Differentialgleichung Anwendung

26.12.2012, 12:14

Cheftheoretiker

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Differentialgleichung Anwendung

Hallo Leute,

ich habe folgende Aufgabe: Auf einen Fallschirmspringer der Gesamtmasse $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ (in $\begin{eqnarray*} kg \end{eqnarray*}$ ), der sofort nach dem Absprung seinen Fallschirm öffnet, wirken Kräfte: einerseits die Gewichtskraft $\begin{eqnarray*} mg \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g=9,81\frac{m}{s^2} \end{eqnarray*}$ nach unten, andererseits der Luftwiderstand $\begin{eqnarray*} F_L=kv(t) \end{eqnarray*}$ der Bewegung entgegengesetzt gerichtet und annähernd proportional zur momentanen Fallgeschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist. Mithilfe der Grundgleichung der Mechanik ergibt sich folgende Differentialgleichung:

$\begin{eqnarray*} m\cdot\frac{dv}{dt}=mg-kv \end{eqnarray*}$

Als erstes soll ich eine Lösung der Differentialgleichung angeben wobei $\begin{eqnarray*} v(0)=0 \end{eqnarray*}$ gegeben ist.

Ich bin auf die Lösung $\begin{eqnarray*} v(t)=\frac{mg}{k}-\frac{mg}{k}e^{-\frac{k}{m}t} \end{eqnarray*}$ gekommen und habe es durch Variation der Konstanten gelöst. Kann das Ergebnis jemand bestätigen?

b) Geben Sie die maximale Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v_{max} \end{eqnarray*}$ an. Es sei $\begin{eqnarray*} v_{max}=5\frac{m}{s} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m=95kg \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie hiermit die Konstante $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ . Wann hat der Fallschirmspringer die halbe Endgeschwindigkeit erreicht?

Bevor ich weiter mache sollte ich erstmal wissen ob die a) richtig ist. Schonmal vielen Dank! smile

smile

26.12.2012, 12:22

Che Netzer

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RE: Differentialgleichung Anwendung

Zitat:

Original von Cheftheoretiker
Ich bin auf die Lösung $\begin{eqnarray*} v(t)=\frac{mg}{k}-\frac{mg}{k}e^{-\frac{k}{m}t} \end{eqnarray*}$ gekommen und habe es durch Variation der Konstanten gelöst.

geschockt

Variation der Konstanten?

Für Gleichungen der Form $\begin{eqnarray*} x'=ax+b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ kann man $\begin{eqnarray*} y=x+\frac ba \end{eqnarray*}$ substituieren und erhält $\begin{eqnarray*} y'=ay \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} y(t)=c\mathrm e^{at} \end{eqnarray*}$ und damit
$\begin{eqnarray*} x(t)=c\mathrm e^{at}-\frac ba\,. \end{eqnarray*}$
Deine Lösung stimmt also Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.12.2012, 12:39

Cheftheoretiker

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RE: Differentialgleichung Anwendung

Zitat:

geschockt

Variation der Konstanten?

Ich kenne leider nur das Verfahren. unglücklich

unglücklich

Okay, weiter geht es. Wenn $\begin{eqnarray*} v(t)=\frac{mg}{k}-\frac{mg}{k}e^{-\frac{k}{m}t} \end{eqnarray*}$ korrekt ist geht es mit der b) weiter.

Wie bekomme ich dort denn nun $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ raus? Ich bräuchte doch eigentlich noch eine weitere Angabe wie $\begin{eqnarray*} v(0)=0 \end{eqnarray*}$ aber die ist doch garnicht gegeben. verwirrt

verwirrt

26.12.2012, 13:07

Che Netzer

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RE: Differentialgleichung Anwendung
Ich schätze, es ist die Konstante $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ gemeint.
Die Aufgabe solltest du der Reihe nach angehen. Zuerst einmal gib eine Formel für $\begin{eqnarray*} v_{\max} \end{eqnarray*}$ an.

26.12.2012, 13:10

Cheftheoretiker

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RE: Differentialgleichung Anwendung
Ist $\begin{eqnarray*} v_{max} \end{eqnarray*}$ nicht angegeben? $\begin{eqnarray*} v_{max}=5\frac{m}{s} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

26.12.2012, 13:48

Che Netzer

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RE: Differentialgleichung Anwendung
Das ist dann der nächste Schritt.
Erst soll eine Allgemeine Formel für $\begin{eqnarray*} v_{\max} \end{eqnarray*}$ gefunden werden, dann wird ein konkreter Wert eingesetzt.

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26.12.2012, 15:57

Cheftheoretiker

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RE: Differentialgleichung Anwendung
Das heißt doch die höchste Geschwindigkeit wird erreicht wenn $\begin{eqnarray*} v'(t)=a(t)=0 \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} a'(t)<0 \end{eqnarray*}$ gilt oder nicht? verwirrt

verwirrt

26.12.2012, 16:27

Che Netzer

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RE: Differentialgleichung Anwendung
Naja, $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ sollte nie kleiner als Null werden, das kann man sich überlegen.
Du kannst entweder überlegen, was das Supremum von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist, oder, wann keine Beschleunigung mehr vorliegt.

