Ist die Umkehrfunktion einer Bijektion immer bijektiv?

27.12.2012, 07:56

Monoid

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Ist die Umkehrfunktion einer Bijektion immer bijektiv?

Hallo,

Ich soll zeigen, dass man S(Y) in kanonischer Art und Weise als Untergruppe von S(X) auffassen kann, wenn Y Teilmenge von X ist.

S(Y) ist Teilmenge von S(X).
Wenn man zwei Bijektionen aus S(Y) komponiert, erhält man ein Element von S(Y).
Das inverse eines Elemnts von S(Y) ist dessen Umkehrfunktion. Aber warum ist diese ggf. in S(Y)?

Ich kann keinen Zusammenhang erkennen.

27.12.2012, 08:38

ollie3

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RE: Umkehrfunktion einer Bijektion ist immer bijektiv?
hallo,
meinst du mit S(X) und S(Y) die symmetrischen gruppen (also permutationsgruppen) über
elemente von X und Y?
gruss ollie3

27.12.2012, 09:03

Monoid

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RE: Umkehrfunktion einer Bijektion ist immer bijektiv?
Nein, mit S(X) meine ich die Menge der Bijektionen von X-> X.

27.12.2012, 09:42

tmo

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RE: Umkehrfunktion einer Bijektion ist immer bijektiv?

Zitat:

Original von Mathemathemathe
Hallo,

Ich soll zeigen, dass man S(Y) in kanonischer Art und Weise als Untergruppe von S(X) auffassen kann, wenn Y Teilmenge von X ist.

Mach dir in diesem Kontext mal über das Wort Gruppe Gedanken. Das scheinst du ja noch nicht vollständig getan zu haben.

PS: Die Symmetrische Gruppe ist die Menge aller Bijektionen X -> X

27.12.2012, 10:27

Monoid

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RE: Umkehrfunktion einer Bijektion ist immer bijektiv?
Wie meinst du das?

Um das zu beweisen, muss ich natürlich noch zeigen, dass S(X) eine Gruppe ist, aber das mache danach. Denn da habe ich das selbe Problem. Assoziativität und inverse Element.

27.12.2012, 10:51

tmo

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Das ist aber nicht gerade solide Mathematik.

Bevor du einsehen kannst, dass $\begin{eqnarray*} S(Y) \end{eqnarray*}$ Untergruppe von $\begin{eqnarray*} S(X) \end{eqnarray*}$ ist, solltest du einsehen, dass $\begin{eqnarray*} S(X) \end{eqnarray*}$ überhaupt eine Gruppe ist.

Vor allem, weil danach dein Problem von alleine wegfällt.

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27.12.2012, 10:58

Monoid

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Ja, schon stimmt.

Aber deine Beiträge haben nicht sehr viel dazu geholfen, dass das Problem wegfällt.

27.12.2012, 11:01

RavenOnJ

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Überleg mal, wie die Elemente von $\begin{align*} X\setminus Y \end{align*}$ bei einer Abbildung $\begin{align*} s \end{align*}$ aus $\begin{align*} S_Y(X) \subset S(X) \end{align*}$ bijektiv abgebildet werden, wobei $\begin{align*} S_Y(X) \end{align*}$ die kanonische Einbettung von $\begin{align*} S(Y) \end{align*}$ in $\begin{align*} S(X) \end{align*}$ sein soll. Dann sollte schnell klar werden, warum $\begin{align*} S(Y) \end{align*}$ Untergruppe ist, da $\begin{align*} S(Y) \end{align*}$ und $\begin{align*} S_Y(X) \end{align*}$ isomorph sind.

27.12.2012, 11:17

tmo

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Zitat:

Original von Mathemathemathe
Aber deine Beiträge haben nicht sehr viel dazu geholfen, dass das Problem wegfällt.

Liegt vielleicht daran, dass du noch nichtmal hingeschrieben hast, was eine Umkehrfunktion eigentlich ist. Wenn man das macht, und dann noch die Definition von Injektiv und Surjektiv hinschreibt, ist man ja schon fast fertig.

Ich bin raus hier, RavenOnJ, du kannst gerne weitermachen.

28.12.2012, 12:39

Monoid

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Eine Umkehrfunktion ist die Umkehrung einer funktion:
Man muss x und y vertauschen und anschließend nach y umstellen.

29.12.2012, 19:40

Monoid

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Ok, den Beweis hätte ich, wenn ich die Assoziativität zeigen könnte. Nur da habe ich keine Ideen...

