Vermutung: Kurven mit transzendenten Punkten

12.02.2007, 23:32

akechi90

Vermutung: Kurven mit transzendenten Punkten

Ich habe eine kleine Vermutung aufgestellt, allerdings komme ich derzeit nicht so recht voran. Ich glaube, hier braucht man einen sehr guten Logiker:

Vermutung:
Folgender Satz ist nur mit Kardinalitätsvergleichen beweisbar:

Sei gegeben eine beliebige injektive Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \mathbb C \to \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Dann existieren stets $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ , sodass die Abbildung $\begin{eqnarray*} f ( x + c ) \end{eqnarray*}$ folgende Bedingung erfüllt:
Für jedes $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \exists a \in \mathbb T: a \in \{x;f(x+c)\} \end{eqnarray*}$ .
Dabei sind $\begin{eqnarray*} \mathbb T \end{eqnarray*}$ die transzendenten Zahlen.
Könnt ihr mir weiterhelfen?

13.02.2007, 11:06

Dual Space

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RE: Vermutung: Kurven mit transzendenten Punkten

Zitat:

Original von akechi90
Sei gegeben eine beliebige injektive Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \mathbb C \to \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Dann existieren stets $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ , sodass die Abbildung $\begin{eqnarray*} f ( x + c ) \end{eqnarray*}$ folgende Bedingung erfüllt:
Für jedes $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \exists a \in \mathbb T: a \in \{x;f(x+c)\} \end{eqnarray*}$ .
Dabei sind $\begin{eqnarray*} \mathbb T \end{eqnarray*}$ die transzendenten Zahlen.

Mit anderen Worten behauptest du, dass das Bild einer Injektivität mindestens ein transzendentes Element besitzt besitzt?

13.02.2007, 11:47

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Ich hab schon Probleme mit der Schreibweise $\begin{eqnarray*} \{x;f(x+c)\} \end{eqnarray*}$ : Soll das einfach die zweielementige Menge mit den Elementen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x+c) \end{eqnarray*}$ sein?

Falls ja: Warum dann so überkompliziert formuliert - das kann man dann doch einfach so sagen:

Für jedes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist entweder $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(x+c) \end{eqnarray*}$ transzendent.

13.02.2007, 12:52

Dual Space

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Für jedes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist entweder $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(x+c) \end{eqnarray*}$ transzendent.

Wobei man sich natürlich fragen sollte, ob die "Konstante" c dann nicht von x abhängt.

13.02.2007, 13:19

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Es gibt schon eine von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ unabhjängige Konstante $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ mit dieser Eigenschaft. Ich warte nur erst noch ab, ob das mit der zweielementigen Menge wirklich so aufzufassen ist.

13.02.2007, 13:52

sqrt(2)

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RE: Vermutung: Kurven mit transzendenten Punkten
Worum es ja eigentlich zu gehen scheint, ist:

Zitat:

Original von akechi90
Folgender Satz ist nur mit Kardinalitätsvergleichen beweisbar:

Da Frage ich mich: Mit welchem Axiomensystem arbeitest du eigentlich? Geht Principia Mathematica überhaupt so weit?

13.02.2007, 16:54

akechi90

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Ich arbeite im gewöhnlichen System ZFC der Mengenlehre. D.h. ich lasse das Auswahlaxiom zu und erlaube alle überdies Mittel der Zahlentheorie, solange sie nicht in versteckter Weise höhere Kardinalitäten vergleichen.
Das heißt, es darf in dem Beweis an keiner Stelle ein Satz verwendet werden, der von dem Satz "Die Kardinalität der transzendenten Zahlen (Aleph 1) ist größer als die der algebraischen Zahlen (Aleph 0)" abgeleitet werden kann.

EDIT: Die Konstante c soll übrigens für die gesamte Abbildung dieselbe sein. Das heißt, es existiert ein festes c, sodass die Abbildung nie zulässt, dass sowohl f(x+c) als auch x algebraisch sind.

