Funktion mit einer Stetigkeitsstelle

27.12.2012, 20:06

Mr. Swagger

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Funktion mit einer Stetigkeitsstelle

Meine Frage:
Geben Sie eine Funktion auf $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ an, die nur eine Stetigkeitsstelle hat. Betrachten Sie hierzu $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} x\Rightarrow 1 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\Rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Hallo erstmal ;D
Ich wäre sehr dankbar für ein bißchen Starthilfe.. Ich verstehe nicht wie eine Funktion nur eine Stetigkeitsstelle besitzen kann wenn doch zw. 2 reellen Zahlen immer mindestens eine weitere existiert?
Und was genau ich mit f anfangen soll weiß ich auch nicht :[
Kann mir vielleicht einer weiterhelfen?^^
mfg, ein Student.

27.12.2012, 20:21

shipwater

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RE: Funktion mit einer Stetigkeitsstelle

Zitat:

Original von Mr. Swagger
Ich verstehe nicht wie eine Funktion nur eine Stetigkeitsstelle besitzen kann wenn doch zw. 2 reellen Zahlen immer mindestens eine weitere existiert?

Hmm was hat das eine denn mit dem anderen zu tun?

Zitat:

Original von Mr. Swagger
Und was genau ich mit f anfangen soll weiß ich auch nicht :[

Wie sieht es denn mit der Stetigkeit dieser Funktion aus? Offensichtlich sollst du dich von dieser Dirichlet-Funktion inspirieren lassen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß Shipwater

Edit: Übrigens sind deine Pfeile falsch. $\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mapsto \end{eqnarray*}$ benutzt man bei Abbildungen.

27.12.2012, 20:43

Mr. Swagger

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Die Pfeile hab ich nicht gefunden ;p
Denkfehler, ich dachte unter einer Stetigkeitsstelle versteht man einen Punkt..

So wie ich das sehe, ist diese Dirichlet-Funktion an keiner Stelle stetig, weil zw. 2 rationale Zahlen immer min. eine irrationale existiert und umgekehrt.
Aber wie gebe ich nun eine Funktion mit nur einer Stetigkeitsstelle an?
Geht das hier?
$\begin{eqnarray*} x \to 1 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \to 0 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \to 0 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x = 2 \end{eqnarray*}$

27.12.2012, 20:56

shipwater

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Ich würde sagen nein. Ich denke deine konstruierte Funktion ist ebenfalls in ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ unstetig. Oder an welcher Stelle meinst du denn sollte sie stetig sein?

Überlege dir vielleicht mal ganz allgemein an welchen Stellen $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, ~ x \mapsto \left\{\begin{array}{cc} g(x),&x \in \mathbb{Q}\\h(x),& x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\end{array} \right. \end{eqnarray*}$ stetig ist (dabei sollen g,h stetig sein)

Oder anders ausgedrückt: Was muss denn für $\begin{eqnarray*} g(x_0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(x_0) \end{eqnarray*}$ gelten damit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig ist bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ?

Gruß Shipwater

27.12.2012, 21:01

Mr. Swagger

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$\begin{eqnarray*} g(x_{0} )=h(x_{0} ) \end{eqnarray*}$ muss gelten, was aber nicht möglich ist...
Ich glaube ich versteh dich nicht ganz :/

27.12.2012, 21:09

shipwater

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Doch das hast du richtig erkannt. $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, ~ x \mapsto \left\{\begin{array}{cc} g(x),&x \in \mathbb{Q}\\h(x),& x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\end{array} \right. \end{eqnarray*}$ (mit stetigen Funktionen g,h) ist also genau dann stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} g(x_0)=h(x_0) \end{eqnarray*}$

Das heißt nun für dich: Wähle g und h so, dass sie an genau einer Stelle übereinstimmen.
Damit ist f nur an dieser einen Stelle stetig wo g=h ist und sowas wolltest du ja letztendlich konstruieren.

Gruß Shipwater

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27.12.2012, 21:12

Mr. Swagger

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Zitat:

Original von shipwater
Ich würde sagen nein. Ich denke deine konstruierte Funktion ist ebenfalls in ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ unstetig. Oder an welcher Stelle meinst du denn sollte sie stetig sein?