@Ravenonj:
Bist du dir sicher, dass man für den Beweis Einbettungen braucht? Denn Einbettungen kenne ich zwar, aber in dem Buch das ich durcharbeite ( aus dem die Aufgabe stammt ) wurden bisher noch keine Einbettungen definiert.

29.12.2012, 21:06

RavenOnJ

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Die Bijektionen in $\begin{align*} S(X) \end{align*}$ operieren auf einer anderen Menge als die in $\begin{align*} S(Y) \end{align*}$ , auch wenn $\begin{align*} Y\subset X \end{align*}$ . Deswegen muss man erst mal die Bijektionen aus $\begin{align*} S(Y) \end{align*}$ mit bestimmten Bijketionen aus $\begin{align*} S(X) \end{align*}$ identifizieren. Deren Menge habe ich $\begin{align*} S_Y(X) \end{align*}$ genannt. Das geschieht über die kanonische Einbettung, indem bei einer Bijektion aus $\begin{align*} S_Y(X) \end{align*}$ jedem Element aus $\begin{align*} X\setminus Y \end{align*}$ dasselbe Element zugeordnet wird:

$\begin{eqnarray*} \forall s \in S_Y(X), \forall x \in X\setminus Y: s(x) = x \end{eqnarray*}$

sowie die Identifizierung

$\begin{eqnarray*} S(Y) \ni \tilde s \mathrel{\widehat{=}} s\in S_Y(X), \forall y\in Y: \tilde s(y) = s(y) \end{eqnarray*}$

Unter den Voraussetzungen kann man $\begin{align*} S(Y) \end{align*}$ als Untergruppe $\begin{align*} S(Y) \le S(X) \end{align*}$ ansehen.

30.12.2012, 09:33

Monoid

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Irgendwie verstehe ich das nicht so ganz. Wo ist in dem Beweis von Assoziativität oder einem inversen.., Die Rede?

30.12.2012, 09:54

ollie3

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hallo mmm,
damit das alles nicht zu abstrakt wird und du dir das besser vorstellen kannst,
nimm doch z.B. die gruppen S_3 und S_5. Man kann die S_3 als untergruppe
der S_5 auffassen oder eben in der S_5 einbetten, indem man bei der S_5
einfach immer das vierte und fünfte element festhält, also nur den teil der
S_5 nimmt, wo nur die ersten 3 zahlen permutiert werden dürfen, und man
kann sich schnell klarmachen, das das dann eine gruppe bildet.
gruss ollie3

30.12.2012, 10:11

Monoid

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Aber warum gilt die Assoziativität? An Bespielen kann ich mir das nicht klar machen.

30.12.2012, 10:28

ollie3

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hallo,
verknüpfe doch mal 2 permutationen aus der S_5, wo die 4. und 5. zahl
festgehalten wird. Bei der ergebnispermutation wird dann ja auch die vierte
und fünfte zahl festgehalten. Und ansonsten übertragen sich doch alle
eigenschaften, wir haben das selbe neutrale element. es gibt immer ein
inverses, und die gruppengesetze vererben sich doch auch.
gruss ollie3

30.12.2012, 10:37

Mystic

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Seien $\begin{eqnarray*} h:A \to B, g:B \to C, f:C \to D \end{eqnarray*}$ irgendwelche Abbildungen und $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ beliebig... Dann gilt

$\begin{eqnarray*} ((f \circ g) \circ h)(x)= (f \circ g) (h(x)) =f(g(h(x)) \end{eqnarray*}$

Du brauchst also jetzt nur noch

$\begin{eqnarray*} (f \circ (g \circ h))(x) \end{eqnarray*}$

berechnen um festzustellen, dass die Assiziativität klarerweise gilt und zwar bereits für beliebige (!) Abbildungen, soferne die auftretenden Kompositionen überhaupt definiert sind...

30.12.2012, 11:20

Monoid

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Ach ich Dummkopf! Hammer

Hammer

Ja, jetzt habe ich es verstanden! Vielen Dank! Wink

Wink

30.12.2012, 12:13

RavenOnJ

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Assoziativität: Dann schalte halt mal drei Bijektionen hintereinander und betrachte das elementweise. Dann wirst du sehen, dass das Ergebnis nicht von der Klammerung abhängt.

Inverse: Da es sich um Bijektionen handelt, sollte es auch nicht so schwer sein, die jeweiligen Inversen zu finden.

Edit: Ach so, doch schon alles klar, dann betrachte das Post als überflüssig.

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