Gradient einer Abbildung

27.12.2012, 15:47

Jason87

Gradient einer Abbildung

Meine Frage:
Gegeben:
$\begin{eqnarray*} f: R^4 \rightarrow R g: R^2 \rightarrow R^2 h: R^2 \rightarrow R h(x,y) = f(e^x - y, x^2 + y^2, g(x,y) ) \end{eqnarray*}$

Gesucht:
Der Gradient der Funktion h

Meine Ideen:
Mein Ansatz war, dass ich versuche die Funktion einfach nach die Variablen abzuleiten. Theoretisch auch richtig, aber ich kanns nicht umsetzen.

27.12.2012, 18:23

zyko

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RE: Gradient einer Abbildung
Kettenregel anwenden:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial h(x,y)}{\partial x} = \sum_{k=1}^4 \frac{\partial f(e^x - y, x^2 + y^2, g(x,y) )}{\partial x_k}\cdot \frac{\partial x_k}{\partial x} \end{eqnarray*}$ .
Achtung $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ hat zwei Komponenten!
Analog für y.

27.12.2012, 21:50

aleos

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RE: Gradient einer Abbildung
Ich hab mich auch mal an die Aufgabe versucht und habe folgendes rausbekommen:
Ich schreibe verkürzt: $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} = f_x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Dh(x,y) = \begin{pmatrix} f_{x_1} \cdot e^x + f_{x_2} \cdot 2x + f_g \cdot (g_{x_1} \cdot x_{1_x} + g_{x_2} \cdot x_{2_x}) \\ f_{x_1} \cdot (-1) + f_{x_2} \cdot 2y + f_g \cdot (g_{x_1} \cdot x_{1_y} + g_{x_2} \cdot x_{2_y}) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wäre das so auch korrekt? Was meint ihr?

29.12.2012, 09:26

zyko

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RE: Gradient einer Abbildung

Zitat:

$\begin{eqnarray*} Dh(x,y) = \begin{pmatrix} f_{x_1} \cdot e^x + f_{x_2} \cdot 2x + f_g \cdot (g_{x_1} \cdot x_{1_x} + g_{x_2} \cdot x_{2_x}) \\ f_{x_1} \cdot (-1) + f_{x_2} \cdot 2y + f_g \cdot (g_{x_1} \cdot x_{1_y} + g_{x_2} \cdot x_{2_y}) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mein Vorschlag
$\begin{eqnarray*} Dh(x,y) = \begin{pmatrix} f_{x_1} \cdot e^x + f_{x_2} \cdot 2x + f_{g_1} \cdot \frac{\partial{g_1}}{ \partial{ x}} +f_{g_2} \cdot\frac{\partial{g_2}}{ \partial{ x}} \\ f_{x_1} \cdot (-1) + f_{x_2} \cdot 2y + f_{g_1} \cdot \frac{\partial{g_1}}{ \partial{ y}} +f_{g_2} \cdot\frac{\partial{g_2}}{ \partial{ y}} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Vergleiche mit den Definitionsbereichen von f und g.

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