Anzahl, Umfang und Flächeninhalt der Kreise

27.12.2012, 14:54	Yu	Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl, Umfang und Flächeninhalt der Kreise Ich rechne grade folgende Abituraufgabe (im Bildanhang). Hier sind meine Überlegungen dazu: a) Es ist unschwer zu erkennen, dass es um Zahlenfolgen geht. Daher gilt für die Anzahl der Kreise, da sie sich ja immer verdoppelt, eine geometrische Zahlenfolge: $\begin{eqnarray} n_{k} = 1\cdot 2^{k-1} \end{eqnarray}$ Für den Umfang eines Kreises gilt ja allgemein: $\begin{eqnarray} u=2\pi r \end{eqnarray}$ Darin habe ich r substituiert mit: $\begin{eqnarray} r=\frac{a}{2^{k-1} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u_{k} =\frac{2\pi a}{2^{k-1} } \end{eqnarray}$ Und für den Flächeninhalt dann: $\begin{eqnarray} A=\pi r^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_k=\frac{2\pi a^2}{2^{2k-2} } \end{eqnarray}$ ______________________________________________________ Soweit so gut. Ich kann der Aufgabe aber nicht entnehmen, ob mit dem Umfang und Flächeninhalt alle Kreise, oder nur ein Kreis gemeint ist. Ich denke es sind alle Kreise gemeint, dann muss ich natürlich $\begin{eqnarray} u_k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n_k \end{eqnarray}$ multiplizieren. Dann erhalte ich: $\begin{eqnarray} u_k=2\pi a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u_k \end{eqnarray}$ ist somit eine konstante Folge. $\begin{eqnarray} A_k=\frac{2\pi a^2}{2^{k-1} } \end{eqnarray}$ Für die Grenzwerte erhalte ich dann: Umfang $\begin{eqnarray} \lim_{k \to +\infty } 2 \pi a=2\pi a \end{eqnarray}$ Flächeninhalt $\begin{eqnarray} \lim_{k \to +\infty } \frac{\pi a^2}{2^{k-1} } =0 \end{eqnarray}$ b) Ich soll zeigen, dass es sich bei $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ um eine geometrische Zahlenfolge handelt. Das gilt, wenn es dann ein konstantes $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ zwischen den Zahlenfolgengliedern gibt. Wie ich das jetzt mathematisch nachweise, weiß ich nicht. Deshalb habe ich mir die Folge die sich daraus ergibt mal aufgeschrieben: $\begin{eqnarray} (A_k)=(\frac{\pi a^2}{1} ;\frac{\pi a^2}{2};\frac{\pi a^2}{4};\frac{\pi a^2}{8};\frac{\pi a^2}{16};\frac{\pi a^2}{32};...) \end{eqnarray}$ Eindeutig gibt es einen konstanten Quotienten mit $\begin{eqnarray} q=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Kann ich das noch irgendwie anders nachweisen? Für die Summe der Flächeninhalte gilt: $\begin{eqnarray} A_{Summe} =\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\pi a^2}{2^{k-1} } \end{eqnarray}$ Wie berechne ich sowas?
27.12.2012, 15:40	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schätze, es ist für alle Kreise gemeint. Soweit ich mich erinnere ist bei soetwas es allerdings kein Problem, in der Klausur den Lehrer zu fragen, schließlich geht es darum, was man ausrechnen soll und nicht wie. Wie man "mathematisch zeigt", dass es eine geometrische Folge ist habe ich keine Ahnung, meines Erachtens wäre das mit $\begin{eqnarray} A_k=C\left(\frac{1}{2}\right)^k \end{eqnarray}$ wobei C eine Konstante ist bereits getan. Dies ist allerdings bereits aus Aufgabe (a) ersichtlich, also etwas komisch. Geometrische Reihe: $\begin{eqnarray} \sum_{j=0}^{\infty}x^j=\frac{1}{1-x}, \|x\|<1 \end{eqnarray}$ Dafür am besten die geometrische Summenformel merken: $\begin{eqnarray} a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}=(a-b)\sum_{i+j=n-1}a^ib^j \end{eqnarray}$ (Beweis z.B. durch Induktion) Dadurch ergibt sich mit dem Spezialfall a=1 und minimalen Umformungen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n b^k=\frac{1-b^{n+1}}{1-b} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} b^{n+1} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|b\|<1 \end{eqnarray}$ eben für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ gegen Null konvergiert. Oft reicht es, einfach die Formel für die geometrische Summe zu kennen, ich selbst kann mir aber Dinge viel besser merken, wenn ich mich zusätzlich erinnere, woher sie kommen. PS: Ich kann mich nicht mehr erinnern, ob wir in der Schule die geometrische Reihe gelernt haben Kann eigentlich nicht sein, denn wir haben nicht einmal Induktion besprochen. Vielleicht irgendwo als Formel zum auswendig lernen? Würde erklären, wieso ich mich nicht erinnern kann.
