Kurvendiskussion (Extremstellen)

27.12.2012, 14:54

quark

Kurvendiskussion (Extremstellen)

Meine Frage:
Hallo, Ich suche die Extremstellen von folgender Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{3}-4x \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Die Bedingung lautet: $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^{2}-4 \end{eqnarray*}$ und jetzt die abgeleitete Funktion gleich Null setzen.=> $\begin{eqnarray*} 3x^{2}-4 =0 \end{eqnarray*}$
dann habe ich $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{\frac{4}{3} } \end{eqnarray*}$ bekommen.

Nun sehe ich aber in der Lösung das stehen: $\begin{eqnarray*} x_{5} =-\frac{2}{3} \cdot \sqrt{3} ;x_{6} =\frac{2}{3} \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Wie komme ich nun zu diesen beiden Lösungen?

27.12.2012, 14:58

conlegens

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurvendiskussion (Extremstellen)
Es wurden Teilwurzeln aus Zähler und Nenner gezogen, dann der Nenner, $\begin{eqnarray*} \sqrt3 \end{eqnarray*}$ ,rational gemacht.

27.12.2012, 15:02

Auf diesen Beitrag antworten »

Lösungformel:

$\begin{eqnarray*} x_{1/2} =-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q } \end{eqnarray*}$

Das + und - ist wichtig!
Beim Wurzelziehen gibt es immer 2 Lösungen (wenn der DB nicht eingeschränkt ist).

Und deine Lösung ist natürlich richtig. Der Nenner wurde nur rational gemacht. Lass es ruhig so stehen.

27.12.2012, 15:06

conlegens

Auf diesen Beitrag antworten »

@Yu

Die p/q-Formel ist hier nicht erforderlich.

27.12.2012, 15:16

quark

Auf diesen Beitrag antworten »

Kurvendiskussion (Extremstellen)
Ist p in meinem Fall =0?

27.12.2012, 15:28

conlegens

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurvendiskussion (Extremstellen)
Richtig:

$\begin{eqnarray*} 3x^2 \pm0x-4 \end{eqnarray*}$

27.12.2012, 15:35

quark

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurvendiskussion (Extremstellen)
Ich bekomme $\begin{eqnarray*} -\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ unter der wurzel.
Das ist doch negativ?!

27.12.2012, 15:52

conlegens

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurvendiskussion (Extremstellen)
Unter der Wurzel steht:

$\begin{eqnarray*} (0^2/4)/4-(-4/3) \end{eqnarray*}$

27.12.2012, 16:02

quark

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurvendiskussion (Extremstellen)
wieso steht bei der Formel in der Wurzel $\begin{eqnarray*} \frac{p^{2} }{4} -q \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \frac{p^{2} }{2} -q \end{eqnarray*}$ , wie es sonst üblich ist?

verwirrt

27.12.2012, 16:05

quqrk

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurvendiskussion (Extremstellen)
Ups, jetzt hab ichs gesehen, sorry mein Fehler! Ups

hab alles begriffen, danke für deine Hilfe Wink

27.12.2012, 16:13

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von conlegens
@Yu

Die p/q-Formel ist hier nicht erforderlich.

Doch eigentlich schon, denn der Grundgedanke ist der gleiche. Egal ob $\begin{eqnarray*} p=0 \end{eqnarray*}$ ist oder nicht.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^2-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=3x^2-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=x^2-\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1/2} =-\frac{0}{2}\pm \sqrt{\frac{0^2}{4} +\frac{4}{3} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1}=\sqrt{\frac{4}{3} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2}=-\sqrt{\frac{4}{3} } \end{eqnarray*}$

Natürlich kann man das auch ohne p-q-Formel lösen. Der grundlegende Weg führt aber über diese Formel.

Man kann also nicht sagen, dass die p-q-Formel nicht erforderlich ist, denn diese beweist, dass es genau diese 2 Lösungen gibt. Und die Frage war: "Wie komme ich nun zu diesen beiden Lösungen? "

27.12.2012, 16:29

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Yu
Man kann also nicht sagen, dass die p-q-Formel nicht erforderlich ist, denn diese beweist, dass es genau diese 2 Lösungen gibt. Und die Frage war: "Wie komme ich nun zu diesen beiden Lösungen? "

Zu diesen beiden Lösungen kommt man auch ohne pq-Formel.

In dieser Zeile zeigt sich, wie überflüssig sie ist: $\begin{eqnarray*} x_{1/2} =-\frac{0}{2}\pm \sqrt{\frac{0^2}{4} +\frac{4}{3} } \end{eqnarray*}$

Die pq-Formel ist nur zweckmäßig, wenn eine Summe unter der Wurzel steht, wenn also $\begin{eqnarray*} p \neq 0 \end{eqnarray*}$

Im vorliegenden Fall braucht man diesen Umweg nicht zu gehen, eine einfache Umformung liefert das gleiche Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} 0=x^2-\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 = \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ ==> Jetzt kann direkt die Wurzel gezogen werden.

Da wir von x² ausgehen und keine Einschränkung im Definitionsbereich vorliegt, ist es klar, dass es zwei Lösungen geben muss.

27.12.2012, 17:47

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Yu
Natürlich kann man das auch ohne p-q-Formel lösen.

Ja ich weiß =) Dass es auch ohne geht. Ich wollte so nur verdeutlichen, dass es 2 Lösungen sind

Neue Frage »

Antworten »

Kurvendiskussion (Extremstellen)

Verwandte Themen