26.12.2012, 17:08

Cheftheoretiker

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RE: Differentialgleichung Anwendung
Ja okay, ich habe nun die Beschleinigung einmal berechnet und erhalte: $\begin{eqnarray*} a(t)=ge^{-\frac{k}{m}t} \end{eqnarray*}$

Nun $\begin{eqnarray*} a(t)=0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} ge^{-\frac{k}{m}t}=0 \end{eqnarray*}$

Das wird allerdings nicht Null. verwirrt

verwirrt

26.12.2012, 17:11

Che Netzer

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RE: Differentialgleichung Anwendung
Doch, klar wird das Null, das ist ja Physik Big Laugh

Big Laugh

Aber bevor ich jetzt anfange, über die Delta-Funktion zu schimpfen: Du hast noch eine andere Darstellung für die Beschleunigung, die du Null setzen kannst.
Die Geschwindigkeit wird ja genau dann maximal, wenn die Reibung so stark wird, dass sie die Gravitation aufhebt und effektiv keine Kraft mehr wirkt.

26.12.2012, 17:17

Cheftheoretiker

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RE: Differentialgleichung Anwendung

Zitat:

Doch, klar wird das Null, das ist ja Physik Big Laugh

Big Laugh

Das verstehe ich nicht? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} ge^{-\frac{k}{m}t}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-\frac{k}{m}t}=0 \end{eqnarray*}$

Nun logarithmieren

$\begin{eqnarray*} -\frac{k}{m}t=ln(0) \end{eqnarray*}$

Und das geht doch nicht. verwirrt

verwirrt

26.12.2012, 17:22

Che Netzer

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RE: Differentialgleichung Anwendung
Mit $\begin{eqnarray*} t=\infty \end{eqnarray*}$ schon Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mit der anderen Darstellung geht es aber auch schöner, da braucht man keine Zeitpunkte.

26.12.2012, 17:27

Cheftheoretiker

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RE: Differentialgleichung Anwendung
Wenn ich mir von der Geschwindigkeitsfunktion den Grenzwert anschaue

$\begin{eqnarray*} \lim_{t\to\infty}v(t)=\lim_{t\to\infty}\left(\frac{mg}{k}-\frac{mg}{k}e^{-\frac{k}{m}t}\right)=0 \end{eqnarray*}$

Das heißt doch wenn die Zeit rießig groß wird dann konvergiert die Geschwindigkeit gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ was ja auch logisch ist, irgendwann ist der Fallschirmspringer ja am Boden angekommen. Big Laugh

Big Laugh

26.12.2012, 17:30

Che Netzer

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RE: Differentialgleichung Anwendung
Der Grenzwert stimmt aber noch nicht ganz.
Der Fallschirmspringer wird nämlich irgendwann mit fast konstanter Geschwindigkeit immer weiter fallen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Versuche es doch mal mit $\begin{eqnarray*} F=mg-kv\overset!=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. bestimme die Geschwindigkeit, bei der keine Kraft wirkt, weil $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ so groß ist, dass sich Reibungs- und Gravitationskraft aufheben.

26.12.2012, 17:35

Cheftheoretiker

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RE: Differentialgleichung Anwendung
Das wäre dann $\begin{eqnarray*} mg-kv=0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} mg=kv \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist demnach $\begin{eqnarray*} v=\frac{mg}{k} \end{eqnarray*}$

Aber wie soll man denn auf darauf kommen anhand von $\begin{eqnarray*} v(t)=\frac{mg}{k}-\frac{mg}{k}e^{-\frac{k}{m}t} \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

26.12.2012, 17:37

Che Netzer

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RE: Differentialgleichung Anwendung
Man muss ja nicht unbedingt Extremwerte suchen und Ableitungen bilden.
Ansonsten kann man aber auch $\begin{eqnarray*} \sup v(t) \end{eqnarray*}$ suchen, was auch wieder $\begin{eqnarray*} \frac{mg}k \end{eqnarray*}$ ist.

26.12.2012, 18:05

Cheftheoretiker

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RE: Differentialgleichung Anwendung
Ah ja, wenn dann müsste man sich $\begin{eqnarray*} \lim_{t\to\infty}a(t) \end{eqnarray*}$ anschauen oder wie? verwirrt

verwirrt

Dann wäre also die größte Geschwindigkeit wenn $\begin{eqnarray*} v(t)=\frac{mg}{k} \end{eqnarray*}$ ist? verwirrt

verwirrt

26.12.2012, 20:01

Che Netzer

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RE: Differentialgleichung Anwendung
Naja, $\begin{eqnarray*} \frac{mg}k \end{eqnarray*}$ ist die Maximalgeschwindigkeit, auch wenn sie mathematisch nie erreicht wird.
Bei dieser Geschwindigkeit würde jedenfalls keine Kraft mehr auftreten, d.h. es läge keine Beschleunigung vor.

