Elliptical distribution

27.12.2012, 22:54	eva2011	Auf diesen Beitrag antworten »
Elliptical distribution Meine Frage: X = $\begin{eqnarray} (X_{1}, X_{2}) \end{eqnarray}$ sei stetig in $\begin{eqnarray} \mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ verteilt. Die Dichte: $\begin{eqnarray} f(x_{1}, x_{2}) = g(\sqrt{x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}}) \end{eqnarray}$ ist ausschließlich abhängig von der Länge des Vektors $\begin{eqnarray} x=(x_{1}, x_{2}) \end{eqnarray}$ , mit einer stetigen Funktion g. Ein Zufallsvektor heißt elliptisch verteilt in $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ , wenn Y=AX +b, wobei A eine (2x2) Matrix ist und $\begin{eqnarray} b\in \mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ . 1. Ich muss Cov(Y), E(Y) sowie Randverteilungen von Y bestimmen. 2. Die Isolinien der Dichte von Y für eine gegebene Matrix A und einen gegebenen Vektor zeichnen. Meine Ideen: Wir haben $\begin{eqnarray} A^{2x2}, A'A=\sum \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} rang(\sum)=k=2 \end{eqnarray}$ . Ich habe einen folgenden mathematischen Satz vor mir: "Sei Y ~ $\begin{eqnarray} E_{n}(mu, \sum, g), E(\mathbb R^{2}) < \infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} rang(\sum)=k \end{eqnarray}$ . Dann gilt: E(Y) = mu und $\begin{eqnarray} Cov(Y) = E(\mathbb R^{2})/k\sum = -2g'(0)* \sum \end{eqnarray*}$ . Dann steht hier weiter: Im Falle einer multivariaten Normalverteilung besitzt die Zufallsvariable Y den charakteristischen Generator g(u)=exp(-u/2). Wegen g'(0) = -1/2 ergibt sich einfach: Cov(Y) = \sum. Die Darstellung einer elliptischen Verteilung ist somit keineswegs eindeutig, solange man nicht \|\sum\| = 1 fordert. Nützlich ist, dass bei der Wahl von c:= rang(\sum)/E(\mathbb R^{2}) die Beziehung Cov(Y)=\sum sicher gestellt werden kann. Ich frage mich gerade, ob in meiner Aufgabe Cov(Y) nicht 0 sein sollte? Oder doch \sum ? Erwartungswertvektor = b, oder? Wenn ich das hätte, dann könnte ich die Randverteilungen problemlos ableiten. Und zu der Zeichnung der Isolinien: Der gegebene Vektor b wäre der Mittelpunkt der Isolinien. Dann müsste ich noch \sum^{-1} (eine Inverse der \sum Matrix) bestimmen und anhand den Eigenwerten und Eigenvektoren der Matrix eine Ellipse zeichnen. Oder? So würde man dies 100% für eine normalverteilte Zufallsvariable machen. Mich verwirrt allerdings diese Dichtefunktion f(x_{1}, x_{2}) ein wenig... Danke und Gruß, eva

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