Riemann-Integral: Äquivalente Definitionen

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Anahita Auf diesen Beitrag antworten »
Riemann-Integral: Äquivalente Definitionen
Hi!

Wir haben das Riemann-Integral wie folgt definiert:

Seien e,g Treppenfunktionen und f eine beschränkte Funktion mit .

Wenn dann gilt

=

ist die Funktion Riemann-integrabel.

Nun heisst es aber auch: f ist Riemann-integrabel gdw es zu jedem epsilon > 0 zwei Treppenfunktionen gibt mit e <= f <= g und



Habt ihr mir Tipps, wie ich diesen Beweis beginnen könnte?

(Ps: die underlines und overlines des unteren und oberen Riemann-Integrals hab ich nicht schöner hingekriegt hier - wisst ihr, wie man das machen könnte?)
Johannes91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann-Integral: Äquivalente Definitionen
Hi,

Kennst du die -Charakterisierungen des Supremums und Infimums? Falls ja solltest du es damit versuchen, ansonsten überlegen was es heißt Supremum bzw. Infimum dieser Mengen zu sein.
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die epsilon Charakterisierung von Supremum und Infimum kenne ich. Allzu weit komme ich dennoch nicht:

Bezeichne ich mit M1:

und mit M2 die Menge:

Dann gilt falls die Funktion f Riemann-integrierbar ist, dass supM1 = infM2
Für a := sup M1 gilt nun: Für alle epsilon > 0 gibt es ein m1 aus M1 so dass:



und für alle epsilon > 0 gibt es ein m2 aus M2 so dass:



Also:


..gleichzeitig gilt ja für beliebig m1 aus M1, m2 aus M2:

>_>
Johannes91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau und damit hast du ja schonmal eine Richtung gezeigt, denn du hast ja nach Definition von schon mit und und gefunden sodass gilt und ist beliebig.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann-Integral: Äquivalente Definitionen
Zitat:
Original von Anahita
(Ps: die underlines und overlines des unteren und oberen Riemann-Integrals hab ich nicht schöner hingekriegt hier - wisst ihr, wie man das machen könnte?)

Meinst du das so:
bzw. ?
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

Ah lol..wie blöd bin ich..stimmt, das ist die eine Richtung.
Für die andere Richtung: Muss ich nicht zuerst überhaupt zeigen, dass meine Mengen M1 und M2 ein Supremum bzw. Infimum besitzen? Ich sehe auf den ersten Blick nicht, dass M1 und M2 zwingend beschränkt sind..?

@Che, ja genau das meine ich, wie hast du das hingekriegt? :-)
 
 
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Anahita
@Che, ja genau das meine ich, wie hast du das hingekriegt? :-)

Das kann man immer sehen, indem man die Maus auf die Formel bewegt oder den Beitrag zitiert.
Ich habe jedenfalls einfach den gesamten Ausdruck über-/unterstreichen lassen, z.B. per \underline{\int_a^b} bzw. \overline{\int_a^b}.
Johannes91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja die Beschränktheit musst du dir überlegen aber du betrachtest ja Mengen von Integralen von Treppenfunktionen die größer bzw. kleiner als eine Funktion sind, also ist das mit der Beschränktheit nicht so schwierig.
Für die Rückrichtung als Tipp, versuch mal die Differenz von Supremum und Infimum abzuschätzen
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

(ich hatte statt auf "zitieren" auf "editieren" geklickt xD)

@Johannes91

Stimmt wir brauchen ja nur obere respektive untere Schranke für die Existenz des Supremums bzw Infimum und das ist in den Voraussetzungen gegeben.

Für a Supremum von M1 und b Infimum von M2 gilt:



Mit b <= m2 für alle m2 in M2 und a >= m1 für alle m1 in M1.

Was habe ich falsch gemacht? Schliesslich möchten wir ja die Differenz und dann hätten wirs..
Johannes91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Stimmt wir brauchen ja nur obere respektive untere Schranke für die Existenz des Supremums bzw Infimum und das ist in den Voraussetzungen gegeben.


Das ist nicht so ganz in den Voraussetzungen, aber was du wahrscheinlich voraussetzen kannst oder dir überlegen kannst, ist, dass (ausgehend von der der Definition des Integrals einer Treppenfunktion) für zwei Treppenfunktionen mit gilt . Und damit ist jedes Element von M1 eine untere Schranke von M2 und umgekehrt jedes Element von M2 eine obere Schranke von M1. (Ich hoffe das ist nicht zu verwirrend, da es für den eigentlichen Beweis nur nebensächlich ist)

Zitat:


Deine Notation mit a,b als Integrationsgrenzen und als Supremum bzw. Infimum ist leicht verwirrend, daher verwende ich mal ab jetzt c und d und , versuch mal weiter abzuschätzen gegen
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

Hi

Nö nö ich finds nicht verwirrend, ich hab mich nur gerade gefragt, weshalb man e < g => int e < int g eigentlich nicht allgemein aus der Monotonie des Integrals herleiten kann (anhand der Stammfunktion beispielsweise, das wär ja ziemlich einfach). Das hat wohl aber damit zu tun, dass man das Riemann-Integral explizit über solche Treppenfunktionen definieren will und deshalb nicht auf die Definition über Stammfunktionen zurückgreifen möchte.

Wie dem auch sei, dann haben wir also:



für beliebiges epsilon > 0.

Oder?
Johannes91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
weshalb man e < g => int e < int g eigentlich nicht allgemein aus der Monotonie des Integrals herleiten kann


Wenn du allgemein die Monotonie des Integrals benutzen willst, geht das natürlich auch.

Zitat:
Original von Anahita



für beliebiges epsilon > 0.



Ja so stimmt das, die Frage ist nur warum? Also für beliebiges existieren Treppenfunktionen mit sodass, dass die letzte Ungleichung gilt, aber warum gilt die Abschätzung zu d-c?
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte, dass sei klar, aber dass du nachfragst verunsichert mich etwas.

Also es gilt ja für alle dass da ja d = inf M_1.

Analog gilt ja für alle Elemente von M_2.

Haben wir also:

und ziehen links mehr ab als rechts, bleibt die Ungleichung "erhalten":



oder muss ich das irgendwie anders begründen..? verwirrt
Johannes91 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das ist die Begründung Freude ich find nur die Bergündung gehört dazu weil so ganz auf den ersten Blick finde ich sieht man das ja nicht.
Anahita Auf diesen Beitrag antworten »

ah so. gut bin froh, vielen Dank! :-)
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