Na, bei 2.
Eigentlich hab ich versucht, diese $\begin{eqnarray*} g(x_{0} )=h(x_{0} ) \end{eqnarray*}$ Beziehung herzustellen indem ich die 2 wie eine irrationale Zahl behandle.. um die 2 herum existieren nur irrationale Zahlen, also wäre die Funktion stetig wenn die 2 auch eine "irrationale Zahl" wäre Big Laugh

Big Laugh

Edit: schwachsinn, was ich da erzähle
/delete

27.12.2012, 21:17

shipwater

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In jedem Intervall $\begin{eqnarray*} (2-\delta,2+\delta), ~\delta>0 \end{eqnarray*}$ liegt nun allerdings eine rationale Zahl r ungleich 2. Damit gilt $\begin{eqnarray*} |f(r)-f(2)|=1 \end{eqnarray*}$ . Folglich kannst du den Abstand der Funktionswerte nicht beliebig klein werden lassen. Also ist diese Funktion nicht stetig bei $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$

Gruß Shipwater

27.12.2012, 21:23

Mr. Swagger

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Zitat:

Original von shipwater
In jedem Intervall $\begin{eqnarray*} (2-\delta,2+\delta), ~\delta>0 \end{eqnarray*}$ liegt nun allerdings eine rationale Zahl r ungleich 2. Damit gilt $\begin{eqnarray*} |f(r)-f(2)|=1 \end{eqnarray*}$ . Folglich kannst du den Abstand der Funktionswerte nicht beliebig klein werden lassen. Also ist diese Funktion nicht stetig bei $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$

Au danke, ich habs verstanden..

Zitat:

Original von shipwater
Wähle g und h so, dass sie an genau einer Stelle übereinstimmen.

Wie kann ich das denn sowas herzaubern?^^
Auf jeden Fall kann ich keine Konstanten für g und h nehmen sowie die Dirichlet-Funktion...

27.12.2012, 21:29

Helferlein

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Entschuldigung, wenn ich mich einschalte, aber schau Dir bitte noch mal genau die vorgeschlagene Funktion an, shipwater.
Sie erfüllt $\begin{eqnarray*} f(2)=f(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})=0 \end{eqnarray*}$ und ist somit bei x=2 sehr wohl stetig.

27.12.2012, 21:30

shipwater

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Hmm der Rest ist nun eigentlich nicht mehr schwer. Nimm doch einfach zwei Geraden mit unterschiedlicher Steigung. Hier gibt es so viele Möglichkeiten, da solltest du schon fündig werden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

In deinem Beispiel von oben hätte man übrigens auch mit dem Folgenkriterium
argumentieren können. So gilt für $\begin{eqnarray*} x_n=2-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ zwar $\begin{eqnarray*} x_n \xrightarrow{n \to \infty} 2 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} f(x_n)=1 \xrightarrow{n \to \infty} 1 \neq 0=f(2) \end{eqnarray*}$

Gruß Shipwater

@ Helferlein: Ich sehe noch immer nicht warum diese Funktion bei x=2 stetig sein soll. Wo liegt denn der Fehler in meinen Argumentationen?

27.12.2012, 21:37

Mr. Swagger

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Oh Mann, Leute xD

Zitat:

Original von Helferlein

Sie erfüllt $\begin{eqnarray*} f(2)=f(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})=0 \end{eqnarray*}$ und ist somit bei x=2 sehr wohl stetig.

Also hatte ich doch recht? ;]
Ansonsten setze ich $\begin{eqnarray*} g(x)=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(x)=-x \end{eqnarray*}$ und ich hätte die Aufgabe :O

27.12.2012, 21:40

shipwater

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Also $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, ~ x \mapsto \left\{\begin{array}{cc} x,&x \in \mathbb{Q}\\-x,& x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\end{array} \right. \end{eqnarray*}$ ist auf jeden richtig. Das mit deiner vorgeschlagenen Funktion wird sich wohl gleich klären.

Gruß Shipwater

27.12.2012, 21:55

Helferlein

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Die Antwort wird leider ein wenig dauern.
Nur kurz zu meinem Grundgedanken: Da die irrationalen Zahlen dicht in Q liegen, müsste es ein (unendlich kleines) Intervall geben, in dem neben der 2 noch irrationale Zahlen liegen, die ja denselben Funktionswert ergeben.
Ich denk aber noch mal drüber nach und recherchiere noch ein wenig, bevor ich mich abschließend festlege. Eventuell hab ich auch gerade nur ein falsches Verstädnis.

27.12.2012, 22:07

Helferlein

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Ich ziehe meinen Einwand hiermit zurück.
Shipwater hat recht: Da Q dicht in R liegt, ist in jeder (noch so kleinen) Umgebung der 2 immer eine rationale Zahl und somit die kleinstmögliche Differenz der Funktionswerte 1. Sorry für die Verwirrung. Gott

Gott

27.12.2012, 22:16

Mr. Swagger

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;D thx an euch beiden

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