind ja dann alle zahlen ab 0 für das k relevant

$\begin{eqnarray*} k \in R^+ \end{eqnarray*}$

Genau, wobei man exakter noch $\begin{eqnarray*} k \in R_0^+ \end{eqnarray*}$ sagen könnte, damit es klar wird, dass k auch 0 sein darf...

06.01.2013, 19:01

Darrit

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ja wusste nicht genau mit der null da unten wie das hier geht

hab da einfach mal noch ne verständnis frage:

wenn wir jetzt das x ausgerechnet haben sagen wir es ist 0.63 weil wir z.b null für k genommen haben
und was kann ich damit jetzt machen ? in die erste ableitung einsetzen passt ja nicht kommt nicht 0 raus also ich würd gern genau wissen in wie fern uns dieses x genau sagt das dort dir tangente ist.

06.01.2013, 19:09

Stefan03

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Ähm,

wenn du für $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ setzt, dann hat du $\begin{eqnarray*} x=2/ \pi \end{eqnarray*}$ ,
also $\begin{eqnarray*} \cos (\frac{1}{x})=\cos (\frac{\pi}{2})=0 \end{eqnarray*}$

Also ist deine Ableitung gleich 0..

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