26.12.2012, 20:34

Cheftheoretiker

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RE: Differentialgleichung Anwendung
Okay, ich denke das wird nun wird verständlicher wenn ich nun den weiteren Teil der Aufgabe bearbeite. Es ist ja angegeben das $\begin{eqnarray*} m=95kg \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_{max}=5\frac{m}{s} \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} v(t)=\frac{mg}{k}-\frac{mg}{k}e^{-\frac{k}{m}t} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt erhalte ich demnach: $\begin{eqnarray*} v(t)=\frac{95g}{k}-\frac{95g}{k}e^{-\frac{k}{95}t} \end{eqnarray*}$

was ist aber nun $\begin{eqnarray*} v(t)=5 \end{eqnarray*}$ was ist nun $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ? das fehlt mir ja noch um k bestimmen zu können. verwirrt

verwirrt

26.12.2012, 21:12

Che Netzer

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RE: Differentialgleichung Anwendung
Das mit dem $\begin{eqnarray*} v(t) \end{eqnarray*}$ kannst du im zweiten Aufgabenteil völlig vergessen.
Du hast doch jetzt aber schon eine Formel für $\begin{eqnarray*} v_{\max} \end{eqnarray*}$ .

26.12.2012, 21:21

Cheftheoretiker

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RE: Differentialgleichung Anwendung
Demnach müsste dann $\begin{eqnarray*} k=\frac{v_{max}}{mg} \end{eqnarray*}$ sein. Eingesetzt liefert es mir dann: $\begin{eqnarray*} k=\frac{5}{95\cdot 9,81}\approx 0,005365 \end{eqnarray*}$

Damit müsste die Aufgabe gelöst sein? smile

smile

26.12.2012, 21:24

Che Netzer

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RE: Differentialgleichung Anwendung
Ich hätte noch die Einheit angegeben.

Jetzt fehlt nur noch der letzte Teil.

26.12.2012, 21:30

Cheftheoretiker

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RE: Differentialgleichung Anwendung
Ok, eingesetzt liefert es mir erstmal: $\begin{eqnarray*} v(t)=\frac{95g}{0,005365}-\frac{95g}{0,005365}e^{-\frac{0,005365}{95}t} \end{eqnarray*}$

Wie bekomme ich nun die halbe Endgeschwindigkeit raus? verwirrt

verwirrt

26.12.2012, 21:36

Che Netzer

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RE: Differentialgleichung Anwendung
Was wäre denn zunächst die "Endgeschwindigkeit"?
Danach setze $\begin{eqnarray*} v(t) \end{eqnarray*}$ mit der Hälfte davon gleich.

26.12.2012, 21:45

Cheftheoretiker

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RE: Differentialgleichung Anwendung
Hmm... wäre es nicht geschickter wenn ich $\begin{eqnarray*} s(t) \end{eqnarray*}$ berechne und $\begin{eqnarray*} s(t)=0 \end{eqnarray*}$ setze, dann weiß ich die Zeit bis der Fallschirmspringer auf den Boden knallt und kann diese Zeit dann nehmen um die Endgeschwindigkeit zu berechnen oder geht das auch einfacher? verwirrt

verwirrt

26.12.2012, 21:54

Che Netzer

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RE: Differentialgleichung Anwendung
$\begin{eqnarray*} s(t)=0 \end{eqnarray*}$ würde hier gar nichts aussagen.
Überlege dir am besten nochmal, was genau hier überhaupt abläuft – physikalisch gesehen:
Der Fallschirmspringer (unwichtig) fällt bei Luftwiderstand. Sein Fall beschleunigt sich dabei so lange, bis die Geschwindigkeit (und damit die Reibungskraft) so groß wird, dass keine Kraft mehr auf ihn wirkt (effektiv gesehen) und er nicht weiter beschleunigt.

26.12.2012, 22:01

Cheftheoretiker

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RE: Differentialgleichung Anwendung
Also ich könnte ja eigentlich auch die hälfte von $\begin{eqnarray*} v_{max} \end{eqnarray*}$ nehmen also $\begin{eqnarray*} \frac{5\frac{m}{s}}{2}=2,5\frac{m}{s} \end{eqnarray*}$

Big Laugh

Big Laugh

26.12.2012, 22:04

Che Netzer

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RE: Differentialgleichung Anwendung
Das klingt jedenfalls plausibel.

26.12.2012, 23:06

Cheftheoretiker

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RE: Differentialgleichung Anwendung
Ich komme nun auf $\begin{eqnarray*} t\approx 0,25s \end{eqnarray*}$

Kommt das hin? smile

smile

26.12.2012, 23:36

Che Netzer

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RE: Differentialgleichung Anwendung
Sagt mir WolframAlpha auch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das dürfte zeigen, dass Fallschirme auch schön schnell funktionieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.12.2012, 23:53

Cheftheoretiker

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RE: Differentialgleichung Anwendung
Super, vielen Dank für deine Zeit und Geduld. smile

smile

Schönen Gruß

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