Argumentationsprobleme bei Vierecken

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27.12.2012, 17:54	Spaghetti-Frosch	Auf diesen Beitrag antworten »
Argumentationsprobleme bei Vierecken Hallo ihr alle! Ich habe schon wieder ein Geometrie-Aufgaben-Problem. Ich habe echt Schwierigkeiten, hier bei diesen Aufgaben einen vernünftigen Ansatz zu finden. Aber ich zitier erst mal den Aufgabentext: Gegeben sei das Viereck mit den Ecken A, B, C und D und Seiten $\begin{eqnarray} $\overline{AB}$ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $\overline{AD}$ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $\overline{BC}$ \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} $\overline{CD}$ \end{eqnarray}$ . Weiter sei $\begin{eqnarray} \|\overline{AB}\|=\|\overline{AD}\|=\|\overline{BC}\|=\|\overline{DC}\| \end{eqnarray}$ Wieviele Symmetriebewegungen gibt es zu dem Viereck? Begründen sie ihre Antwort! So, zu Deutsch also, es geht um ein Viereck mit 4 gleichlangen Seiten, genauer: Eine Raute. Ich weiß, dass eine Raute entweder 2 oder 4 Symmetriebewegungen hat, 4 nur im Spezialfall, dass die Raute ein Quadrat ist. Aber wie begründe ich das fachlich korrekt? Hat da jemand einen Ansatz für mich? Lg, Frosch
27.12.2012, 18:48	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Argumentationsprobleme bei Vierecken eventuell könnte man ja über mögliche symmetriezentren nachdenken
27.12.2012, 20:18	Spaghetti-Frosch	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi riwe, so schreibt man sich wieder Leider versteh ich den Hinweis nicht richtig. Ich gehe jetzt von dem Verständnis aus, dass ich durch die Aufgabenstellung weiß, dass das Viereck eine Raute ist. Das Symmetriezentrum einer Raute ist der Schnittpunkt der Diagonalen in der Raute (Kann ich das argumentativ beweisen?). Aber wie kann ich von da an so weiter argumentieren, dass ich beweisen kann, dass die Raute zwei Symmetriebewegungen hat (bzw. 4 im Spezialfall Quadrat)?
27.12.2012, 21:17	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
naja, was verstehst du denn eigentlich unter symmetriebewegungen
27.12.2012, 21:40	Spaghetti-Frosch	Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetriebewegungen sind im Sinne der Aufgabe Drehungen oder Spiegelungen des Vierecks, die es wieder auf sich selbst abbilden, also Bewegungen, nach denen Form und Lage des Vierecks dieselbe ist, wie vor der Bewegung
27.12.2012, 21:47	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
naja, wenn du nun das (gefundene) symmetriezentrum betrachtest, was bleibt dann zu zeigen
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27.12.2012, 21:53	Spaghetti-Frosch	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ich soll eine konkrete Zahl an Bewegungen nennen. Dass es 2 (4) sind weiß ich eigentlich nur aus der Anschauung einer gezeichneten Raute. In der Aufgabe soll ich das aber theoretisch nachvollziehbar erläutern. Ich weiß also eigentlich gar nicht, dass es eine Raute ist, sondern nur dass es irgendein Viereck mit vier gleichlangen Seiten ist. Aus diesem Wissen muss ich Folgerungen ziehen, aus denen wieder Folgerungen, bis ich am Ende nachvollziehbar argumentieren kann, warum ein Viereck mit vier gleichlangen Seiten soundsoviel Symmetriebewegungen machen kann. Ich sehe das in der Zeichnung ja ganz genau, dass es geht. Aber ich habe keinen Plan, wie ich es ohne Zeichnung erklären soll
27.12.2012, 21:58	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst jede Bewegung (=Kongruenzabbildung), die die Raute auf sich selbst abbildet, als Permutation der Ecken $\begin{eqnarray} A,B,C,D \end{eqnarray}$ auffassen. Davon gibt es $\begin{eqnarray} 4! = 24 \end{eqnarray}$ Stück. Natürlich ist nicht jede Permutation eine Bewegung. Eine solche kann offenbar nur die Ecken $\begin{eqnarray} A,C \end{eqnarray}$ und die Ecken $\begin{eqnarray} B,D \end{eqnarray}$ untereinander permutieren. Da bleiben dann nur noch $\begin{eqnarray} 2! \cdot 2! = 4 \end{eqnarray}$ Permutationen übrig. Welche sind es? Was sind das in der Sprache der Geometrie für Abbildungen? Und wie kommst du darauf, daß eine Raute nur zwei Bewegungen zuläßt? (Es gibt schließlich auch die Orientierung umkehrende Bewegungen.)
27.12.2012, 22:12	Spaghetti-Frosch	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Permutationen wären die Spiegelung an der Diagonalen $\begin{eqnarray} A,C \end{eqnarray}$ und die Spiegelung an der Diagonalen $\begin{eqnarray} B,D \end{eqnarray}$ . Und weitere wären doch nur möglich, wenn das Viereck ein Quadrat wäre oder? Nämlich die Spiegelungen an den Mittelsenkrechten von $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ , bzw. $\begin{eqnarray} B,C \end{eqnarray}$ ?
28.12.2012, 09:15	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt vier gültige Permutationen, die also als Bewegungen aufgefaßt werden können. Davon hast du jetzt zwei genannt: $\begin{eqnarray} \sigma_{AC} = \begin{pmatrix} A & B & C & D \\ A & D & C & B \end{pmatrix} \, , \ \ \sigma_{BD} = \begin{pmatrix} A & B & C & D \\ C & B & A & D \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das sind die Spiegelungen an $\begin{eqnarray} AC \end{eqnarray}$ und an $\begin{eqnarray} BD \end{eqnarray}$ .
30.12.2012, 13:43	Spaghetti-Frosch	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, erstmal danke für eure Hilfe und entschuldigt meine lange Pause. Ich hab die Drehungen unterschlagen, zu den Spiegelungen an AC und BD kommen noch die beiden Drehungen um 180° und 360° hinzu, richtig? Aber wie mache ich dann weiter, wie kann ich das argumentativ begründen? Ich weiß hier leider gar nicht weiter... Lg

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