Mengensysteme

27.12.2012, 12:23	LuckyLoser	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengensysteme Meine Frage: Ich wiederhole im Moment meine MIT-Vorlesung, und mir stellen sich einige, kleine Fragen, die es nicht wert sind, dass man sie alle einzeln postet. 1) Wir haben die Menge der links halboffenen Intervalle so definiert: Zu $\begin{eqnarray} a=(a_1,...,a_d){,}b=(b_1,...,b_d) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_k\leq b_k \forall 1\leq k\leq n {,}k{,}d\in \mathbb N \end{eqnarray}$ setze $\begin{eqnarray} (a{,}b]=(a_1,b_1]x...x(a_d,b_d] \end{eqnarray}$ . Es ist also auch möglich, dass a=b. Das führt aber zu dem Ausdruck (a,a], was nicht definiert ist. Wie deutet man dies also? Ich habe auch keine Einschränkung gefunden, dass es min. ein k geben muss mit $\begin{eqnarray} a_k<b_k \end{eqnarray}$ 2) Sei S eine $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra und $\begin{eqnarray} A,B\in S \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} B \setminus A=(B^c \cup A^c)^c \end{eqnarray}$ ist somit jede $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra ein Ring. Es gelingt mir aber nicht, diese Gleichheit zu beweisen: $\begin{eqnarray} (B^c \cap A^c)^c=\left\{\omega\in\Omega:\omega\in B^c \lor \omega\in A^c\right\}^c=\left\{\omega\in\Omega :\omega\in B \land \omega\in A\right\} =\left\{\omega\in\Omega :\omega\in {A\cap B}\right\}=A\cap B \end{eqnarray}$ Meine Ideen: s.o.
27.12.2012, 12:25	LuckyLoser	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ meine ich das Kreuzprodukt.
27.12.2012, 21:10	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengensysteme 1. also entweder definiert man (a,b] nur für a<b (dann wäre (a,a] halt nicht definiert), oder es ist eben (a,a] einfach leer wie du dir sicher überlegen kannst. 2. das stimmt auch nicht, beim "A" sollte kein "c" sein. lg
28.12.2012, 10:38	LuckyLoser	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 1.) Das würde zumindest erklären, warum die Menge der d-dim. Figuren $\begin{eqnarray} F^d:=\left\{\bigcup\limits_{k=1}^n I_k, n\in\mathbb N \right\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} I_k \end{eqnarray}$ in der Menge der linkshalboffenen Intervall im $\begin{eqnarray} \mathbb R ^d \end{eqnarray}$ ein Ring ist, denn jetzt ergibt sich die leere Menge zwangsläufig als Element. 2.) Jaa, das macht jetzt Sinn. Bei dem Tempo, das manchmal an den Tag gelegt wird, schleicht sich so mancher Fehler ein. Danke für die Hilfe
28.12.2012, 11:24	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengensysteme $\begin{eqnarray} B \setminus A=(B^c \cup A)^c \; \stackrel{de Morgan}{=} B \cap A^c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (B^c {\color{red}\cup} A^c)^c\stackrel{def}{=}\left\{\omega\in\Omega:\omega\in B^c \lor \omega\in A^c\right\}^c\stackrel{de Morgan}{=}\left\{\omega\in\Omega :\omega\in B \land \omega\in A\right\} \stackrel{def}{=}\left\{\omega\in\Omega :\omega\in {A\cap B}\right\}\stackrel{def}{=}A\cap B \end{eqnarray}$
28.12.2012, 11:55	LuckyLoser	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein aufmerksamer Leser. Ich habe meinen Schreibfehler im ersten Post nicht wahrgenommen.
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28.12.2012, 13:37	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich dachte schon, daran hätte das Nicht-Verstehen gehangen.

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