Integrieren - mehrere Flächen berechnen

27.12.2012, 20:59

Tipso

Integrieren - mehrere Flächen berechnen

Hallo,

Hier die neuere bzw. schwerere Aufgabe zur Flächenberechnung:

Aufgabenstellung:

Zitat:

Berechne für die stückweise lineare Funktion f das Integral sowie den kontinuierlichen Mittelwert (1) ohne, (2) mit Integralrechnung! Zeichne den Mittelwert ein!

Es handelt sich hierbei um ein interessanteres Beispiel, da kompliziert für meine Verhältnisse.

\int_1^{10} \! f(x) \, dx

1. ohne Integralrechnung

Zitat:

Dabei teile ich es in 5 Teile, dabei 1 Rechteck und 4 rechtwinklige Dreiecke, hoffe das passt so.

??

$\begin{eqnarray*} A = \frac{a*b}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_1 = \frac{1*-2}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_1 = - 1 \end{eqnarray*}$

--------------------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} A = \frac{a*b}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_1 = \frac{1*2}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_2 = 1 \end{eqnarray*}$

-----------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} A = \frac{a*b}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_3 = \frac{3*1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_3 = 1,5 \end{eqnarray*}$

--------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} A = \frac{a*b}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_4 = \frac{4*1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_4 = 2 \end{eqnarray*}$
-----------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} A = a*b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_5 = 3*2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_5 = 6 \end{eqnarray*}$

------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \int_1^{10} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} A_{Gesamt} = A_1+....+A_5 = 9,5 \end{eqnarray*}$

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2. Mit Integral(rechnung) -

Zitat:

Unterschied zwischen Integral und Integralrechnung?

$\begin{eqnarray*} \int_1^{10} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Zitat:

Fragen:
Was brauche ich um die Flächen unter den Dreiecken zu berechnen?
Was ändert sich bei veränderten Dreiecken?? Gleichschenkliges, allgem. etc.??

Mein Lösungsversuch:

Zitat:

Um es mit dem Integral zu lösen brauche ich eine Funktion, in diesem Fall die Geradengleichung(funktion)
Warum?

Zitat:

In einem Quadrat oder Rechteck brauche ich nur die Höhe als Funktionswert.
Warum?

Was brauche ich bzw. muss ich machen um integrieren zu können?
Voraussetzungen?

Mein Versuch:

Ich versuche die Geraden zu ermitteln welche meine Flächen bedecken?

Zitat:

Mein Versuch die Geraden zu ermitteln welche für die Berechnung der Flächen meiner Dreiecke notwendig ist. Warum auch immer, genau diese Geraden dafür wichtig sind.

D_1 =

(1|-2) = -2 = 1k + d

(3/2) = 2 = 3k + d |-
-----------------------------------
-4 = k-2

k_1 = 2

Zitat:

Was habe ich gemacht?
Ich habe zwei Punkte genommen von der Geraden, zwei beliebige darf ich nehmen glaube ich. Durch schneiden dieser Geraden versuche ich die Steigung zu ermitteln, danach habe ich genug Variable um dessen Höhe also d auszurechnen, damit habe ich die gesamte Funktionsgleichung.

(1|-2) = -2 = 2 + d

d = -4

Ich glaube das es passt. Nach dem Graphen zu urteilen könnte es passen.
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D_2 =

(3|2) 2 = 3k + d

(6|3) 3 = 6k + d |-
------------------------------------
1 = 3k

k = 1/3

----------------------------------------

(3|2) 2 = (1/3)*3k +d

d = 1

----------------------------------------
----------------------------------------

D_3 =

(6|1) 1 = 6k + d

(10|0) 0 = 10k + d |-
------------------------------------------
1 = k(-4 )

k = -1/4
-------------------------------------------

(6|1) 1 = 6* (-1/4)+ d

1 = -1,5+ d

d = 2,5

Zitat:

Ich hoffe die Form passt?!

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Jetzt alle drei Funktionen aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} y_1 = 2x - 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_1 = \left[2\frac{x^2}{2}-4x \right]_{1}^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_2 = 2x - 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_2 = \left[2\frac{x^2}{2}-4x \right]_{2}^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_3 = \left(\frac{1}{3} \right) x + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_3 = \left[\left(\frac{1}{3}\frac{x^2}{2} + x \right) \right]_{3}^{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_4 = \left(-\frac{1}{4} \right) x+ 2,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_4 = \left[\left(-\frac{1}{4} \right) \frac{x^2}{2} + 2,5x\right]_{6}^{10} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wie soll ich den Funktionswert vom Rechteck angeben?

Rechteck

$\begin{eqnarray*} \int_3^6 \! 2 \, dx \end{eqnarray*}$

\left[4x\right]_{3}^{6}

Bin ich bis hierher richtig?

lg

06.01.2013, 00:09

Tipso

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Hallo,

geht es hier vielleicht weiter?
Ich würde gerne fertigstellen, aber ich weiß nicht mehr weiter.. unglücklich

09.01.2013, 00:12

Tipso

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Eine weitere wichtige Frage hier:

Warum darf ich bei der ersten Gerade nicht von x= 1 bis x=3 durch integrieren.
Ein Teil befindet sich im negativen Bereich, jedoch kann ich ja einfach den Betrag nehmen.

Leider funktioniert es dennoch nicht, ich erhalte in diesem Fall als Fläche = 0.

Warum?

lg

y = 2x - 4

$\begin{eqnarray*} \int_1^3 \! 2x - 4 \, dx = \left[x^2 - 4x \right]_{1}^{3} \end{eqnarray*}$

lg

09.01.2013, 01:03

opi

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Auf die Frage vom 27.12.12 hat niemand reagiert.
Der pushende Beitrag am 6.01.13 zeigte keine Wirkung.
Die weitere wichtige Frage wird hier bearbeitet.
Dann kann dieses Thema wohl geschlossen werden.

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