f : (a,b) -> R stetig, dann ist f surjektiv

26.12.2012, 22:33

Kompakte Menge

f : (a,b) -> R stetig, dann ist f surjektiv

Meine Frage:
Guten Abend zusammen. Ich habe folgende Aufgabe vor mir liegen:

Sei $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \cup \left\{ -\infty \right\}, b \in \mathbb R \cup \left\{ +\infty \right\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a < b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f : (a,b) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine stetige Funktion mit $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} f(x) = -\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to b} f(x) = +\infty \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv.

Meine Ideen:
Der Zwischenwertsatz von Bolzano besagt:
Die Funktion $\begin{eqnarray*} f : [a,b] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ soll stetig sein und besitzt daher eine Minimalstelle $\begin{eqnarray*} x^- \end{eqnarray*}$ und eine Maximalstelle $\begin{eqnarray*} x^+ \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ . Es gibt dann für jedes $\begin{eqnarray*} y \in [f(x^-),f(x^+)] \end{eqnarray*}$ eine Zahl $\begin{eqnarray*} \hat x \in [a,b] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(\hat x) = y \end{eqnarray*}$ .

Dieser Satz scheint mir elementar für den Beweis zu sein. "Leider" bezieht er sich auf die kompakte Menge $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ und in meiner Aufgabe ist von einem offenen Intervall $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ die Rede.

Es wäre einfach super, wenn mir jemand den nötigen Ansatz dafür liefern könnte. Ich hoffe dabei einfach auf eure, immer gelungene, Hilfestellung Augenzwinkern

26.12.2012, 22:55

Johannes91

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RE: f : (a,b) -> R stetig, dann ist f surjektiv
Hallo,

Die Idee mit dem Zwischenwertsatz ist richtig. Und um ihn anzwenden musst du dir das benötigte kompakte Intervall konstruieren, dabei musst du ausnutzen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x%20\to%20a}%20f(x)%20=%20-\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x%20\to%20b}%20f(x)%20=%20\infty \end{eqnarray*}$ gilt, weil du so für alle $\begin{eqnarray*} y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} x_{1},x_{2}\in(a,b) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_{1})<y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_{2})>y \end{eqnarray*}$ finden kannst.

27.12.2012, 11:30

Kompakte Menge

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RE: f : (a,b) -> R stetig, dann ist f surjektiv
Wie kann ich mir daraus ein kompaktes Intervall konstruieren? Die Grenzen sind ja deshalb offen, weil $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ keine Zahlen sind, oder?

27.12.2012, 12:36

RavenOnJ

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Du könntest ja mal den Definitionsbereich und den Zielbereich von $\begin{align*} f \end{align*}$ erweitern: $\begin{align*} \tilde{f}:[a,b]\to \mathbb{R}\cup\{-\infty\} \cup\{+\infty\} \end{align*}$ , wobei $\begin{align*} \forall x\in (a,b): \tilde{f}(x) = f(x) \end{align*}$ , dann hättest du dein kompaktes Intervall, zumindest solange a und b endlich sind.

27.12.2012, 21:37

Johannes91

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RE: f : (a,b) -> R stetig, dann ist f surjektiv
Wie in meinem anderen Beitrag erwähnt kannst du diese $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ finden, und die sind in jedem Fall nach Wahl schon endlich. Also könntest du versuchen aus den Werten ein Intervall zu konstruieren.
Das Problem beim Erweitern der Funktion wird sein, dass es wegen den Grenzwerten, in dem Fall dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ endlich sind, keine stetige Fortsetzung geben wird, aber die Stetigkeit ist notwendig für den Zwischenwertsatz.

28.12.2012, 17:54

Kompakte Menge

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RE: f : (a,b) -> R stetig, dann ist f surjektiv

Zitat:

Original von Johannes91Wie in meinem anderen Beitrag erwähnt kannst du diese $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ finden, und die sind in jedem Fall nach Wahl schon endlich. Also könntest du versuchen aus den Werten ein Intervall zu konstruieren.
Das Problem beim Erweitern der Funktion wird sein, dass es wegen den Grenzwerten, in dem Fall dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ endlich sind, keine stetige Fortsetzung geben wird, aber die Stetigkeit ist notwendig für den Zwischenwertsatz.

Soll heißen, dass ich auf diese Art nicht zu einer Lösung komme?! Ich bin leider immer noch nicht schlauer. Der Zwischenwertsatz scheint mir das geeignete Mittel zu sein, ich weiß jedoch nicht, wie ich meinen Fall darauf zuschneiden kann ...

28.12.2012, 18:04

shipwater

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Aber das hat Johannes dir doch schon aufgeschrieben. Du wählst ein beliebiges $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} f(x) = -\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to b} f(x) = +\infty \end{eqnarray*}$ existieren dann $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \in (a,b) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_1)<y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_2)>y \end{eqnarray*}$ . Jetzt eben den Zwischenwertsatz auf das Intervall $\begin{eqnarray*} [x_1,x_2] \cup [x_2,x_1] \end{eqnarray*}$ anwenden.

Gruß Shipwater

28.12.2012, 18:14

Kompakte Menge

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Warum $\begin{eqnarray*} [x_1,x_2] \cup [x_2,x_1] \end{eqnarray*}$ ? Wie muss ich mir das vorstellen?

28.12.2012, 18:19

Johannes91

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Zitat:

Original von Kompakte Menge
Warum $\begin{eqnarray*} [x_1,x_2] \cup [x_2,x_1] \end{eqnarray*}$ ? Wie muss ich mir das vorstellen?

Weil $\begin{eqnarray*} x_1<x_2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_2<x_1 \end{eqnarray*}$ gelten könnte und somit eins der beiden Intervalle leer wäre. Man könnte sich wegen den Grenzwerten sogar überlegen, dass man O.B.d.A. $\begin{eqnarray*} x_1<x_2 \end{eqnarray*}$ wählen könnte

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