absolut konvergente Reihe

27.12.2012, 21:37	wamsi99	Auf diesen Beitrag antworten »
absolut konvergente Reihe Meine Frage: hallo, stimmt es, dass eine absolut konvergente reihe eine cuahcyfolge ist? Meine Ideen: ich weiß leider nicht, wie ich das zeigen kann also ich habe irgendeine absolut konvergente reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{\infty}a_i \end{eqnarray}$ , d.h. es gilt $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{\infty}\lvert a_i\rvert <\infty \end{eqnarray}$ ist das jetzt so gemeint, dass dann $\begin{eqnarray} \left(\sum\limits_{i=1}^{n}\lvert a_i\rvert\right)_{n\geq 1} \end{eqnarray}$ eine cauchyfolge ist?
27.12.2012, 22:37	Johannes91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: absolut konvergente Reihe Hallo, also wenn man von einer Reihe als Folge spricht meint man meistens die Folge der Partialsummen $\begin{eqnarray} \left(\sum\limits_{i=1}^n a_{i}\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ . Eine Reihe heißt konvergent, wenn die Folge der Partialsummen konvergiert. Aus der absoluten Konvergenz folgt die Konvergenz der Reihe und somit konvergiert die Folge der Partialsummen, und da in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ jede konvergente Folge eine Cauchyfolge ist stimmt das also. Mit derselben Begründung ist natürlich auch $\begin{eqnarray} \left(\sum\limits_{i=1}^n \|a_{i}\|\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ eine Cauchyfolge.

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