Potenzreihe

26.12.2012, 23:49

Crazy21

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Potenzreihe

Meine Frage:
Hallo leute ich habe gerade bei einer sehr schweren Aufgabe probleme .

Zumindest ist sie für mich schwer.

$\begin{eqnarray*} \int_0^x \! \frac{cos t -1}{t} \, dt \end{eqnarray*}$

Stellen sie die Funktion als Potenzreihe dar.

Gehen sie dabei so vor, dass sie zunächst den Integranden in eine Potenzreihe entwickeln und dann gliedweise integrieren.

Geben sie die ersten vier Glieder der Potenzreihe an .

cos t als potenzreihe wäre ja irgendwie so:

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{2!}*t^2 + \frac{1}{4!}*t^4 -+... \end{eqnarray*}$

Aber wie gehe ich genau vor?

Meine Ideen:
gepostet

27.12.2012, 00:08

lgrizu

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RE: Potenzreihe
Genau, es ist $\begin{eqnarray*} \cos(t)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} \cdot t^{2k} \end{eqnarray*}$

Nun setze das doch mal in den Integranden ein.

27.12.2012, 00:20

Crazy21

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Dann würde mal denk ich mein Integral so aussehen:

Aber wie gehe ich weiter vor?

27.12.2012, 00:34

lgrizu

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Der Integrand ist falsch, er sollte lauten:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x} \frac{ \cos(t)-1}{t} dt=\int_{0}^{x} \frac{ \left( \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} t^{2k} \right) -1}{t}dt \end{eqnarray*}$

Betrachte zunächst einmal den Zähler:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} t^{2k}=1+\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} t^{2k} \end{eqnarray*}$

Dann kann man noch kürzen und danach Summandenweise integrieren.

27.12.2012, 00:42

Crazy21

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Was kann ich denn im Zähler kürzen?

Das sehe ich irgendwie nicht.

27.12.2012, 00:45

lgrizu

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Nein, im Zähler ist nichts zu kürzen, erst den Zähler betrachten, dann kürzen.

Ich habe dir jetzt den richtigen Integranden hingschrieben, nun arbeite mal damit weiter, prinzipiell ist das Polynomintegration.

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27.12.2012, 00:51

Crazy21

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Kann ich irgendwie das t kürzen?

27.12.2012, 00:53

lgrizu

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Nun betrachte doch zuerst einmal den Zähler und vernachlässige den Nenner....

Ich habe wirklich keine große Lust zu helfen, wenn du nicht auf meine Hilfestellung eingehst.

Wenn du den Zähler als Potenzreihe geschrieben hast, so dass kein Summand mehr vor oder hinter der Reihe steht, dann kann man das t kürzen.
Warum das nicht vorher geht? geht auch, macht den Ausdruck im Zähler aber unnötig unschön.

27.12.2012, 00:57

Crazy21

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Ich bin nicht sicher ob ich dich richtig verstanden hab.'meinst du das ich das Summenzeichen vor das Integral schreiben soll?

27.12.2012, 01:00

lgrizu

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Nein, der Integrand steht doch nun schon hier:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x} \frac{ \cos(t)-1}{t} dt=\int_{0}^{x} \frac{ \left( \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} t^{2k} \right) -1}{t}dt \end{eqnarray*}$

Nun benutze folgendes:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} t^{2k}=1+\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} t^{2k} \end{eqnarray*}$

Wie schaut dein Integrand jetzt aus?

27.12.2012, 01:23

Crazy21

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Zuerst mal die fragen woher kommt auf einmal das 1 + her?

Steht im Integranden jetzt nicht einfach -1/t ?

27.12.2012, 10:30

lgrizu

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Zitat:

Original von Crazy21
Zuerst mal die fragen woher kommt auf einmal das 1 + her?

Ich habe den esten Summanden aus der Reihe herausgezogen.

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\sum\limits_{k=0}^{\infty}}_{*} \frac{(-1)^k}{(2k)!} t^{2k}=1+\underbrace{\sum\limits_{k=1}^{\infty}}_{**} \frac{(-1)^k}{(2k)!} t^{2k} \end{eqnarray*}$

Bei * beginnt der Summationsindex bei k=0, der erste Summand (also für k=0) ist 1, den ziehe ich heraus und der Summationsindex bei ** beginnt entsprechend bei k=1.

Zitat:

Original von Crazy21
Steht im Integranden jetzt nicht einfach -1/t ?

Nö

unglücklich

Nun mach das doch mal Schritt für Schritt, betrachte doch erst mal, wie bereits mehrfach erwähnt den Zähler, was bleibt übrig, wenn du meinen letzten Post mal beherzigst?

27.12.2012, 11:12

Crazy21

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Ich verstehe immer noch leider nicht was sich im Zähler kürzt.

27.12.2012, 11:25

lgrizu

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Und noch mal, im Zähler wird nicht gekürzt......

Simple Addition sollte eigentlich drin sein, wenn man studiert.

Wir haben den Zähler:

$\begin{eqnarray*} \cos(t)-1=\left( \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} \cdot x^{2k} \right) -1 \end{eqnarray*}$

Nun, wie bereits beschrieben, ziehen wir den ersten Summanden aus der Reihe heraus und erhalten:

$\begin{eqnarray*} \cos(t)-1=1+ \left( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} \cdot x^{2k} \right) -1 \end{eqnarray*}$

Nun ist 1-1=0 (Assozoativgesetz anwenden) und entsprechend ist

$\begin{eqnarray*} \cos(t)-1=1+ \left( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} \cdot x^{2k} \right) -1= \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} \cdot x^{2k} \end{eqnarray*}$

Nun haben wir den Zähler, wie schuat der Integrand nun aus?

30.12.2012, 17:07

Crazy21

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Ich versteh immer. Noch nicht woher die 1 auf einmal herkommt.

Kann mir das jemand erklären?

30.12.2012, 23:25

lgrizu

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Das ist der erste Summand der Reihenentwicklung des Kosinus.......

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