27.12.2012, 15:59	Yu	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay also ist ja eigentlich alles soweit ok. Zu der Summe: Naja wir haben sowas nie gehabt. Wir haben das in der 10. Klasse mal kurz angerissen aber sowas berechnet haben wir nicht. Also berechnet schon aber nicht, dass es bis unendlich geht. Ansonsten haben wir sowas nie gemacht (vor allem von "Induktion" habe ich nur gelesen). Scheint ja aber irgendwie im Abi dranzukommen. Na gut man kann auch Testeinsetzung machen, der Taschenrechner kann Summensymbole ja berechnen. Ich schau es mir mal an. Melde mich dann nochmal mit der Lösung der Summe.
27.12.2012, 16:25	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Anschaulich behandelt die Aufgabe wohl den Unterschied zwischen linearen und quadratischen Größen. Der Umfang hängt linear vom Radius ab, halbiert man also den Radius, halbiert sich auch der Umfang. Der Flächeninhalt hängt über das Quadrat mit dem Radius zusammen, halbiert man also den Radius, viertelt man den Flächeninhalt. Nimmt man nun also wie in der Aufgabe in jedem Schritt doppelt soviele Kreise, ist ersichtlich, dass sich der Umfang der Gesamtfigur nicht ändert, der Flächeninhalt allerdings jeden Schritt halbiert. Der Rest der Aufgabe ist dann soweit ich das sehe eher ein Wissenstest, denn es wird wohl kein Beweis für die geometrische Reihe oder $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}x^n=0, \|x\|<1 \end{eqnarray}$ gefordert.
27.12.2012, 16:47	Yu	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmal zur Aufgabe b) Hab nochmal über den Nachweis der geometrischen Folge nachgedacht. Es ist eine geometrische Folge, wenn es zwischen den Zahlenfolgengliedern ein konstantes $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ gibt, für das gilt: $\begin{eqnarray} q=\frac{a_{n+1} }{a_{n} } \end{eqnarray}$ Wenn ich das übertrage, ist die Folge $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ geometrisch wenn ich dafür einen Wert (unabhängig von k) bekomme. $\begin{eqnarray} q=\frac{A_{k+1} }{A_{k} } =\frac{\pi a^2}{2^{(k+1)-1} } :\frac{\pi a^2}{2^{k-1} } =\frac{\pi a^2}{2^{k} } \cdot \frac{2^{k-1} }{\pi a^2} =\frac{2^{k-1} }{2^k} =\frac{2^k\cdot 2^{-1} }{2^k} =2^{-1} =\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Damit ist die Folge $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ geometrisch. Zu der Summe. Ich denke mal das der "Schulweg" über Testeinsetzung gefragt ist. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\pi a^2}{2^{k-1} } =\pi a^2\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{2^{k-1}} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ habe ich $\begin{eqnarray} 100 \end{eqnarray}$ eingesetzt, denn dafür kommt bereits $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ heraus ( $\begin{eqnarray} 1,58\cdot 10^{-30} \end{eqnarray}$ ). Dann erhalte ich einen Grenzwert von: $\begin{eqnarray} \pi a^2\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{2^{k-1}}=2\pi a^2 \end{eqnarray}$
27.12.2012, 16:54	Yu	Auf diesen Beitrag antworten »
oooh. Jetzt versteh ich das mit der geometrische Reihe. Es steht dick und fett im Tafelwerk: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty A_k= \frac{A_1}{1-q} =\frac{\pi a^2}{1-\frac{1}{2} } =2\pi a^2 \end{eqnarray}$
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27.12.2012, 17:16	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Das $\begin{eqnarray} \frac{A_{k+1}}{A_k}=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ist wohl etwas schöner und sicherer für Punkte, geht aber eben aus $\begin{eqnarray} A_k=C\left(\frac{1}{2}\right)^k \end{eqnarray}$ unmittelbar hervor. Ich schätze mal in der Schule ist es besser, es noch hin zu schreiben Hier will ich nur standardgemäß auf die mögliche Inkorrektheit des Einsetzens großer Zahlen hinweisen: Es gibt genug Folgen, bei denen für sehr große n es sehr klein wird, allerdings ab einer bestimmten Stelle wieder größer, oder nie beliebig klein. Gerade zu $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^k \end{eqnarray}$ kann man eventuell eine anschauliche Argumentation geben, denn $\begin{eqnarray} 2-\sum_{k=0}^n \left(\frac{1}{2}\right)^k=\left(\frac{1}{2}\right)^n \end{eqnarray}$ was allerdings formal vmtl ebenfalls mit Induktion bewiesen werden würde. Dann könnte man erneut $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n=0 \end{eqnarray}$ anwenden. Es ist $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\pi a²}{2^{k-1}}\overset{\text{linearität}}{=}\pi a²\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{k-1}}\overset{\text{indexshift}}{=}\pi a²\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^k}=\pi a²\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^k\overset{\text{geom. Reihe}}{=}\pi a²\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2\pi a² \end{eqnarray}$ edit: PS: passe hier bitte immer darauf auf, ob Summen von Null oder Eins beginnen, das macht einen Unterschied (bisher ist nichts schief gegangen, ich will nur zur Sicherheit darauf aufmerksam machen)
27.12.2012, 17:44	Yu	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe =)

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