13.02.2007, 17:37

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Zitat:

Original von akechi90
Das heißt, es darf in dem Beweis an keiner Stelle ein Satz verwendet werden, der von dem Satz "Die Kardinalität der transzendenten Zahlen (Aleph 1) ist größer als die der algebraischen Zahlen (Aleph 0)" abgeleitet werden kann.

Dumme Frage: Warum nicht?

Die algebraischen Zahlen sind abzählbar, die komplexen überabzählbar - also sind auch die transzendenten als Differenzmenge überabzählbar. Welcher Logikbaustein (also welches Axiom) fehlt denn bei dir, der diese Argumentation nicht zulässt? Ich möcht's nur gern wissen.

13.02.2007, 17:55

akechi90

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Mich interessiert die Frage, ob es einen Beweis gibt, der auch ohne diese Feststellungen auskommt

13.02.2007, 18:01

Leopold

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Warum dann so überkompliziert formuliert - das kann man dann doch einfach so sagen:

Für jedes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist entweder $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(x+c) \end{eqnarray*}$ transzendent.

@ akechi90

Ein gutgemeinter Rat:

Wer einfache Aussagen durch Häufung von Quantoren(zeichen) und Verwendung überflüssiger Variablen unverständlich macht, setzt sich dem Verdacht aus, gar nicht so viel zu sagen zu haben. Man könnte auch sagen: ein Blender ...

Für mathematische Aussagen ist als Umgebungssprache grundsätzlich die deutsche (englische, französische usw.) mathematische Umgangssprache zu benutzen. Eine Ausnahme bilden Untersuchungen formaler Sprachen selbst (Grundlagenforschung, mathematische Logik, Informatik). Auch mag im Einzelfall einmal die Verwendung von Quantoren $\begin{eqnarray*} \exists, \forall \end{eqnarray*}$ usw. hilfreich sein, wenn das menschliche Gedächtnis die logische Struktur nicht mehr vollständig erfassen kann, etwa wenn es darum geht, die Negation einer komplexen Aussage zu ermitteln. So etwas begegnet einem am ehesten noch in der Topologie (die Stetigkeitsdefinition ist z.B. in der Nähe dieser Komplexität). Aber das sind Einzelfälle!

Und ob es in der von dir untersuchten Aussage wirklich um mathematische Logik geht, daran habe ich meine Zweifel, auch wenn du das behauptest.

13.02.2007, 18:25

akechi90

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Nun ja, im Theorem von Kirby und Paris geht es ebenfalls um die Nicht-Beweisbarkeit einer Aussage in einem speziellen System, und das ist ne Fragestellung wie meine, von daher würde ich es als SO unabhängig vom Thema Logik/Beweistheorie gar nicht sehen.

P.S.: Danke für den Tipp, bin das mit den Quantoren usw. eben zu sehr vom Lesen her gewohnt.

13.02.2007, 19:09

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Meine Frage hast du leider nicht beantwortet. unglücklich

13.02.2007, 21:25

akechi90

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Ich lasse nur die unendlichen Kardinalitäten im Beweis nicht zu, das ist der fehlende Logikbaustein. Ich bin ziemlich fest überzeugt, dass der Beweis ohne diesen Baustein (Kenntnis der Abzählbarkeit/Überabzählbarkeit der Zahlenmengen) nicht möglich ist.

13.02.2007, 21:29

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Du kannst nicht einfach Sachen verbieten, die sich aus Grundaxiomen durch logische Schlüsse ergeben. Da musst du schon an den Grundaxiomen rütteln, und das möchte ich gern hören, welche das sein sollen. Aber pass auf, dass nicht gleich alles einstürzt. Augenzwinkern

13.02.2007, 23:29

akechi90

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Ich schau grad selbst nach, das Prinzip der Gleichmächtigkeit an sich scheine ich wohl nicht so ganz verbieten zu können, da ich dann auch nicht in der Lage bin, Funktionen richtig zu untersuchen.
Ich überschaue das Problem nochmals sorgfältig und geb spätestens übermorgen Bescheid. Sollte ich Mist von mir gegeben haben, entschuldige ich mich herzlichst dafür Big Laugh

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